河北省衡水中学2021届高三上学期二调考试 数学 (含答案)

河北省衡水中学2021届高三上学期二调考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则=A. B. C. D.2.要得到函数的图象，只需将函数的图象A.向左平移个单位  B.向右平移个单位C.向上平移个单位  D.向下平移个单位3.已知函数，若函数为偶函数，且，则b的值为A.-2 B.-1 C.1 D.24.已知等差数列的前n项和为与的等差中项为2，则的值为A.6 B.-2 C.-2或6 D.2或65.已知，则A. B. C. D.6.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是A.  B.C.  D.7.已知表示实数m，n中的较小数，若函数，当时，有，则的值为A.6 B.8 C.9 D.168.设为数列的前n项和，，则A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.已知等差数列是递增数列，其前n项和为，且满足，则下列结论正确的是A.  B.C.当时，最小 _210 D.当时，n的最小值为810.设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是A. B. C.0 D.11.已知函数的图象的一条对称轴为直线，函数，则下列关于函数的说法错误的是A.直线是图象的一条对称轴 B.的最小正周期为C.点是图象的一个对称中心 D.的最大值为12.已知函数在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是A.在区间上的单调性无法判断B.图象的一个对称中心为C.在区间上的最大值与最小值的和为D.将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位得到的图象，则第Ⅱ卷（非选择题  共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知等比数列的前n项和，且成等差数列，则的值为___________.14.已知函数的最大值为2.若函数在区间上至少取得两次最大值，则的最小整数值为___________.15.记函数，其中表示不大于x的最大整数，若方程在区间上有7个不同的实数根，则实数k的取值范围为___________.16.在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则=__________；的取值范围为___________.（本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积    18.（12分）已知正项数列的前n项和为，其中为常数.（1）证明：.（2）是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.（12分）从①，②，③AC=AM这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并进行求解问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为，点M，N是BC边上的两个三等分点，，_______，求AM的长和外接圆的半径.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.     20.（12分）设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在处取得最大值，求a的取值范围.     21.（12分）甲、乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列的前n项和为，已知____________，（1）判断的关系并给出证明.（2若，设，的前n项和为，证明.甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是成等差数列.如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.     22.（12分）定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导数.在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间.（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点； （2）对于函数（其中e为自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求的弹性区间D；（Ⅱ）若在（Ⅰ）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围.     数学参考答案_一、选择题1.B【解析】因为，，所以，所以.2.A【解析】因为，所以由函数的图象得到函数的图象，只需向左平移4个单位.3.C【解析】因为为偶函数，所以的对称轴为.又因为，所以的顶点坐标为.由，得解得4.C【解析】设公差为d，由题意知解得或当时，，当时，.5.D【解析】因为，所以.6.A【解析】由题图知函数的定义域为R且为奇函数，所以排除C，D选项；B选项中，，则，不满足原点处切线斜率为0，排除B选项；A选项中，，则，符合题意.7.B【解析】作出函数的图象，如图中实线所示，由可知，，所以，即，所以.8.A【解析】由，当时，，得；当时，，即.当n为偶数时，，所以，当n为奇数时，，所以，所以，所以，所以，所以.因为.二、选择题_2109.ABD【解析】因为是递增数列，所以.因为，所以，所以，所以，故A，B正确；又因为，所以，且为的最小值，故C错误；又，故D正确10.AB【解析】由题意得与在区间上同增或同减.若同增，则在区间上恒成立，即所以.若同减，则在区间上恒成立，即无解，所以A，B选项符合题意.11.AC【解析】由为的一条对称轴，得，即.又因为，所以，所以.易知，且，故A，C错误，B，D正确.12.BC【解析】由题意得，即.又（在区间上至少存在两个最大值或最小值，且在区间上具有单调性，则，此时，即，因为，所以，所以在区间上单调递减，故A错误；由，所以为图象的一个对称中心，故B正确；因为，所以，所以最大值与最小值之和为，故C正确；将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象，即，故D错误.综上，B，C正确.三、填空題13.-2【解析】当时；；当时，，所以①.又成等差数列，所以，即②.由①②解得，所以.14.2【解析】，所以的最大值为，解得或（舍去），所以，当时，函数取得最大值，则当时，前两个最大值分别为和.当时，由，得，所以，所以的最小整数值为2.15.【解析】作出函数，的图象，如图所示.方程在区间上有3个实根，故在区间上有4个不同实根.当直线经过点时，，经过点时，.若在区间上有4个根，则.16.2  【解析】由余弦定理得，即，所以，即.由正弦定理得，即，所以，所以或（舍去），所以B=2A，即.因为，所以，所以.令，则，所以在区间上单调递增。又，所以.四、解答题17.解：（1）由正弦定理得，得.因为，所以，即.（5分）（2）在中AB=2，BC=3，，，解得.在中，，A，B，C，D在圆上，因为，所以，所以，解得DC=2，所以四边形ABCD的面积.（10分）18.（1）证明：因为，所以，所以.因为，所以，所以，所以，（6分）（2）解：因为，所以，两式相减，得因为，即，所以，由，得.若是等比数列，则，即，解得.经检验，符合题意，故存在，使得数列为等比数列.（12分）19.解：若选择条件①因为，所以设，则.又，所以在中，，即，即，解得或（舍去）.（6分）在中，，所以，（8分）同理，所以.由正弦定理可得，所以外接圆的半径，（12分）若选择条件②因为点M，N是BC边上的三等分点，且，所以.因为，所以，所以，所以.（6分）在中，，所以.（8分）同理，所以，由正弦定理可得，所以外接圆的半径.（12分）若选择条件③设，则.在中，，同理在中，，因为，所以，所以（6分）在中，，所以.（8分）同理，所以.由正弦定理可得，所以外接圆的半径.（12分）20.解：（1），（1分）当时，，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；（2分）当时，令，得或，所以的单调递增区间为和令，得，所以的单调递减区间为. （4分）综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（5分）（2）由题意得.因为函数在处取得最大值，所以，即，当时，显然成立.（7分）当时，得，即.（8分）令.易知在区间上单调递增，故，所以，即，所以a的取值范围为.（12分）21.（1）解：补充的条件为，的关系为成等差数列.证明如下：由题意可得，，，可得，因此成等差数列.（5分）（2）证明：由，可得，解得（6分），（7分）则，，上面两式相减可得.（9分）整理可得，（11分）因为，所以.（12分）22.解：（1）由，可得，则，令，解得，所以弹性函数的零点为.（3分）（2）（ⅰ）当时，函数，可得函数的定义域为，则，所以，此不等式等价于下面两个不等式组：（Ⅰ）或（Ⅱ）因为，所以在定义域上单调递增.又由，所以①的解为；②中，令，且在区间上恒为正，则在区间上单调递增，所以，故②在区间上恒成立所以不等式组（Ⅰ）的解为.同①的解法，求得③的解为；因为当时，④中，所以不成立，所以不等式组（Ⅱ）无实数解，综上，函数的弹性区间，（8分）（Ⅱ）由在区间上恒成立，可得在区间上恒成立.设，则，而，由（Ⅰ）可知，在区间上恒为正，所以，函数在区间上单调递增，所以，所以，即实数t的取值范围是.（12分）