河南省洛阳市2021届高三上学期第一次统一考试 数学（文） (含答案)

洛阳市2020—2021学年高中三年级第一次统一考试

数学试卷（文）

第Ⅰ卷

一、选择题

1．已知集合，，则集合（    ）

A．  B． 

C．  D．

2．若复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设数列是等差数列，首项，且，则数列的前10项和等于（    ）

А．100 B．84 C．42 D．10

4．命题“，”的否定是（    ）

A．，使得

B．，使得

C．，

D．，

5．下列函数中最小正周期是且图象关于直线对称的是（    ）

A． B．

C． D．

6．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）

A．若平行于内的无数条直线，则

B．若，，则平行于内的无数条直线

C．若，，，则

D．若，，则

7．已知双曲线的焦点在轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ）

А． B． C． D．

8．已知圆：交轴正半轴于点，在圆上随机取一点，则使成立的概率为（    ）

А． B． C． D．

9．在中，，，的最小值是（    ）

А．1 B． C． D．2

10．若函数在上取得极大值，在上取得极小值，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．5

12．定义在上的函数满足，当时，，

若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题

13．已知函数，则______．

14．已知角的终边过点，则的值是______．

15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．

16．在中，，，分别是角，，的对边，若．且的中线，则的最大值是______．

三、解答题

（一）必考题：

17．已知数列的首项，前项和为且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18．如图，在三棱柱中，侧面底面，，，．

（1）求证：；

（2）求三棱柱的侧面积．

19．设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．求证：直线过定点．

20．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，（），，，，进行分组，已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据．则得到体育成绩的折线图如下：

（1）若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良好”的人数；

（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取3人，求所抽取的3名学生中，至少有1人为非“体育良好”的概率；

（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，，，且，，，当三人的体育成绩方差最小时，写出，，的一组值（不要求证明）．

注：，其中．

21．已知函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，证明：在上存在唯一零点．

（二）选考题

22．选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）已知点的直角坐标为，过点作直线的垂线交曲线于、两点（在轴上方），求的值．

23．选修4—5：不等式选讲

（1）已知，，是正数，且满足，求证；

（2）已知，是正数，且满足，求证：．

洛阳市2020—2021学年高中三年级第一次统一考试

数学试卷参考答案（文）

一、选择题

1—5  DCABA  6—10  BCBCD 11—12  AD

二、填空题

13．2    14．    15．    16．4

三、解答题

17．（1）∵时，，∴当时，．

两式相减得：．

又， ，∴

∴是首项为2，公比为3的等比数列．

从而．

（2）∵，

∴，

∴，，

∴．

∴  ①

∴ ②．

①-②，得：

∴．

18．（1）∵，∴侧面是菱形，∴．

∵侧面底面，且平面平面，

，∴平面．

又∵平面，∴．

又，∴平面．

又平面，∴．

（2）设棱的中点为，连，，则，

∴底面．从而．

由，．

得，，

∴．

在中，由余弦定理得，从而．

∴．

由（1）知平面，∴，，

又．

∴三棱柱的侧面积为．

19．（1）∵是抛物线上一点，且．∴，

解得，即抛物线的方程为.

（2）设直线的方程为，，，

由消去得，

则，．

因为，所以，

即．

化简得．

由得．

所以直线经过定点．

20．（1）体育成绩大于或等于70分的学生有30人，

∴估计该校高一年级学生“体育良好”的人数为：人．

（2）体育成绩在有2名学生，在中有3名，

设至少有1人为非“体育良好”为事件，

样本中的2位成绩在的学生和3位成绩在的学生分别记为，，，，，

从中随机选取3个学生的所有结果为：

，，，

，，，

，，，．

共有个基本事件，事件包含的基本事件有个，

（3）当数据，，的方差最小时，，，．

（或者，，．）

21．（1）当时，，的定义域为，

由得，由得，且，

∴在上单调递增，在，上单调递减．

∴当时，取得极小值，无极大值．

（2）证明：当时，

．

令，

则在上的零点即在上的零点

，

令，则．

当时，则，∴在区间上单调递增．

又，，

∴存在使得，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

又因为，，

∴在上存在一个零点，

在上没有零点，

∴在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点．

22．（1）由，消去参数得．

即直线的普通方程为；

由得，

∵，，∴．

即曲线的直角坐标方程．

（2）直线的参数方程为（为参数），

代入得．

设点对应的参数为，点对应的参数为，则，

，且，．

故．

23．（1）∵，，，

∴，

∴，

∴，

∵，∴，

∵，，是正数，∴．

（2）∵，由柯西不等式得

（当且仅当时取等号）．

故．