高三数学 函数专题复习 十八 正余弦定理

专题十八 正余弦定理
模块一、思维导图

模块二、考法梳理
考法一：正余弦定理选择
1．中，角所对的边分别为．若，则边 。
【解析】，即，解得或（舍去）．

2．在中，，，，则的外接圆面积为 。
【解析】因为在中，，，所以，
又，设三角形外接圆半径为，则，因此的外接圆面积为.

3．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于 。
【解析】由正弦定理，==
∴a=sinA，b=sinB，c=sinC
则==

4.在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝ 。
【解析】因为cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋25－2×1×5×＝32，∴c＝AB＝4。

5.在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C＝－，则AC的值为(　　 )
【解析】△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cos C＝－，∴c2＝a2＋b2－2abcos C，即16＝4＋b2－4b×，化简得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合题意，舍去)，∴b＝AC＝3.

考法二：边角互换
1．在△ABC中，若a＝2bsinA，则角B等于 。
【解析】由正弦定理有,因为.因为,故.即,又,故B等于30°或150°.

2．已知的三个内角所对边长分别是，若，则角的大小为 。
【解析】由正弦定理得，化简得，故.

3．在中,,则角的大小为 。
【解析】根据正弦定理得到：，根据余弦定理得到.
故.

4．在中，内角的对边长分别为，已知，且，则_________．
【解析】∵
∴根据正弦定理与余弦定理可得：，即
∵∴∵∴
5．在中，分别是角的对边,若,且，则的值为 。
【答案】2
【解析】在中，因为,且，
由正弦定理得，
因为，则，
所以，即，解得，
由余弦定理得，
即，解得．

6．已知的三个内角所对边长分别是，若，则角的大小为 ．
【答案】
【解析】由正弦定理得，化简得，故.

考法三：三角形面积
1．在中，内角对应的边分别为，已知，，且，则的面积为 。
【答案】
【解析】因为，，所以由正弦定理得
即，得因为，所以所以
所以面积
2．在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为______.
【答案】2
【解析】由余弦定理得，即，解得，
∴，∴，
故.故答案为：2

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cos B＝，＝2，且S△ABC＝， 则b的值为 。
【答案】3
【解析】根据正弦定理可得,.
在中,,.
,,.
,.

4．在△中，，，，且△的面积为，则=_______
【答案】
【解析】，，∵，∴，∴．

考点四：三角形形状判断
1．在中，已知，则该的形状为 。
【解析】化为，
，，
至少有一个是锐角，，
或，或,所以是等腰三角形或直角三角形.

2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足且三边a，b，c成等比数列，则这个三角形的形状是 。
【解析】三边a，b，c成等比数列，即，根据余弦定理，即，.故为等边三角形.

3．已知三内角、、的对边分别是、、，若，且，则的形状为 。
【【解析】由正弦定理得，即，
所以，.又，由余弦定理得,所以,所以，所以为等腰直角三角形.

4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 。
【解析】不妨设为直角三角形，，则，设三边增加的长度为，则新三角形的三边长度分别为，则，而，所以，因此新三角形为锐角三角形.
5．对于，有如下命题：
若，则一定为等腰三角形．
若，则一定为等腰三角形．
若，则一定为钝角三角形．
若，则一定为锐角三角形．
则其中正确命题的序号是______ 把所有正确的命题序号都填上
【解析】或，为等腰或直角三角形正确；
由可得由正弦定理可得
再由余弦定理可得，为钝角，命题正确

全为锐角，命题正确
故其中正确命题的序号是，，

考点五：三角形个数
1．已知中，，，若仅有一解，则 。
【答案】
【解析】由题中已知中，，，则角所对的高线长可表示为，因为三角形形状唯一，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，则 或， 所以 或

2．在三角形中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 。
A．,, B．,,
C．,, D．,,
【解析】A已知两角一边，三角形确定的，只有一解，B已知两边及夹角用余弦定理，只有一解，C中已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解，D中，，有两解．故选：D.

3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足，，的三角形解的个数是______.
【解析】根据正弦定理得到：，故，.
故满足条件的三角形共有个.故答案为：.

4．若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是 。
【解析】根据正弦定理可知 ，代入可求得 因为，所以
若满足有两个三角形ABC则 所以

考点六：取值范围
1．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此

2．中，内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则面积的最大值是__________．
【解析】由及正弦定理得，
，即，
又，于是可得，即，.
在中，由余弦定理得，即，
又因为，，
由此可得，当且仅当时等号成立，
面积，故面积最大值为.故答案为

3．在锐角中，，，分别为三边，，所对的角，若，且满足关系式，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】得，又，所以.
在锐角中，，由正弦定理得：

所以，
所以.
因为，所以，所以.
4．设，，分别为内角，，的对边.已知，则的取值范围为______.
【解析】因为，所以，
所以，
即，又，所以，
则，因为，所以，
而，故.故答案为：．

5．在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为___．
【解析】由正弦定理，得：，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，因为，
所以，，化简，得：，解得：x＝3y

，，，
＝＝
＝＝，当且仅当时取得最小值.
考法七：解析几何中运用
1．如图,在,已知点在边上,,,,,则的长为 。

【解析】由题意，
∴，．

2．的两边长分别为1，，第三边上的中线长为1，则其外接圆的直径为 。
【解析】，设，
在中，，即，①
在中，同理可得，②

①+②得，为等边三角形，
，的外接圆直径为 .

3．在中，，则 。
【解析】设所以，
所以，
所以，
得，所以

4.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3，BD＝5，sin∠ABC＝，则CD的长为 。

【解析】利用余弦定理求解．因为sin∠ABC＝sin＝cos∠DBC＝，
在△DBC中，由余弦定理可得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝25＋27－2×5×3×＝16，
所以CD＝4。

5.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.

【解析】在ΔABD中，＝，而AB＝4，∠ADB＝，AC＝＝5，sin∠BAC＝＝，cos∠BAC＝＝，∴BD＝.cos∠ABD＝cos(∠BDC－∠BAC)＝coscos∠BAC＋sinsin∠BAC＝
考点八：综合运用
1．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为，,,,则的值为 。
【解析】因为，所以
.

2．在中，，向量 在上的投影的数量为，则 。
【解析】∵向量 在上的投影的数量为，∴．①
∵，∴，∴．②
由①②得，∵为的内角，∴，∴．
在中，由余弦定理得
，∴．

3．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于 。
【解析】∵，，
∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，
∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈（0，π），可得：A=，又的面积为，即,∴bc=4,又=-=-=-===-bccosA=2.

4．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是 。
【解析】由题题意，设 则
在 中， ∴根据余弦定理，得 即：
整理得 解之得 或 （舍）即所求电视塔的高度为40米．

5．设，分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在一点，使得，且，则该双曲线的离心率是 。
【解析】,分别是双曲线的左、右焦点,且双曲线上的点满足 所以,解得
因为,所以在三角形中由余弦定理可得
,代入可得
化简可得,即 所以

模块三、巩固提升
【考法一 正余弦定理选择 】
1．在中，，，，则为 。
【解析】由正弦定理可得：
，或
2．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=13，则sinB= 。
【答案】59
【解析】由正弦定理得313=5sinB∴sinB=59，故选B．

3．已知分别为三个内角的对边且，则=____
【答案】 （或）
【解析】因为，所以，所以2bccosA=,所以,.故答案为.

4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则此三角形的外接圆的面积为______.
【答案】
【解析】在中，由余弦定理可得：解得：；
再由正弦定理可得：，解得，
由圆面积公式解得外接圆面积为：.故答案为：.

5．在中，角A、B、C所对的边分别为、、．若，则＝__________.
【答案】1
【解析】因为b=1,c=,C=,那么根据正弦定理可知,可知sinB=,因为b