江苏省扬州中学2021届高三上学期12月月考试题 数学 (含答案)

扬州中学高三数学试卷
2020.12
一、单选题（每小题5分，计40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知直线经过点，且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3. 欧拉公式是由瑞士数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”。特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”。根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）
A． B．
C． D．
4. 设等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．45 B．50 C．60 D．80
5. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6. 幂函数在上单调递增，则函数过定点（ ）
A． B． C． D．
7. 已知，，其中，则（ ）
A． B． C． D．
8. 若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，计20分，多选得0分，少选得3分）
9. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象的一条对称轴是
C．在上递减 D．在值域为
10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值为16
C．的最小值为8 D．的最小值为2
11. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”。在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆M上点到直线的最小距离为
B．圆M上点到直线的最大距离为
C．圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有2个
D．圆与圆M有公共点，则a的范围是
12. 若实数a,b,c,d满足，则的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
三、填空题（每小题5分，计20分）
13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____.
14. 椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆C上存在点P使得，则椭圆离心率的取值范围是_______．
15. 数列的通项公式，其前n项和为，则______.
16. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分，则截面的周长为________．

四、解答题（共6小题，计70分）
17. 【本题满分10分：5+5】
的内角的对边分别为，且，。
（1）求角C的大小；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，若这样的三角形存在，求三角形的周长；若该三角形不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

18. 【本题满分12分：5+7】
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，.
（1）求证：平面；
（2）在棱AB上是否存在一点F，使得二面角的大小为？如果存在，确定点F的位置；如果不存在，说明理由.










19. 【本题满分12分：6+6】
已知数列的前n项和为，，，.
（1）求实数m的值，并求出数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.




20. 【本题满分12分：2+5+5】
某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：

未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
35


注射疫苗
65


总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）直接写出x,y,z,w的值（不需写出过程）；
（2）能否有的把握认为注射此种疫苗有效？
（3）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为，求的概率分布和数学期望．
附：，

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828





21. 【本题满分12分：5+7】
已知函数．
（1）求的最大值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．










22. 【本题满分12分：4+8】
已知椭圆过点分别是椭圆C的左,右顶点，且直线与直线的斜率之积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若直线PM与直线PN斜率之积为1，试问直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．













扬州中学高三数学试卷
2020.12
一、单选题（每小题5分，计40分）
23. 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
24. 已知直线经过点，且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
25. 欧拉公式是由瑞士数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”。特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”。根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
26. 设等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．45 B．50 C．60 D．80
【答案】C
27. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
28. 幂函数在上单调递增，则过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
29. 已知，，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
30. 若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
二、多选题（每小题5分，计20分，多选得0分，少选得3分）
31. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象的一条对称轴是
C．在上递减 D．在值域为
【答案】BC
32. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值为16
C．的最小值为8 D．的最小值为2
【答案】ABD
33. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”。在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆M上点到直线的最小距离为
B．圆M上点到直线的最大距离为
C．圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有2个
D．圆与圆M有公共点，则a的范围是
【答案】AD
34. 若实数a,b,c,d满足，则的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】BCD
三、填空题（每小题5分，计20分）
35. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____.
【答案】
36. 椭圆的左、右焦点分别为，，C上存在一点P使得，则椭圆离心率的范围是_______．
【答案】
37. 数列的通项公式，其前n项和为，则______.
【答案】1010
38. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分，则截面的周长为________．
【答案】
【详解】

四、解答题（共6小题，计70分）
39. 【本题满分10分：5+5】
的内角的对边分别为，且，。
（1）求角C的大小；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，若这样的三角形存在，求三角形的周长；若该三角形不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【详解】（1）因为，所以，
又因为，所以，即，
又因为，所以，所以．
（2）由余弦定理得，即，
若选①：因为，所以，
所以，与矛盾，所以满足条件的三角形不存在．
若选②：因为，所以，又，所以，
故，即，所以三角形周长．
若选③：因为，所以，联立，解得，，所以三角形周长．
40. 【本题满分12分：5+7】
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，.
（1）求证：平面；
（2）在棱AB上是否存在一点F，使得二面角的大小为？如果存在，确定点F的位置；如果不存在，说明理由.
证明：（1）取中点，连接，，
，，四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面.
（2）解：以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则,0,，,0,，,4,，,4,，
,4,，,0,，，4，，
设，0，，则，0，，
，4，，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令可得，1，，
设平面的法向量为，，，则，即，令可得，，，
故，令，
即，解得，（舍），
当为的中点时，二面角的大小为.
41. 【本题满分12分：6+6】
已知数列的前n项和为，，，.
（1）求实数m的值，并求出数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
解：（1）当时，，则，
故，①
当时，，②
①②得，则.
故.
当时，满足上式，故.
（2），
.
42. 【本题满分12分：2+5+5】
某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：

未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
35


注射疫苗
65


总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（1）直接写出x,y,z,w的值（不需写出过程）；
（2）能否有的把握认为注射此种疫苗有效？
（3）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为，求的概率分布和数学期望．
附：，

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

解（1），，，，
（2），
所以有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效．…
（2）由题意，的所有可能取值为0，1，2．
，，，
所以的概率分布为

0
1
2




数学期望．
43. 【本题满分12分：5+7】
已知函数．
（1）求的最大值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）因为，所以，
设，所以，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以；
（2）因为，所以，
当时，且，所以恒成立，
当时，若恒成立，则恒成立（*），
设，所以，又因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
又因为由（1）知且，
所以若（*）成立，只需要，所以，
综上可知：.

44. 【本题满分12分：4+8】
已知椭圆过点分别是椭圆C的左,右顶点，且直线与直线的斜率之积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若直线PM与直线PN斜率之积为1，试问直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．
解（1）易知坐标分别为，则，
解得，又为上一点，可得，，
所以椭圆C的方程为；
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，设，
代入得：，
所以，
，整理可得：，
，，代入得：，
代入得：
，
整理可得：，
即，，
所以，此时直线方程为过定点，舍去，
或，此时直线方程为，过定点，
当斜率不存在时设直线方程为（），
代入椭圆方程可得，所以，，，
同理由可得：（舍去）或，
此时也过定点，
综上可得直线l过定点，定点为.