黑龙江省大庆市大庆实验中学2021届高三上学期12月月考 理科数学 (含答案) 试卷

大庆实验中学2020—2021学年度上学期第二次月考

高三数学（理科）试题

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

第I卷（选择题  共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设，，则（    ）

A.        B.          C.       D.

2．设，且，则（    ）

A．或 B．或 C．或 D．或

3．算盘是中国传统的计算工具，是一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表，下面一粒珠（简称下珠）是，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨粒下珠，算盘表示的数为质数（除了和本身没有其它的约数）的概率是（   ）

A． B． C． D．

4.下列说法正确的是（   ）

A．为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间是总体容量

B．频率分布直方图的纵坐标是频率

C．汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程成负相关

D．系统抽样由于可能要剔除一些数据，所以总体中每个个体抽到的机会可能不相等

5．若x>1，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为（    ）

A． B．   C． D．

7.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（   ）

A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充分必要条件      D.既不充分也不必要条件

8．某医学团队研制出预防新冠病毒的新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为（    ）

A．上午10：00 B．中午12：00 C．下午4：00 D．下午6：00

9.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

10．四棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为的正方形，若四棱锥体积的最大值为54，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

11．点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（　　）

A． B． C．3 D．4

12．已知数列满足，则一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

   本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题.第22题、第23题为选考题.

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若复数满足，则复数的虚部为________

14．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块，某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种.

15.设为的内心，，则为          .

16．已知正四面体的棱长为，点是的中点，点在线段上，则下面四个命题中：

①，   ②，    ③，与不垂直

④，直线与平面夹角正弦的最大值为.所有不正确的命题序号为_______.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知函数

（1）求的单调递增区间；

（2）记的内角A､B､C的对边长分别为a，b，c，若，求c.

18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，我校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了右侧的等高条形图：

（1）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；

（2）依题意，完成以下列联表（直接填写表格即可）：

是否有的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”.

19．如图，在四棱锥中，，，，，，，．

（1）证明：平面；

（2）在线段上是否存在一点F，使直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．

20．已知椭圆的离心为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点(均异于点)，直线与分别交直线于点和点，求证：为定值.

21. 已知函数

(1)  当时，求函数的单调区间；

(2)  若函数只有1个零点，求实数的取值范围.

请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设原点在圆的内部，直线与圆交于、两点；以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线和圆的极坐标方程，并求的取值范围；

（2）求证：为定值.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

 已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最小值为，若，且，求的最小值.

高三数学（理科）第二次月考参考答案

一．选择题

二、填空题

13.  1        14.   432       15.           16.  ①③

三、解答题

17. （1），

利用正弦函数的单调增区间易得的单调增区间为，

（2），所以，因为角是的内角，所以

由余弦定理知：，解得或.

18. （1）从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时，

但考试成绩超过120分的人数为人，∴其概率为；

（2）依题意，得列联表：

∵，

∴没有的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”.

19. （1）证明：取线段中点，连结．因为，，所以．

因为，所以．又因为，所以，而，

所以．因为，所以，即．

因为，且，平面，，所以平面．

（2）解：以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，

建立空间直角坐标系如图所示，

则，0，，，，．设，，，因为点在线段上，

设，则．即，所以．

设平面的法向量为，

则，所以，所以．

因为直线与平面成角正弦值等于，所以．

所以，即．所以点是线段的中点．

20. （1）根据题意可得，解得，所以椭圆的方程为.

（2）首先计算当直线斜率为0时，的值为

当直线斜率不为0时，设直线的方程为.联立得，

整理得，所以.

因为，所以直线的方程为，

令，得，所以，

同理.则，

，则

.所以为定值，且该定值为.

21.（1）单调增区间为，单调增区间为

（2）的取值范围是

22. 解（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，得，所以直线的极坐标方程为；

将圆的参数方程化为直角坐标方程，得，

所以圆的极坐标方程为.

由原点在圆的内部，得，解得，故的取值范围是.

（2）将代入，得.则，，所以，

故为定值.

23．解：（1）或或，

解得，即不等式的解集为.

（2），当且仅当时取等号，∴.故.由柯西不等式，

整理得，当且仅当，即，，时等号成立.

所以的最小值为.