高中数学讲义微专题45 均值不等式
展开www.ks5u.com微专题45 利用均值不等式求最值
一、基础知识：
1、高中阶段涉及的几个平均数：设
（1）调和平均数：
（2）几何平均数：
（3）代数平均数：
（4）平方平均数：
2、均值不等式：，等号成立的条件均为：
特别的，当时，即基本不等式
3、基本不等式的几个变形：
（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围
4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当求的最小值。此时若直接使用均值不等式，则，右侧依然含有，则无法找到最值。
① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中为了乘积消掉，则要将拆为两个，则
② 乘积的式子→和为定值，例如，求的最大值。则考虑变积为和后保证能够消掉，所以（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
5、常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子
（2）已知（为常数），求的最值，
此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。
例如：已知，求的最小值
解：
（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：
例如：已知，求的最小值
解：
所以
即，可解得，即
注：此类问题还可以通过消元求解：，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意的范围由承担，所以
二、典型例题：
例1：设，求函数的最小值为_______________
思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为
答案：
例2：已知，且，则的最大值是________
思路：本题观察到所求与的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即，代入方程中可得：
，解得：，所以最大值为4
答案：4
例3：已知实数，若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简化。，结合分母可将条件，变形为，进而利用均值不等式求出最值
解：
，即的最小值为
答案：A
例4：已知正实数满足，则的最小值为__________
思路：本题所求表达式刚好在条件中有所体现，所以考虑将视为一个整体，将等式中的项往的形式进行构造，，而可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于的不等式，解不等式即可
解：
方程变形为：
解得：
答案：的最小值为
例5：已知，则的最小值为______________
思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为，所以可将构造为，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：
思路二：观察到表达式中分式的分母，可想到作和可以消去，可得，从而，设，可从函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：
答案：3
小炼有话说：（1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解
（2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元
（3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲突。所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验
例6：设二次函数的值域为，则的最大值为__________
思路：由二次函数的值域可判定，且，从而利用定值化简所求表达式：，则只需确定的范围即可求出的最值。由均值不等式可得：，进而解出最值
解：二次函数的值域为
答案：
例7：已知，则的最大值是________
思路：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为均含，故考虑将分母中的拆分与搭配，即，而，所以
答案：
小炼有话说：本题在拆分时还有一个细节，因为分子的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中也要相同，从而在拆分的时候要平均地进行拆分（因为系数也相同）。所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。
例8：已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的取值范围为________
思路：首先对恒成立不等式可进行参变分离，。进而只需求得的最小值。将视为一个整体，将中的利用均值不等式换成，然后解出的范围再求最小值即可
解：
解得：或（舍）
（在时取得）
例9：已知，则的最小值是___________
思路：观察到所求的两项中部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘积为定值，所以结合第二项的分母变形的分子。因为，所以，则，所以原式，因为要求得最小值，所以时，，故最小值为
答案：
小炼有话说：本题考验学生对表达式特点的观察能力，其中两项的互为倒数为突破口，从而联想到均值不等式，在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造
例10：已知，且是常数，又的最小值是，则________
思路：条件中有，且有，进而联想到求最小值的过程中达到的最值条件与相关：，即的最小值为，所以，解得，所以
答案：7
三、历年好题精选
1、(2016，天津河西一模）如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2、（2016，南昌二中四月考）已知都是负实数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
3、（2016，重庆万州二中）已知为正实数，且，则的最小值为________
4、（扬州市2016届高三上期末）已知且，则的最小值为________
5、已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 不存在
6、设，为坐标原点。若三点共线，则的最小值是_________
7、已知，且，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8、设，若，则的最大值为
9、已知，且，则的最小值是
习题答案：
1、答案：D
解析：，因为三点共线，所以，根据所求表达式构造等式为，所以有：，由均值不等式可得：，所以
2、答案：B
解析：
是正实数
3、答案：
解析：
4、答案：3
解析：
或
5、答案：A
解析：
解得：或（舍）
而
下面验证等号成立条件：解得：
所以等号成立，的最小值为
注：本题要注意到，在利用均值不等式求最小值的过程中有可能等号成立的条件不满足。所以在变量范围比较特殊时，要注意验证等号成立条件
6、答案：
解析：三点共线
7、答案：A
解析：
8、答案：1
解析：
9、答案：
解析：
