高中数学人教版新课标A必修11.3.1单调性与最大(小)值优秀教案

1.3.1 单调性与最大（小）值

教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念；

2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；

3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；

4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；

5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点：函数单调性的概念

教学难点：函数单调性的判断和证明

教学方法：讲授法

教学过程：

（I）复习回顾

1.函数有哪几个要素？

2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？

3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？

4.区间的表示方法.

前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。

（II）讲授新课

1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1）

问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？

随着x的增加，y值在增加。

问题2：怎样用数学语言表示呢？

设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1<x2时，f(x1)< f(x2).

(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。

结论：这时，说y1= x2在[0，+∞]上是增函数。（同理分析y轴左侧部分）由此可有：

2.定义：（投影2）

注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；

（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。

（III）例题分析

例1.下图是定义在闭区间上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性（课本P34例1）。

问题3：y=f(x)在区间，上是减函数；在区间，上是增函数，那么在两个区间的公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3处是增函数还是减函数？

分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）。

说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。

例2．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。

证明：设任意x1、x2∈R，且x1<x2.

则f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).

由x1<x2得x1-x2<0.∴f(x1)- f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).

∴f(x)=3x+2 在R上是增函数。

分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x1<x2；

b.计算f(x1)- f(x2)至最简；

c.判断上述差的符号；

d.下结论。

例3．教材第34页例2。

（IV）课堂练习   课本P35 “探究题”和P38练习1—3

注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。

（V）课时小结

本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明。

（VI）课后作业

1、书面作业：课本P45习题1.3A组题1、2、3、4题。

2、预习作业：

（1）       预习内：容函数的最大值与最小值（P35—P38）；

（2）       预习提纲：

a.函数最大值与最小值的含义是什么？

b. 函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系？

1.3.1  单调性与最大（小）值（第二课时）

教学目标：1.使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；

2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系；

3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法；

4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；

5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点：函数最值的含义

教学难点：单调函数最值的求法

教学方法：讲授法

教学过程：

（I）复习回顾

1．函数单调性的概念；

2．函数单调性的判定。

（II）讲授新课

通过观察二次函数和的最高点和最低点引出函数最值的概念（板书课题）

1．函数最大值与最小值的含义

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

（1）对于任意的，都有；

（2）存在，使得。

那么，我们称是函数的最大值（maximum value）.

思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值（minimum value）吗？

2．二次函数在给定区间上的最值

对二次函数来说，若给定区间是，则当时，函数有最小值是，当时，函数有最大值是；若给定区间是，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值（见下列例题）。

3．例题分析

例1．教材第36页例题3。

例2．求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值（教材第37页例4）。

分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。

变式：若区间为呢？

例3．求函数在下列各区间上的最值：

（1）   （2）[1，4]   （3）    （4）   （5）

练习：教材第38页练习4及第二教材相关题目。

作业：教材第45页习题1.3 A组题第6、7、8题