云南省玉溪市普通高中2021届高三上学期第一次教学质量检测（12月）数学（理） (含答案)
展开秘密★启用前【考试时间：11月30日 15：00-17：00】
玉溪市2021届普通高中毕业生第一次教学质量检测
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、班级、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、姓名、班级、准考证号、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．根据两个评判小组对同一名选手的打分绘制了下面的折线图．
根据以上折线图，下列结论错误的是（ ）
A．A小组打分分值的最高分为55分，最低分为42分
B．A小组打分分值的标准差小于B小组打分分值的标准差
C．B小组打分分值的中位数为56.5
D．B小组更像是由专业人士组成的
5．已知向量，的夹角为120°，，则（ ）
A． B． C．7 D．13
6．数列中，若，则（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
7．曲线在点处的切线的斜率为，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．设分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C上存在点P，使得，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的部分图象如图所示，若，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知直线l：与圆O：相交于M，N两点，且的面积，则（ ）
A． B． C．或 D．或
11．已知正方体的棱长为3，E，F，G分别为棱，，上的点，其中，，，平面经过点E，F，G，则截此正方体所得的截面为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
12．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小題5分，共20分．
13．已知实数x，y满足，则的最小值是________．
14．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派已经知道五种正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．后来，柏拉图学派的泰阿泰德（Theaetetus）证明出正多面体总共只有上述五种．如图就是五种正多面体的图形．现有5张分别画有上述五种多面体的不同卡片（除画有的图形不同外没有差别），若从这5张不同的卡片中任取2张，则没有取到画有“正四面体”卡片的概率为____________．
15．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和．若每行的第一个数构成有穷数列，并且得到递推关系为．则_________．
16．在三棱锥中，，是正三角形，E为中点，有以下四个结论：
①若，则三棱锥的体积为；
②若，且三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为；
③若，则三棱锥的体积为；
④若，且三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．
其中结论正确的序号为____________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
如图，在中，，的角平分线交于点D．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
18．（本小题满分12分）
物理学中常用“伏安法”测量电阻值（单位：欧姆），现用仪器测量某一定值电阻在不同电压下的电流值测得一组数据，其中，和分别表示第i次测量数据的电流（单位：安培）和电压（单位：伏特），计算得．
（1）用最小二乘法求出回归直线方程（与精确到0.01）；
（2）由“伏安法”可知，直线的斜率是电阻的估计值，请用计算得到的数据说明电阻的估计值．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
19．（本小题满分12分）
如图所示，在正三棱柱中，，E，F分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若点G是线段的中点，求二面角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为，，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记椭圆C与x轴交于A，B两点，M是直线上任意一点，直线，与椭圆C的另一个交点分别为D，E．求证：直线过定点．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）设函数，若在上有且只有一个零点，求m的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，半圆C的极坐标方程为．
（1）求直线l的直角坐标方程及C的参数方程；
（2）若直线平行于l，且与C相切于点D，求点D的直角坐标．
23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）若的值域是，且，求k的最大值．
2020-2021学年玉溪市普通高中毕业生第一次教学质量检测
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | A | D | A | B | D | C | A | D | C | B |
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
题号 | 13 | 14 | 15 | 16 |
答案 | 2 | ①②④ |
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（本小题满分12分）
解：（1）∵为的角平分线，
∴，即． 1分
∴ 2分
． 3分
又∵，
∴． 5分
（2）由（1）知且，
∴． 6分
在中，
． 8分
在中，
． 10分
∵，
∴，
∴，
∴． 12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）， 1分
， 2分
4分
， 6分
． 8分
所以，回归直线方程为． 10分
（2）由“伏安法”可知，直线的斜率是电阻的估计值，所以电阻的估计值为4.70欧姆． 12分
19．解：（1）证明：在正三棱柱中，． 1分
∵E，F分别是，的中点，
∴是的中位线，∴． 2分
又∵，∴． 3分
又平面，平面，
∴平面． 5分
（2）向量法：
在正三棱柱中，
取的中点H，连接，则．
在正中，连接，则．
又因为，
所以．
如图，以F为原点建立空间直角坐标系． 7分
．
设为平面的一个法向量，
则．
∴． （9分）
同理可求，平面的一个法向量为∴． 10分
设二面角的平面角为，
∴， 11分
所以二面角的正弦值为． 12分
几何法：
在正三棱柱中，
取中点D，连接，且，
连接， 6分
则，又，，
∴平面． 7分
由（1）知：，
∴平面． 8分
∴即为二面角的平面角，记为． 9分
连接，
中，，，，
由余弦定理得：
． 11分
所以二面角的正弦值为． 12分
20．解：（本小题满分12分）
（1）因为椭圆C的离心率，所以，即． 1分
因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点， 2分
所以，所以． 3分
所以椭圆C的方程为． 4分
（2）由（1）可得，，设点M的坐标为，
直线的方程为：．
将与联立消去y整理
得：． 5分
设点D的坐标为，则， 6分
故，则． 7分
直线的方程为：，
将与联立消去y整理得：
． 8分
设点E的坐标为，则， 9分
故，则． 10wv
直线的斜率为，
直线的斜率为． 11分
因为，所以直线经过定点H． 12分
21．（本小题满分12分）
解：（1） 1分
①若，则，∴在R上单调递增． 2分
②若，令，则， 3分
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． 4分
（2）由题意知：，则， 5分
易知在上单调递增，且．
①若，则，∴在上单调递增，
∵在上有且只有一个零点，，
∴，即．
∴当时，在上有且只有一个零点． 7分
②若，则，
∴存在，使，即， 8分
∴当时，；当时，．
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，在上有且只有一个零点，
∴，即．
把代入上式可知：，∴， 10分
从而． 11分
综上，当或时，在上有且只有一个零点． 12分
22．（本小题满分10分）
解析：（1）直线l的普通方程为； 2分
C的普通方程为．
可得C的参数方程为（t为参数，）． 5分
（2）由点D在曲线C上可设， 6分
由题意可知曲线C在点D处的切线斜率为， 7分
． 8分
故D的直角坐标为，即． 10分
23．（本小题满分10分）
解析：（1）∵，，
∴ 2分
当时，化为，不等式的解为；
当时，，不等式的解为；
当时，化为，所以不等式的解为． 4分
综上所述，不等式的解集为． 5分
（2）∵， 6分
当且仅当时取“=”号．
又的值域是，
所以，∵．
∴． 7分
∵
（当且仅当，即时取“=”号），
∴，当且仅当时取“=”号． 9分
又∵恒成立，∴，
故k的最大值是． 10分
