重庆强基联合体2021届高三上学期12月质量检测数学 (含答案)
展开一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，则（ ）
A. | B. | C. | D. |
2. 若（其中是虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 | B. 第二象限 | C. 第三象限 | D. 第四象限 |
3. 我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤。问本持金几何。”，其意思是“今有人持金出五关，第一关收税金为持金的，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余税金的，第4关收税金为剩余税金的第5关收税金为剩余税金的”5关所税金之和，恰好重1斤。则在此问题中，第3关收税金为（ ）斤
A. | B. | C. | D. |
4．已知抛物线的焦点，准线为，是上一点，是直线与的交点，若 则（ ）
A. | B. | C. 或 | D. |
5. 设正实数分别满足,则的大小关系为（ ）
A. | B. | C. | D. |
6. 在中，内角所对的边分别为，若，则
的形状是（ ）
A. 锐角三角形 | B. 钝角三角形 | C. 直角三角形 | D. 等腰三角形 |
7. 已知定义在上的奇函数，且其图像是连续不断的，满足，则不等式
的解集为（ ）
A. | B. | C. | D. |
8. 已知正方形的边长为2，则正方形的内接正（即三点落在正方形三条边上）的面积最大值为（ ）
A. | B. | C. | D. |
二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9. 下列叙述正确的是（ ）
A. “”是“与垂直”的充分不必要条件
B. 函数的最小值
C. 若命题，则
D. 若四边形是平行四边形，则
10. 已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为且的图象关于点对称，则下列判断错误的是（ ）
A. 函数的周期为
B. 要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位
C. 是的一个单调减区间
D. 在上有且只有3个极值点
11．设双曲线的左、右焦点为，直线为的一条斜率为正数的渐近线，为坐标原点。若在的左支上存在点，使点与点关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的面积为
C. 双曲线的离心率为 D. 直线的方程是
12．已知是的导函数,则下列结论正确的是（ ）
A. 在上单调递增.
B. 在上两个零点
C. 当 时，恒成立，则
D. 若函数只有一个极值点，则实数
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13. 已知函数,则=
14. 已知非零向量满足：且，则向量与的夹角为
15. 已知数列的通项公式，其前项和为，则
16. 在平面直角坐标中，已知，是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）
17.（本小题10分）①已知直线的倾斜角为;
②且与共线，其中;
③角的终边经过点,其中
请你从这三个条件中任选一个给以下小题中的提供信息并加以解答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求的值；
(2)设．求的最大值.
18.（本小题12分）已知数列满足：，设，。
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列其前项和为，如果对任意的恒成立，求实数的取值范围。
19.（本小题12分）不透明的纸箱里装有大小，材质一样的7个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球3个，编号分别为2，3，4.现从箱子中任摸取4个小球（假设取到任何一个球的可能性相同）．
（1）求取出的4个球中，含有编号为3的球的概率；
（2）在取出的4球中，记红色球编号最大值为，求随机变量的分布列和数学期望．
20.（本小题12分）在中，角对应的三边分别为，， 为的外心，连接。
（1）求的面积；
（2）过作边的垂线交于点，连接,试求的值.
21.（本小题12分）已知点,圆，为上一动点，连接，设 线段的中点，为上一点，且满足，动点形成曲线。
（1）求的取值范围；
（2）直线与曲线是否相切？请说明理由.
22.（本小题12分）已知函数，其中
（1）试讨论函数的单调性；
（2）在时，是否存在极值点？如果存在不妨设为且
试判断与的大小并说明理由.
高三数学联考参考解答
一、单项选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | C | D | A | C | B | C | C | A |
8.设，则
，
不妨设又
若
则
二、多项选择题
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | AC | BCD | ABC | ACD |
12.
三、填空题
(14). (15).1010 (16).
四、解答题
17．解：若选①，则
（1）
（2）
的最大值为2
（若选条件②或③，答案一样）
18．解：（1）当时，，
当时， ①
②
由①-②得
（2）由（1）知，
19．解：（1）设含有编号为3的球的概率为，则。
（2）由已知的所有可能值为1,2,3,4
，，，
所以随机变量的分布列为
1 | 2 | 3 | 4 | |
故
20.解：（1）
在中，，则，
是到的距离）
（2）
又
21.解：(1)设由题意得
线段的中点
的中垂线。
的取值范围是
（2）直线与曲线相切。理由如下：
设
当时，此时的方程为，由（1）知曲线的方程为，与曲线相切成立。
当时，
将（2）式代入（1）式整理得
综上：直线与曲线相切.
22.解：（1）
①当时，所以的变化如下表
| 0 | ||
↓ | 极小值 | ↑ |
所以在单调减，在单调增。
② 当时，即
所以的变化如下表
0 | |||
↑ |
| ↑ |
所以在单调增。
③当时，即时。
当
所以在单调增，单调减，单调增。
④当时，即时。
所以在单调增，单调减，单调增。
综上：当时在单调减，在单调增
当时在单调增
当时在单调增，单调减，单调增
当时在单调增，单调减，单调增。
（2）解：理由如下：
由（1）知道
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