江苏省2021届高三上学期第二次百校联考 数学 (含答案) 试卷

江苏省2021届百校联考高三年级第二次试卷
数学
2020．12

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，B＝，则(A)B＝
A． B． C． D．
2．已知复数z满足(2＋i)z＝5﹣5i，则z＝
A．3﹣3i B．1﹣3i C．1＋3i D．3＋3i
3．已知a，b都是实数，则“”是“”的
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的部分图像大致为

5．点P为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上一点，直线x＝2p交抛物线C于M，N两点，若△PMN的面积为20，则p＝
A．1 B． C．2 D．
6．已知sin(﹣)＝，则sin(2＋)＝
A． B． C． D．
7．已知点P是边长为2的菱形ABCD内的一点（包含边界），且∠BAD＝120°，则的取值范围是
A．[﹣2，4] B．(﹣2，4) C．[﹣2，2] D．(﹣2，2)
8．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，以A为球心，为半径的球面与平面A1B1
C1D1的交线长为
A． B． C． D．

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知向量＝(1，3)，＝(﹣2，1)，＝(3，﹣5)，则
A．(＋2)∥ B．(＋2)⊥
C． D．
10．已知实数x，y满足﹣3＜x＋2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，则
A．x的取值范围为(﹣1，2) B．y的取值范围为(﹣2，1)
C．x＋y的取值范围为(﹣3，3) D．x﹣y的取值范围为(﹣1，3)
11．已知函数(，)的图象经过点A(0，)，且在[0，2]上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是
A．＝2 B．
C．在(，0)上单调递增 D．在(0，2)上有3个极小值点
12．经研究发现：任意一个三次多项式函数(a≠0)的图象都只有一个对称中心点(，)，其中是的根，是的导数，是的导数，若函数图象的对称点为(﹣1，2)，且不等式≥对任意(1，)恒成立，则
A．a＝3 B．b＝1
C．m的值可能是﹣e D．m的值可能是
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．在等差数列中，，，则数列的公差为 ．
14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．
15．已知双曲线C：的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，A(0，4)，当△MAF的周长最小时，△MAF的面积为 ．
16．已知函数，若关于的方程恰有两个实数根，则实数a的取值范围 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知B＝．
（1）若a＝4，c＝3，求sinA的值；
（2）若△ABC的面积为，求△ABC周长的最小值．







18．（本小题满分12分）
在①(n≥2)且，，②，，③，， 且，，成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：设数列的前n项和为， ．若，求数列的前n项和为Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分







19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，BC⊥平面AA1C1C，D是AA1的中点，△ACD是边长为1的等边三角形．
（1）证明：CD⊥B1D；
（2）若BC＝，求二面角B—C1D—B1的大小．





20．（本小题满分12分）
已知函数(A＞0，＞0，0＜＜)的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）设．若关于的不等式23≤0恒成立，求m的取值范围．



21．（本小题满分12分）
已知F1，F2分别是椭圆C：(a＞b＞0)的左，右焦点，过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M(，1)在椭圆C上，且当直线l垂直于x轴时，＝2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在实数t，使得恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．







22．（本小题满分12分）
已知函数(x＞0)．
（1）讨论的单调性；
（2）当a≤2时，若无最小值，求实数a的取值范围．







江苏省2021届百校联考高三年级第二次试卷
数学
2020．12
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，B＝，则(A)B＝
A． B． C． D．
答案：A
解析：A＝[﹣4，1]，B＝(﹣1，3)，(A)B＝(﹣1，1]，故选A．
2．已知复数z满足(2＋i)z＝5﹣5i，则z＝
A．3﹣3i B．1﹣3i C．1＋3i D．3＋3i
答案：B
解析：，故选B．
3．已知a，b都是实数，则“”是“”的
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：因为“”，所以a＞b＞0，而“”得到，故选C．
4．函数的部分图像大致为

答案：B
解析：首先判断出是偶函数，其次过点(1，0)和(﹣1，0)，故选B．
5．点P为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上一点，直线x＝2p交抛物线C于M，N两点，若△PMN的面积为20，则p＝
A．1 B． C．2 D．
答案：C
解析：求得准线方程为x＝，MN＝，则，p＝2（负值已舍去），选C．
6．已知sin(﹣)＝，则sin(2＋)＝
A． B． C． D．
答案：D
解析：sin(2＋)＝，故选D．
7．已知点P是边长为2的菱形ABCD内的一点（包含边界），且∠BAD＝120°，则的取值范围是
A．[﹣2，4] B．(﹣2，4) C．[﹣2，2] D．(﹣2，2)
答案：A
解析：当点P与点B重合时，求得＝4，当点P与点D重合时，＝﹣2，故选A．
8．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，以A为球心，为半径的球面与平面A1B1
C1D1的交线长为
A． B． C． D．
答案：D
解析：由题意知AB1＝AD1＝，如图，在平面A1B1C1D1内任取一点P，使A1P＝2，则AP＝，故以A为球心，为半径的球面与平面A1B1C1D1的交线是以A1为圆心，以2为半径的圆弧B1PD1，故该交线长为．

二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．已知向量＝(1，3)，＝(﹣2，1)，＝(3，﹣5)，则
A．(＋2)∥ B．(＋2)⊥
C． D．
答案：AD
解析：＋2＝(﹣3，5)，故A对B错；，故C错D对，综上，选AD．
10．已知实数x，y满足﹣3＜x＋2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，则
A．x的取值范围为(﹣1，2) B．y的取值范围为(﹣2，1)
C．x＋y的取值范围为(﹣3，3) D．x﹣y的取值范围为(﹣1，3)
答案：ABD
解析：﹣3＜x＋2y＜2，﹣2＜4x﹣2y＜8，﹣5＜5x＜10，即﹣1＜x＜2，故A正确；
﹣4＜﹣2x﹣4y＜6，﹣1＜2x﹣y＜4，即﹣5＜﹣5y＜10，故﹣2＜﹣5y＜1，故B正确；
(﹣2，2)，故C错；
(﹣1，3)，故D对．
综上选ABD．
11．已知函数(，)的图象经过点A(0，)，且在[0，2]上有且仅有4个零点，则下列结论正确的是
A．＝2 B．
C．在(，0)上单调递增 D．在(0，2)上有3个极小值点
答案：AC
解析：因为，，所以，故B错；因为在[0，2]上有且仅有4个零点，故A对；易知，画出草图可知，在(，0)上单调递增，故C正确；在(0，2)上有2个极小值点，故D错．综上选AC．
12．经研究发现：任意一个三次多项式函数(a≠0)的图象都只有一个对称中心点(，)，其中是的根，是的导数，是的导数，若函数图象的对称点为(﹣1，2)，且不等式≥对任意(1，)恒成立，则
A．a＝3 B．b＝1
C．m的值可能是﹣e D．m的值可能是
答案：ABC
解析：由题意得，因为，所以，所以，解得a＝3，b＝1，故，因为x＞1，所以≥，等价于，当x＞0时，，则（当且仅当x＝e时，等号成立），从而，故m≤﹣e，故C正确，D错误．
综上，选ABC．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．在等差数列中，，，则数列的公差为 ．
答案：﹣3
解析：设数列的公差为d，因为，所以，则．
14．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．
答案：
解析：由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径r＝，母线长l＝4，则其表面积为．
15．已知双曲线C：的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，A(0，4)，当△MAF的周长最小时，△MAF的面积为 ．
答案：12
解析：设右焦点坐标为F1(4，0)，周长L＝AF＋MA＋MF＝MA＋(2a＋MF1)＋＝MA＋MF1＋，因为MA＋MF1≥AF1，∴M，A，F1三点共线时，MA＋MF1有最小值AF1＝，可得此时点M(3，1)，即当M(3，1)时，△MAF的周长最小，此时S△MAF＝×8(4﹣1)＝12．
16．已知函数，若关于的方程恰有两个实数根，则实数a的取值范围 ．
答案：(1，5){0}
解析：由题意可知，显然x＝﹣1不是方程的实数根，则
，故关于x的方程恰有两个实数根，等价于y＝a与y＝的图像恰有两个不同的交点，画出
y＝的大致图像，如图所示，由图像可得实数a的取值范围(1，5){0}．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知B＝．
（1）若a＝4，c＝3，求sinA的值；
（2）若△ABC的面积为，求△ABC周长的最小值．
解：（1）由余弦定理可得，
则，
由正弦定理可得，则，
（2）因为△ABC的面积为，所以，则，
由余弦定理可得，
则（当且仅当a＝c时，等号成立），即
因为，所以，
所以（当且仅当a＝c时，等号成立），
故，即△ABC周长的最小值为12．

18．（本小题满分12分）
在①(n≥2)且，，②，，③，， 且，，成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：设数列的前n项和为， ．若，求数列的前n项和为Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
解：若选①，
因为，所以，即数列是等差数列，
因为，，所以，
解得，
故，
因为，所以，
则
，
若选②，
因为，所以，，
所以，解得，
则，
因为满足上式，所以，
以下步骤同①，
若选③，
因为，，成等差数列，所以，
所以，即，
因为，，所以，则数列是首项为1，公差为2的等差数列，
故，
以下步骤同①．

19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，BC⊥平面AA1C1C，D是AA1的中点，△ACD是边长为1的等边三角形．
（1）证明：CD⊥B1D；
（2）若BC＝，求二面角B—C1D—B1的大小．

解：（1）证明：因为△ACD是边长为1的等边三角形，所以∠ADC＝60°，∠DA1C1＝120°
因为D是AA1的中点，所以AD＝A1D＝A1C1＝1，即△A1C1D是等腰三角形，
则∠A1DC1＝30°，故∠CDC1＝90°，即CD⊥C1D，
因为BC⊥平面AA1C1C，BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1C1C，
因为CD平面AA1C1C，所以B1C1⊥CD，
因为B1C1C1D＝C1，B1C1平面B1C1D，C1D平面B1C1D，所以CD⊥平面B1C1D，
因为B1D平面B1C1D，所以CD⊥B1D；
（2）连接CA1，则AC⊥CA1，以C为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系C—xyz，
则
故
设平面BDC1的法向量为，
则令，得，
故
所以二面角B—C1D—B1的大小为30°．

20．（本小题满分12分）
已知函数(A＞0，＞0，0＜＜)的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）设．若关于的不等式23≤0恒成立，求m的取值范围．

解：（1）由图可知A＝2，，
则，从而，故，
因为的图像过点，所以，所以，
因为，所以，
故；
（2）由（1）可得
，
设，因为，所以，
因为，即在[﹣3，5]上恒成立，
则，即，
解得，
故m的取值范围为．

21．（本小题满分12分）
已知F1，F2分别是椭圆C：(a＞b＞0)的左，右焦点，过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M(，1)在椭圆C上，且当直线l垂直于x轴时，＝2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在实数t，使得恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
解：（1）由题意可得
解得，
故椭圆C的标准方程为，
（2）如图，由（1）可知
当直线l的斜率不存在时，，则
当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为，

联立整理得，
则，，从而，
故，
由题意可得
则
因为，所以，
综上，存在实数，使得恒成立．

22．（本小题满分12分）
已知函数(x＞0)．
（1）讨论的单调性；
（2）当a≤2时，若无最小值，求实数a的取值范围．
解：（1）(x＞0)，
时，时，时，
在(0，1)递减，在递增；
时，时，时，
在递增，递减，递增；
时，，在递增；
时，时，时，
在(0，1)递增，在递减，在递增；
（2）时，由（1）知：，与题意不符，舍去；
时，，由（1）知：
要使无最小值，则：；
时，由（1）知：无最小值，符合题意；
④时，，由（1）知：
要使无最小值，则：
令
，令
在递增，
故在(1，2)上恰有一个零点，设为
时，，时，，即
故在递减，递增，
因此，时，恒成立，则；
综上，．