高三数学 导数专题复习 二十一 利用导数研究函数图像 最值 极值问题

专题二十一 利用导数研究函数图像 最值 极值问题

一 利用导数研究函数的图象
例题1 （2018·全国高考真题（文））函数的图像大致为
A． B．
C． D．
【分析】根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
【解析】函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
例题2 （2017·浙江高考真题）函数的图像如图所示，则函数的图像可能是

A． B．
C． D．
【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

【小结】
函数图象的辨识主要从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
例题1 如图，函数的图像在点处的切线方程是，则( )。
A、
B、
C、
D、
【解析】∵，∴，∴，∴，选C。

例题2 函数的图像如右图所示，则导函数的图像的大致形状是( )。



A、 B、 C、 D、
【解析】先增后减再不变，则先小于零后大于零最后等于，选D。

例题3 已知的图像如图，则( )。
A、
B、
C、
D、
【解析】由图可知，又，则，选A。

例题4 函数的图像如图所示，则下列结论成立的是( )。
A、，，，
B、，，，
C、，，，
D、，，，
【解析】∵函数的图像在轴上的截距为正值，∴，∵，
且函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
∴的解集为，∴，又、均为正数，
∴，，可得，，选C。

例题5 已知函数()，则函数的图像可能是( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】设，是奇函数，其图像关于原点对称，∵，
∴的图像是的图像向上或向下平移得到的，∴排除A项，
由，知当，时，，函数单调递增，又，
∴，即，∴排除D项；
当，时，，函数单调递减，又，∴，
即，∴排除C项，选B。
例题6 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )。
A、函数有极大值和极小值
B、函数有极大值和极小值
C、函数有极大值和极小值
D、函数有极大值和极小值
【解析】由的图像知：(分四段考虑)
(1)当时，，则，
(2)当时，，则，
(3)当时，，则，
(4)当时，，则，
则可知当和时，∴在和上单调递增，
当时，∴在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，选B。

例题7 己知函数是定义域为的奇函数，且，的导函数的图像如图所示。若正数满足，则的取值范围是( )。
A、 B、
C、 D、
【解析】在上恒成立，在上恒增，得，
则，，解得，又，∴，则，选B。




例题8 已知函数(其中为自然对数的底数)，则图像大致为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】的定义域为，依题意得，令，解得，
当时，，是减函数，当时，，是增函数，
∴为的极小值也为最小值，，，
只有C中的函数的极值的，且极小值为负值，
又当时，；因此对比各选项知，选C。

变式1 若函数(为自然对数的底数)，则图像大致为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】记，则有，
当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
在处取极小值也是最小值，，
当时，当时，
∴在有两个零点、(不好求但知道在之间，
，)，
这只是的单调性，又∵，则，
当时，是减函数，且，，且是增函数；
当时，是减函数，且，，且是增函数，
当时，是增函数，且，，且是减函数，
当时，是增函数，且，，且是减函数，选C
例题9 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是
【解析】的定义域为，，
令，则有两个极值点，
等价于有两个不等的实数根，
又等价于与图像有两个交点，
作图，的图像为标准图像，可直接作出，
为一次函数，必过点，
则的图像围绕着点旋转，当与相切时两图像有唯一一个交点，此时：
设切点，，能列出三个方程：，则，∴，，
则，当时直线与曲线相切，
由图像知当时与的图像有两个交点，则实数的取值范围是，选B。
【小结】设函数，则的零点有三种求法：
(1)求的根，就是的零点，此法一般只应用于能求根或能因式分解的函数，如二次函数；
(2)做函数的图像，则的图像与轴的交点就是就是的零点，此法只应用于能画出图像函数；
(3)把函数拆成和两个函数，分别作出、的图像，则这两个函数图像的交点就是的零点，此法一般只应用于能画出、的图像的函数。

例题10 函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数范围是
【解析】作的图像，函数恒过定点，
设过点与函数的图像相切的直线为，
切点坐标为，∵的导函数，
∴图中的切线的斜率为，则，解得，∴。
二 利用导数研究函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
例题3 （2017·全国高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．
A． B． C． D．
【解析】由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．

例题4 （2018年文北京卷）设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.
【解析】（Ⅰ）因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex，所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex.
f'(2)=(2a-1)e2，由题设知f'(2)=0，即(2a-1)e2=0，解得a=12.
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.
若a>1，则当x∈(1a,1)时，f'(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax-1≤x-1<0，所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.
综上可知，a的取值范围是(1,+∞).
方法二：f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.
（1）当a=0时，令f'(x)=0得x=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x
(-∞,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
−
f(x)
↗
极大值
↘
∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.①当x1=x2，即a=1时，f'(x)=(x-1)2ex≥0，
∴f(x)在R上单调递增，∴f(x)无极值，不合题意.
②当x1>x2，即0 x
(-∞,1)
1
(1,1a)
1a
(1a,+∞)
f'(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.
③当x11时，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x
(-∞,1a)
1a
(1a,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
（3）当a<0时，令f'(x)=0得x1=1a,x2=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x
(-∞,1a)
1a
(1a,1)
1
(1,+∞)
f'(x)
−
0
+
0
−
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为(1,+∞).
例题5 （2017·江苏高考真题）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
证明：b²>3a;
若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围。
【解析】（1）由，得.
当时，有极小值.
因为的极值点是的零点，所以，又，故.
因为有极值，故有实根，从而，即.
时，，故在R上是增函数，没有极值；
时，有两个相异的实根，.
列表如下
x






+
0
–
0
+


极大值

极小值


故的极值点是.从而，因此，定义域为.
（2）由（1）知，.设，则.
当时，，从而在上单调递增.
因为，所以，故，即.因此.
（3）由（1）知，的极值点是，且，.
从而

记，所有极值之和为，
因为的极值为，所以，.
因为，于是在上单调递减.
因为，于是，故.因此a的取值范围为.

【小结】
1.两点说明：
（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减函数没有极值．
2.求函数f(x)极值的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
3.由函数极值求参数的值或范围．
讨论极值点有无(个数)问题，转化讨论f′(x)＝0根有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数值或范围，特别注意：极值点处导数为0，而导数为0点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号

三 利用导数研究函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
例题6 （2019·全国高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
【解析】 (1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.
所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.
所以，而，所以.即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
例题7 （2017·北京高考真题（理））已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【解析】（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，，所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.

【小结】
1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
第一步，求函数在(a，b)内的极值；
第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2． 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．


四 函数极值与最值的综合问题
例题8 （2019·泉州第十六中学高三期中（文））已知函数（）．
（1）求的单调区间和极值；
（2）求在上的最小值．
【解析】（1），由，得；
当时，；当时，；
∴的单调递增区间为，单调递减区间为
，无极大值．
（2）当，即时，在上递增，∴；
当，即时，在上递减，∴；
当，即时，在上递减，在上递增，
∴
例题9 （2019·江苏高考真题）设函数，为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．
【解析】（1）因为，所以．
因为，所以，解得．
（2）因为，
所以，
从而．令，得或．
因为，都在集合中，且，所以．
此时，．令，得或．
列表如下：




1


+
0
–
0
+


极大值

极小值

所以的极小值为．
（3）因为，所以，．
因为，所以，
则有2个不同的零点，设为．
由，得．
列表如下：







+
0
–
0
+


极大值

极小值

所以的极大值．
解法一：

．因此．
解法二：因为，所以．
当时，．
令，则．令，得．
列表如下：





+
0
–


极大值

所以当时，取得极大值，且是最大值，故．
所以当时，，因此．
【小结】
求解函数极值与最值综合问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
1．（2018·全国高考真题（理））函数的图像大致为 (　　)
A． B． C． D．
【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
【解析】为奇函数，舍去A,
舍去D;
，所以舍去C；因此选B.

2．（2020·广东东莞 高二期末）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由，当时，当时，增区间为．选D

3．（2020·江苏常熟 高二期中）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，，
∵函数在区间内单调递增，
∴导函数恒成立，则恒成立，故.故选：A．

4．（2019·湖北高三月考（理））已知为定义在R上的可导函数，为其导函数，且，=2019，则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A．(0.+∞) B．(-∞，0)∪(0，+∞) C．(2019，+∞) D．(-∞，0)∪(2019，+∞)
【解析】设，则
∵，，∴，∴是R上的增函数
又，∴的解集为(0,+∞)
即不等式的解集为(0,+∞)，故选A.

5.（2019·云南高三月考（理））已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，，则，
∵，即，∴，∴在上单调递减，
故，即，即，故选：D．

6．（2020·甘肃省岷县第一中学高二开学考试（理））设函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【解析】的定义域为.，令其分子为在区间上有两个零点，故，解得，故选B
7．（2020·安徽屯溪一中高二期中（理））若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对函数进行求导，得，当，，当或时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处函数取得极小值，因为函数在端点处的函数值无法取到，所以区间内必存在极小值点，且此极小值点为最小值，因此，解得，又因为，即函数在时的函数值与处的极小值相同，为了保证在区间上最小值在取到，所以，综上，.故选：C

8．（2020·广西南宁三中高二期末（文））已经知道函数在上，则下列说法不正确的是( )
A．最大值为9 B．最小值为
C．函数在区间上单调递增 D．是它的极大值点
【解析】，令，解得或，
所以当，时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，C错误；
所以是它的极大值点，D正确；
因为，所以函数的最大值为9，A正确；
因为，所以函数的最小值为，B正确.故选：C
9.（2020·江苏高二期末）【多选题】已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点
C．函数在区间上单调递增 D．函数在处切线的斜率小于零
【解析】由图象得时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，故是函数的极小值点，故选：BC．

10.（2020·山东高二期中）【多选题】已知函数，则（ ）
A．时，的图象位于轴下方 B．有且仅有一个极值点
C．有且仅有两个极值点 D．在区间上有最大值
【解析】由题,函数 满足 ,故函数的定义域为
由 当 时 ，所以，则的图象都在轴下方，A正确；
又，在令 则 ，故
函数单调递增，则函数 只有一个根 使得
当时 函数单调递減 ，当时，函数单调递增，
所以函数只有极值点且为极小值点，所以B正确，C不正确；
又 所以函数在先减后增，没有最大值，所以D不正确.
故选：AB.

11.（2019·江苏高三期中）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是______．
【解析】由题意可知，函数的定义域为，且，
令，得，即，构造函数，
则直线与函数在上有两个交点.
，令，得，
列表如下：










极大值

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，如下图所示：

当时，直线与函数在上有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
12.（2019·江西临川一中高三期中（理））函数的最大值为________．
【解析】因为，求导得
因为，所以当时，，当时，，
即当时，单调递增，
当时，单调递减，故在处取得极大值即最大值，
所以.

13．（2019·山东高三期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为__________.
【解析】由题意得：，
因为在区间上单调递减，所以在区间恒成立，
所以.

14．（2020·全国高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
【解析】（1）由题，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
令，得或，所以在上单调递减，在
，上单调递增.
15.（2019年高考全国Ⅲ卷理）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）．
令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，在[0，1]单调递增，所以在区间[0，l]的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，，即a=0，．
（ii）当a≥3时，由（1）知，在[0，1]单调递减，所以在区间[0，1]的最大值为，最小值为．此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0 若，b=1，则，与0 若，，则或或a=0，与0 综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．
















一、选择题
1．如图，函数是可导函数，直线：是曲线在处的切线，令，是的导函数，则( )。
A、
B、
C、
D、
【解析】由图可知曲线在处切线的斜率为，
且直线必过点和，则，即，
又，，，
又，∴，选B。

2．已知函数在上单调递增，则( )。
A、且 B、且 C、且 D、且
【解析】，则恒成立，则，无要求，选A。

3．已知函数的图像如右图所示[其中是函数的导函数]，则的图像大致是下面四个图像中的( )。


A、 B、 C、 D、
【解析】①，，②，，③，，④，，选C。

4．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】定义域为，，在上不单调，
则在上有解，此方程可化为，，
∴方程的两解不可能都大于，从而它在上只有一解，
充要条件是，解得或，
∴D是要求的一个充分不必要条件，选D。

5．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】令，则，故在上单调递增。
又，故当时，，即，选C。

6．已知函数，曲线在处的切线的方程为，则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】由得，则，得，
由得加，即，
∴切线的方程为，
令，得到，令，得到，
所求三角形面积为，选B。



7．设，若，恒成立，则实数的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】将不等式变形为，
当时，不等式恒成立；当时，不等式变形为，
记，则，而，
因此在上单调递增，故，∴，故，选A

8．已知函数是偶函数，则不等式的解集为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】由特殊的奇偶函数可知，∴，
当时，，∴在上单调递增，
又为偶函数，∴在上单调递减，
∴可化成，两边平方得，
即，解得，选A。

9．已知函数，，若，使得()成立，则的取值范围是( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】，当时，单调递减；
当时，单调递增；
∴，∵，故，
又(当且仅当时等号成立)，∴，
∵，故可化为，解得，选B。
10．若存在斜率为()的直线与曲线与都相切，则实数的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】设直线与、的切点分别为、，
则由，，得，解得，
∴两切点重合，即，∴，
依题意在上有解，
令()，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
∴，当时，
∴，即，选A。

11．若函数的图像上存在直线平行的切线，则实数可取( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】的定义域为，，
∵函数存在直线平行的切线，
∴方程在区间上有解，即在区间上有解，∴，
若直线与曲线相切，设切点，则，
解得，此时，
综上实数的取值范围为，选AB。
12．若函数恰有两个不同的零点，则实数可取的值有( )。
A、 B、 C、 D、
【解析】显然，不是函数的零点，令，得，
构造函数，，则，
令得到，令得到且，
画出函数的图象，如图所示，
可知当时，直线与的图象不可能有两个交点，
当且时取得最小值，∴，
当时，的图象与直线有两个不同的交点，
即函数恰有两个不同的零点，∴的取值范围为，选CD。

二、填空题
13．曲线在处的切线方程为 。
【解析】由，，在处切线斜率为，∴切线方程为

14．已知函数()，若直线与曲线相切，则 。
【解析】，设切点为，则切线斜率为，故，即，故，
令()，则，
∴当时，故在上递减，当时，故在上递增

15．函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是 。
【解析】画出函数的图像，如图示：若函数有个零点，
只需求与图像交点，也就是分别画出(如图)与
(一条水平直线)，结合图像：或。
16．已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是 。
【解析】∵点在曲线上，则，
又∵，则在上是单调递增函数，则为一一对应函数，
设，则，则，则当时，，
∴，，
设，，则在上是单调递增函数，
∴，即，则实数的取值范围是。

三、解答题
17．已知函数()。
(1)若，求在上的最小值和最大值；
(2)若在上是增函数，求实数的取值范围。
【解析】(1)的定义域为，，
由得，解得，∴，
令，即，解得或，















极小值


∴在上的最小值是，最大值是；
(2)由题意得：在区间上恒成立，∴，
又当时，是增函数，其最小值为，∴，
即实数的取值范围是。

18．设函数。
(1)证明：在单调递减，在单调递增；
(2)若对于任意，都有，求的取值范围。
【解析】(1)证明：的定义域为，，
若，当时，，
当时，，
若，当时，，
当时，，
∴综上，在单调递减，在单调递增；
(2)由(1)知对于，在单调递减，在单调递增，∴在处取最小值，
∴的充要条件是，即①，
设函数，则，
当时，当时，故在单调递减，在单调递增，
又，，故当时，
当时，，，即①式成立，
当时，由的单调性可得，即，①式不成立，
当时，由的单调性可得，即，①式不成立，
综上，的取值范围是。
19．已知函数()。
(1)若，函数在区间上的最小值为，求的值；
(2)设，若函数有极值，求实数的取值范围。
【解析】(1)的定义域为，，
若，则恒成立，∴在上单调递增，
∴函数在区间上的最小值为，则；
(2)由题意得：()，的定义域为，
则，而，当且仅当时取等号，
分两种情况：
①当时，对任意，恒成立，此时无极值，
②当时，令，方程有两根，
，，
∴有两个根，，
当时，，在区间上单调递减，
当或时，在区间和上单调递增，
从而在处取极大值，在处取极小值，
综上，若函数有极值，则实数的取值范围为。
20．已知函数，，其中是自然对数的底数。
(1)判断函数在内的零点的个数，并说明理由；
(2)，，使得成立，试求实数的取值范围
【解析】(1)函数在内的零点的个数为，理由如下：
∵，∴，
∵，，
∴函数在上单调递增，∵，，
根据函数零点存在性定理得函数在内的零点的个数为；
(2)∵，∴，∴，
∴，当时，，函数在上单调递增
∴，∵，∴，
∵，∴，，，∴，
∴函数在上单调递减，∴，∴，
∴，∴实数的取值范围为。
21．已知函数。
(1)讨论的单调性；
(2)求证：当时 ，对都有。
【解析】(1)∵，其定义域为，∴，，
当时，即时，恒成立，∴在上单调递增，
当时，即时，有两个根为：
、，，
∴当和时，，单调递增，
当时，，单调递减；
(2)由(1)知，当时，，在上单调递增，
∵对有，
不妨设，∵在上单调递增，∴，
则原式可以转化为，
即有，即证，
设，，
则，，
当时，单调递增，，
∵，∴，
当时，单调递增，
∴，即，
同理可证，即，
则原不等式得证。
22．已知函数。
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求正整数的最小值。
【解析】(1)当时，，定义域为，则，
设，定义域为，则，令得，
当时，则在上单调递增，
当时，则在上单调递减，
则在处取极大值也是最大值，，
故当时，恒成立，当且仅当时取等号，
∴在设单调递减；
(2)若()有两个极值点，
即()有两个极值点，
即有两个异号零点，
等价于函数的图像与直线有两个交点，
∵的定义域为，
，
设，∴，故在上单调递增，
而，，故存在，使得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
若函数的图像与直线有两个交点，则，
当时，，∵，。