江苏省启东市2021届高三上学期期中考试 数学 (含答案)

江苏省启东市2021届高三上学期期中考试数学试题(考试时间：120分钟  满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 已知集合，，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（ ▲ ）
A．       B．     C．     D．2． “”是“”的（ ▲ ）条件A．充分不必要     B．必要不充分     C．充要     D．既不充分也不必要3．函数的单调减区间是（ ▲ ）
A．        B． C．       D．4． 《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ▲ ）A．8         B．16         C．24         D．285． 设是等比数列的前项和，已知，则（ ▲ ）A．－512     B．－8        C．－2        D．－16．若实数a，b，c满足，，，则（ ▲ ）A．   B．   C．   D．7． 已知角α的终边经过点，则（ ▲ ）A．    B．     C．    D．8． 设是定义在R上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ▲ ）A． B． C．   D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9． 对于任意向量a，b，c，下列命题正确的是（ ▲ ）A．若a∥b，b∥c，则a∥c        B．若a·b＝b·c，则a＝cC．若a＝b，b＝c，则a＝c        D．若|a－b|＝|a＋b|，则a·b＝010．设正实数满足，则下列说法正确的是（ ▲ ）A．的最小值为4            B．的最大值为C．的最小值为        D．的最小值为11．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ▲ ）A．函数的最小正周期为         B．函数的图象关于点对称C．对任意x∈R，都有   D．函数的最小值为－312．已知正方体的棱长为4，点M，N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在四边形ABCD内，点Q在线段BN上，若，则（ ▲ ）A．点P的轨迹的长度为2π       B．线段MP的轨迹与平面的交线为圆弧C．PQ长度的最小值为   D．PQ长度的最大值为2＋2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应    位置上。13．已知函数，则  ▲  ．14．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为  ▲  ．15．已知圆内接四边形ABCD中，，则＝  ▲  ．16．已知函数f(x)＝(x2－x)(x2＋mx＋n)的图象关于直线x＝2对称，则m＋n＝  ▲  ；f(x)的最小值为  ▲  ．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(本小题满分10分) 在①；②；③这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足  ▲  ．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值．   18．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且．（1）若，求角A的大小；（2）若，求的值．        19．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点.（1）证明：EF∥平面ABC；（2）求直线C1B与平面BDE所成角的正弦值. 20．(本小题满分12分)如图所示的某种容器的体积为18π dm3，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为r dm，圆柱的高为h dm．已知顶部半球面的造价为，圆柱的侧面造价为，圆柱底面的造价为．（1）将圆柱的高h表示为底面半径r的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？           21．(本小题满分12分)已知函数的图象在处的切线方程为x＋y－3＝0．（1）求和的值；（2）对，成立，求实数的取值范围．     22．(本小题满分12分)已知函数，其中是自然对数的底数．（1）求的最值；（2）设函数有且只有2个不同的零点，求实数的取值范围．                  
2020～2021学年第一学期期中考试高三数学试题及评分建议(考试时间：120分钟  满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 已知集合，，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（ ▲ ）
A．   B．  C．  D．【答案】D2． “”是“”的（ ▲ ）条件A．充分不必要     B．必要不充分     C．充要     D．既不充分也不必要【答案】B3．函数的单调减区间是（ ▲ ）
A．       B． C．      D．【答案】A4． 《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ▲ ）A．8     B．16     C．24     D．28【答案】C5． 设是等比数列的前项和，已知，则（ ▲ ）A．－512     B．－8     C．－2     D．－1【答案】B6．若实数a，b，c满足，，，则（ ▲ ）A．      B．      C．      D．【答案】D7． 已知角α的终边经过点，则（ ▲ ）A．    B．    C．    D．【答案】A8． 设是定义在R上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ▲ ）A．      B．C．              D．【答案】C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9． 对于任意向量a，b，c，下列命题正确的是（ ▲ ）A．若a∥b，b∥c，则a∥c        B．若a·b＝b·c，则a＝cC．若a＝b，b＝c，则a＝c        D．若|a－b|＝|a＋b|，则a·b＝0【答案】CD10．设正实数满足，则下列说法正确的是（ ▲ ）A．的最小值为4           B．的最大值为C．的最小值为      D．的最小值为【答案】ABD11．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ▲ ）A．函数的最小正周期为         B．函数的图象关于点对称C．对任意x∈R，都有   D．函数的最小值为－3【答案】BCD12．已知正方体的棱长为4，点M，N分别是棱A1D1，CD的中点，点P在四边形ABCD内，点Q在线段BN上，若，则（ ▲ ）A．点P的轨迹的长度为2π      B．线段MP的轨迹与平面的交线为圆弧C．PQ长度的最小值为  D．PQ长度的最大值为2＋2【答案】AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应    位置上。13．已知函数，则  ▲  ．【答案】14．在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为  ▲  ．【答案】9π15．已知圆内接四边形ABCD中，，则＝  ▲  ．【答案】16．已知函数f(x)＝(x2－x)(x2＋mx＋n)的图象关于直线x＝2对称，则m＋n＝  ▲  ；f(x)的最小值为  ▲  ．（本题第一空2分，第二空3分）【答案】5；－四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(本小题满分10分) 在①；②；③这三个条件中任选一个，回答下列问题，已知等差数列满足  ▲  ．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，以及使得取得最大值时的值．【解】（1）选条件①．因为数列是等差数列，设公差为，，，得，……………3分所以．……………5分选条件②．因为数列是等差数列，设公差为，由得，得，……………3分以下同①.选条件③．因为数列是等差数列，设首项为，公差为，由得，解得，……………3分以下同①．（2）由（1）知=，……………7分当时，当时，，所以当时，最大．……………10分18．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且．（1）若，求角A的大小；（2）若，求的值． 【解】（1）设，则，，因为,又因为，所以，……………3分即，所以，因为，所以，所以.……………6分（2）因为，，所以，……………8分又因为，所以，所以，，……………10分又因为，所以．……………12分19．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点.（1）证明：EF∥平面ABC；（2）求直线C1B与平面BDE所成角的正弦值. 【解】（1）如图，取的中点G，连结，．在△BCC1中，因为F为的中点，所以∥．……………2分在三棱柱中，∥，且E为的中点，所以∥.所以四边形是平行四边形.所以∥.……………4分因为平面，平面，所以∥平面．……………6分（2）以D为坐标原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为所以所以．所以，……………8分设平面的的一个法向量为，则，即取，则，所以，……………10分所以，直线与平面所成角为，则与或它的补角互余，所以.……………12分20．(本小题满分12分)如图所示的某种容器的体积为18π dm3，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为r dm，圆柱的高为h dm．已知顶部半球面的造价为，圆柱的侧面造价为，圆柱底面的造价为．（1）将圆柱的高h表示为底面半径r的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？【解】（1）因为半球的半径与圆柱底面半径都为，所以半球体积为圆柱的体积为．……………2分因为所以所以.……………4分因为所以.因此.所以，定义域为．……………6分（2）半球的表面积，圆柱的侧面积，圆柱底面积为．容器总造价为．……………8分令，则，令，得，当时，，在上为单调减函数；当时，，在上为单调增函数．……………10分因此，当且仅当时，有最小值27，有最小值元.所以，总造价最低时，圆柱的底面半径为．……………12分21．(本小题满分12分)已知函数的图象在处的切线方程为x＋y－3＝0．（1）求和的值；（2）对，成立，求实数的取值范围．【解】（1）因为，所以，由函数的图象在处的切线方程为x＋y－3＝0，知，，得.……………3分（2）因为对，成立，所以恒成立，令则，……………5分设，，则，从而，……………7分因为，，所以，因为的图象在上是不间断的，所以，满足，……………9分当时，， 单调递增；当时，，单调递减．从而在时取得最大值，所以的取值范围为．……………12分法二：因为对，成立，所以恒成立，即恒成立，……………5分记，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．从而在时取得最大值，……………9分记，则，，所以，因为的图象在上是不间断的，所以，满足，即，使成立．所以有最大值3，从而．……………12分22．(本小题满分12分)已知函数，其中是自然对数的底数．（1）求的最值；（2）设函数有且只有2个不同的零点，求实数的取值范围．【解】（1）因为，令，即，所以，列表如下：x－1－ ＋↘极小值↗……………2分所以在递减，在递增，所以当时，有最小值，无最大值. ……………4分（2），注意到，则，当时，，单调递增，不合题意；……………5分当时，设，则在上恒成立，所以在上单调递增．因为，又注意到，所以，从而，所以，根据零点存在性定理知，存在，使得，……………7分当时，，递减；当时，，递增．注意到，当时，只有一个零点，这时，即；……………8分当时，，则，又因为在递减，递增，，所以，又因为，所以，因为，因为，，所以，所以在上有一个零点，另一个零点为1，所以当时，有两个零点. ……………10分当时，，，所以存在使得，又因为在递增，注意到，所以，又因为，而，可知所以在上有一个零点，另一个零点为1，所以当时，有两个零点．综上可知，实数k的取值范围是．……………12分