高三数学 函数专题复习 五 函数的值域

专题五   函数的值域

模块一、思维导图

模块二、考法梳理

考法一：单调性法

1.若函数的定义域是，，则函数的值域为　　．

【解析】函数在，上单调递增且，（2）．其值域为，

2.函数的值域为   。

【解析】，，函数的值域为．

3.若函数，则函数的值域是      。

【解析】当时，，当时，，综上，即函数的值域为。

4.函数，的值域为      。

【解析】；时，；时，；

时，取最大值；又；的值域为．

考法二：换元法

1.函数在，上的值域为       。

【解析】，

令，因为，，所以，，

原函数的值域等价于函数的值域，所以．

2.   函数的值域为        。

【解析】由，得．

函数为上的增函数，函数为，上的增函数，

是，上的增函数，．

即函数的值域为，．

3.函数y＝x＋4＋的值域           。

【答案】[1,3＋4]

【解析】令x＝3cosθ，θ∈[0，π]，则y＝3cosθ＋4＋3sinθ＝3sin＋4.

∵0≤θ≤π，∴≤θ＋≤，∴－≤sin≤1，

∴1≤y≤3＋4，∴函数的值域为[1,3＋4]．

考法三：分离常数法

1．已知函数，则它的值域为        。

【答案】

【解析】，

，，，，，的值域为．

2.已知函数，则该函数在，上的值域是    。

【答案】，

【解析】，在上单调递减，在，上单调递增，

（2）是在，上的最小值，且（1），（3），

在，上的值域为，．

3.   函数的值域是          。

【答案】或 

【解析】，

当时，有，

当且仅当，即，也就是时上式等号成立；

当时，有，

当且仅当，即，也就是时上式等号成立．

函数的值域是或．

4.   函数的值域是         。

【答案】，

【解析】，

，，则，

．即函数的值域是，．

5.函数的值域为      。

【答案】

【解析】，，，，，，即，即函数的值域为，

考法四：图像法

1.函数的值域是     。

【答案】

【解析】，

当时，单调递增，故；

当时，先减后增，当时，函数取得最小值，故，

综上可得，函数的值域为．

2．函数在区间上的最大值________.

【答案】3

【解析】因为函数在为减函数，在为增函数，

又 ，，又，即函数在区间上的最大值为3。

考点五：几何法

1.求函数y＝，x∈的值域．

【解析】函数y＝的值域可看作由点A(x，sinx)，B(1，－1)两点决定的斜率，B(1，－1)是定点，A(x，sinx)在曲线y＝sinx，x∈上，如图，∴kBP≤y≤kBQ，即≤y≤.

2.

【答案】[10，＋∞)

【解析】如图，函数y＝＋的几何意义为平面内一点P(x,0)到点A(－3,4)和点B(5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B关于x轴的对称点B′(5，－2)，连接AB′交x轴于一点P，此时距离之和最小，∴ymin＝|AB′|＝＝10，又y无最大值，所以y∈[10，＋∞).

考点六：利用值域求参数

1已知函数的值域为，则实数的取值范围是     。

【解析】函数的值域为，能够取到大于0的所有实数，则△，解得．实数的取值范围是，．

2.   已知函数的值域为，，则的取值范围是     。

【解析】当时，对任意实数恒成立，不合题意；

要使函数的值域为，，则，解得．

∴m的取值范围是，．

3.已知函数，的值域为，，则实数的取值应为     。

【答案】

【解析】时，；时，，依题意可得．

模块三、巩固提升

【题组一 单调性】

1.函数的值域为      。

【解析】由，可得函数的值域为，．

2.函数的值域为     。

【解析】；；的值域为．

3．函数在区间上的最小值为        。

【解析】，令，即解得

当时，当时，∴，

而端点的函数值，，得．

4．函数的最大值是        。

【答案】

【解析】 故函数的最大值为：.

5．函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．

【答案】3

【解析】与y=－log2(x＋2) 都是[-1，1]上的减函数，所以函数f(x)＝－log2(x＋2) 在区间[-1，1]上的减函数，∴最大值为：f（-1）=3故答案为3．

【题组二 换元法】

1.函数的值域为             。

【解析】，，且，

时，取最小值；时，取最大值，原函数的值域为．

2.函数，，的值域为      。

【解析】令，，，，

时，，时，，，

3.函数的值域为     。

【解析】设，则，，

，原函数的值域为．

4.已知，则函数的值域为      。

【答案】，

【解析】，，

在，上单调递增，故当时，函数有最小值4，即函数的值域为，．

【题组三 分离常数法】

1.函数，，的值域为     。

【解析】，，，，，

，函数的值域为：，．

2.函数，，的值域为　　．

【答案】，

【解析】，，，，，原函数的值域为，．

3.函数的值域为      。

【答案】

【解析】，，，的值域为．

4.函数的值域为        。

【答案】

【解析】，，，，的值域为．

5已知，函数的值域为_________.

【答案】

【解析】因为，

任取，则

，因为，所以，，所以，

因此，故函数在上单调递增，所以，

即所求函数值域为.故答案为：

6．函数在区间上的值域为_____

【解析】由题：，函数在单调递减，在单调递减，

可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：

所以函数在递减，在递减，，，

所以函数的值域为.故答案为：

【题组四 图像法】

1．函数在区间上的最大值________.

【解析】因为函数在为减函数，在为增函数，

又 ，，又，即函数在区间上的最大值为3，

2．函数 的最大值为_______.

【解析】因为；易得：当且仅当时取最大值1

【题组五 利用值域求参数】

1.函数的值域为，则实数的范围为       。

【解析】时，；的值域为；是函数，的值域的子集；

；解得；实数的范围为，．

2．若函数的值域为，，则的取值范围是    。

【解析】由题意：函数是一个复合函数，要使值域为，，则函数的值域要包括0，即最小值要小于等于0．

则有：解得：所以的取值范围是，．

3.若函数的值域是，则实数的取值范围是　　．

【解析】当时，，此时值域为，

依题意，当时，，，显然，即，

①若，即时，单调递增，此时值域为，，不可能满足，，舍去；

②若，即时，单调递减，此时值域为，，则需，，故此时．综上，实数的取值范围为，

4.若函数的值域为，，则实数的取值范围是　．

【解析】时，；时，，且的值域为，，

，实数的取值范围是：，

5.已知函数，若的值域为，，则的取值范围　　．

【解析】的值域为，，的最小值为0，

设，的最小值为0，

当时，，当且仅当取等号，解得，

当时，的最小值不为0，故不满足条件，综上所述的取值范围，

【例】求下列函数的值域．

(1) y＝x＋；

(2) y＝＋；

(3) y＝，x∈[3，5]；

(4) y＝(x>1)．

【解析】(1)  解法1（函数单调性法）任取x1，x2(x1x2≠0)，且x1＜x2，

∵f(x1)－f(x2)＝x1＋－(x2＋)＝，

∴当x1＜x2≤－2或2≤x1＜x2时，f(x)递增；当－2＜x1＜x2＜0或0＜x1＜x2＜2时，f(x)递减．故x＝－2时，f(x)极大＝f(－2)＝－4；x＝2时，f(x)极小＝f(2)＝4．

∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．

解法2 （基本不等式法）当x＞0时，x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝2时，“＝”成立；

当x＜0时，x＋＝－(－x－)≤－4，当且仅当x＝－2时“＝”成立．

∴y∈(－∞，－4]∪[4，＋∞)，即所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．

(2) 解法1（配方法）∵≤x≤，

∴y2＝4＋2＝4＋2，

∴4≤y2≤8，∴2≤y≤2．

∴函数的值域为．

解法2（换元法）令＝2cosθ，＝2sinθ，θ∈，

∴y＝2cosθ＋2sinθ＝2sin(θ＋)，θ＋∈[，]，∴y[2，2]．

∴函数的值域为．

（3）解法1  （单调性法）由y＝＝2－，结合函数的图象可知，函数在[3，5]上是单调递增函数，所以ymax＝，ymin＝，

故所求函数的值域是．

解法2  （反表示法）由y＝，得x＝．

因为x∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，

即所求函数的值域是．

(4) (基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)，

所以y＝＝＝t＋－2(t>0)．

因为t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即x＝＋1时，等号成立，

故所求函数的值域为[2－2，＋∞)．

巩固1.函数的值域是______ ．

【解析】令，，
即，，
函数在区间上是减函数，
故  ，
故函数的值域是．
巩固2.函数的值域为__________．

【解析】因为函数，得对称轴，开口向下，
所以当时，
当时，
所以值域为．
3.函数的值域是______．

【解析】，，
即函数的值域是．
 

4.函数的值域为________  ．

【解析】，
由，则，，，
函数的值域为，