浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2021届高三上学期期中联考 数学 (含答案) 试卷

绝密★考试结束前浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高三数学学科试题考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。4.考试结束后，只需上交答题卷。如果事件，互斥，那么如果事件，相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率台体的体积公式其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.设全集，，，则（    ）A. B. C. D.2.若实数，满足约束条件，则的最大值为（    ）A. B. C. D.3.已知，若（为虚数单位），则的取值范围是（    ）A.或 B.或C. D.4.某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（    ）A. B. C. D.5.函数和的图像不可能是（    ）A. B.C. D.6.已知直线与平面，，，能使的充分条件是（    ）①， ②，③， ④，A.①② B.②③ C.①④ D.②④7.在数列中，，对任意的，，若，则（    ）A.3 B.4 C.5 D.68已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，为其一个公共点，且，，则的最大值为（    ）A. B. C. D.9.如图，在正四棱锥中，设直线与直线、平面所成的角分别为、，二面角的大小为，则（    ）A.， B.，C.， D.，10.当时，不等式恒成立，则的最大值为（    ）A.18 B.17 C.16 D.15非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题分，单空题每题4分，共36分.11.已知，，则______，______.12.设，若，则______，______.13.对于任意实数，直线均与圆有交点，则当取最小值______时，经过直线与圆交点的圆的切线方程为______.14.在三角形中，角，，对的边分别为，，，且，则角______；若，且的面积为，则______.15学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则______.16.已知正实数，，满足，，则的取值范围是______.17.若平面向量，，，满足，，，，则______.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题满分14分）已知.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）若，求的值19.（本小题满分15分）如图，已知三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点，为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦.20.（本小题满分15分）已知数列的前项和为且满足.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）记，求证：.21.（本小题满分15分）已知直线：与抛物线交于、两点，是抛物线上异于、的一点，若重心的纵坐标为，且直线、的倾斜角互补.（Ⅰ）求的值.（Ⅱ）求面积的取值范围22.（本小题满分15分）已知函数.（Ⅰ）试讨论的单调性；（Ⅱ）若，证明：.浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高三数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共4分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.答案：B 2.答案：C 3.答案：A 4.答案：D 5.答案：C6.答案：D 7.答案：C 8.答案：C 9.答案：A 10.答案：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分单空题每题4分，共36分.11.答案：， 12.答案：5，80 13.答案：，14.答案：或   15答案：16.答案： 17.答案：18.解析：（Ⅰ），当，，函数单调递增，所以的单调递增区间，.（Ⅱ）由已知得，所以，而.19.（本小题满分15分）（Ⅰ）证明：如图，以为原点，，所在直线为轴、轴，建立空间直角坐标系，（有建系意识给一分）设，则，，，，所以，，，，（，，三个点坐标各占一分）所以，，因为，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设平面的法向量，则得令，则，，故平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则.（本题用补体将几何体放在正方体中同样给分）20.解析：（Ⅰ）由得，，两式相减得，，所以，（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，所以，当时，，又当时，，所以，综上可得，21解析：（Ⅰ），，，则，，，因为直线、的倾斜角互补，所以，即，又重心的纵坐标为，故，所以，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线：，与抛物线得，其判别式，所以.而，，因此，，又由（1）知，到直线的距离为，所以令，，则恒成立，故在上单调递减，故（注：弦长公式、点到线距离公式、面积公式三者中无论写出哪个只给一分，不累计得分）22.解析：（1）因为①当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减②当时，，，当时，，当时，，所以在单调递增，在，单调递减；③当时，，当时，，当时，，所以在单调递减，在，单调递增.（Ⅱ）要证明，只需证明，而，因此只需证明，当时，，由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，故.