高三数学 函数专题复习 四 函数定义域

专题四  函数的定义域模块一、思维导图
                   1． 函数的定义域(1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合．(2) 求定义域的步骤：① 写出使函数式有意义的不等式(组)；② 解不等式组；③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)．(3) 常见基本初等函数的定义域：① 分式函数中分母不等于零；② 偶次根式函数中被开方式大于或等于0；③ 一次函数、二次函数的定义域为R．④ y＝ax，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R．⑤ y＝tanx的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．⑥ 函数的定义域为{x|x>0}．④ y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤ y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R．⑥ y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1，1]．⑦ y＝tanx的值域是R．必考点1     函数的定义域【例1】求下列函数的定义域：（1）f(x)＝；（2）；（3）已知函数f(2x)的定义域是[－1，1]，求f(x)的定义域．【解析】（1）为使函数有意义，自变量需满足即即，或∴函数f(x)的定义域为[0，1)∪(1，2)．（2）为使函数有意义，必须且只须自变量满足，即且．故原函数的定义域为．（3）∵ f(2x)的定义域为[－1，1]，即－1＜x＜1，∴ ≤2x≤2，故f(x)的定义域为． 巩固1.（2019·江苏卷）函数的定义域是______．【解析】由，得，解得：．函数的定义域是．

巩固2．已知函数的定义域为，则的定义域为________.【解析】∵函数的定义域为，∴ ，得，∴．故的定义域为. 巩固3.已知函数f（x）的定义域是，则的定义域是　   　．【解析】∵f（x）的定义域是，∴，解得﹣1＜x≤3．∴f（2x）的定义域是（﹣1，3]．【例2】 (1)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________；(2)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为R，所以－1≥0对x∈R恒成立，即≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0．所以实数a的取值范围是．(2)因为函数y＝的定义域为R，所以方程ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即函数t＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．当a＝0时，函数y＝3的图象与x轴无交点；当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得0<a<3．综上所述，实数a的取值范围是[0，3)．巩固1.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是______．【解析】函数的定义域为R，对任意实数x恒成立．
若，不等式成立；若，则，解得．
综上：．
巩固2.函数的定义域为R，则实数m的取值范围是______．【解析】函数的定义域为R，恒成立．
若，则不等式等价为，即，不满足条件．
若，要使不等式恒成立，则即，解得，综上，
必考点2     函数的定义域、值域和最值的综合题【例】已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．【解析】 (1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a]，∴即解得a＝2．∴实数a的值为2．(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2．又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2．∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3，又a≥2，∴2≤a≤3．∴实数a的取值范围是．巩固1.已知函数y＝的定义域为R，值域为[0，＋∞)，则实数a的取值集合为________．【解析】∵函数y＝的定义域为R，值域为[0，＋∞)，∴x2－2x＋a≥0恒成立，且最小值为0，则满足Δ＝0，即4－4a＝0，则a＝1． 即实数a的取值集合为{1}．巩固2.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．【解析】当a>1时无解；当0<a<1时解得b＝－2，a＝，则a＋b＝－2＝－． 巩固3.若函数y＝f(x)＝x2－2x＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的值为_______．【解析】∵y＝f(x)＝(x2－4x＋8)＝(x－2)2＋2，∴其图象的对称轴是x＝2．因此y＝f(x)在[2，2b]上是递增函数，且2b>2，即b>1．又函数y＝f(x)＝x2－2x＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，所以有f(2b)＝2b，即(2b)2－2×2b＋4＝2b，∴b2－3b＋2＝0，∴b＝1(舍去)，b＝2．∴实数的值为2． 巩固4.（拔高题）已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．【解析】由0≤－1≤1，即1≤≤2，解之，得0≤|x|≤2，∴满足整数数对的有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．
模块二、考法梳理考法一  已知解析式求定义域例1.函数的定义域是        。【解析】∵函数f（x）=+lg（3x+1），∴；解得﹣＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣，1）． 例2.函数的定义域是          。【解析】将化为，所以定义域为 因为，所以 综上，定义域为 例3．函数的定义域为_____________.【解析】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得，解得，时，不等式解集为 ，故的定义域为， 例4．函数的定义域为________.【解析】要使原式有意义，则，解得x∈．故答案为：．
模块三、巩固提升1．函数的定义域为          .【解析】由，解得x≥0且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）． 2．函数f(x)＝的定义域为          .【解析】要使函数有意义，则解得x＞2. 3．函数的定义域为      .【解析】欲使函数有意义则，所以 的定义域为 . 4．已知的定义域是         .【答案】【解析】由题意可得，即，解得：或， 5．函数f（x）=的定义域为           .【答案】[3，4）∪（4，+∞）【解析】要使函数有意义，则，解得.6．函数的定义域为__________.【解析】函数自变量满足：，解得即，答案 7．函数的定义域是       ．【解析】，解得．答案 8．函数的定义域为       ．【解析】要使有意义，须，即，解得或，即函数的定义域为 9．函数的定义域是________【解析】要使函数有意义，须，解得且， 函数的定义域是.故答案为：.
10．函数的定义域___________【解析】由题意可得，解得且，所有函数的定义域是： 11．函数的定义域是________【解析】由正弦函数的定义和分式的意义，得，即，解得.故答案为： 12.若，则的定义域为____________.【解析】由题，解得 考法二 抽象函数求定义域例1．已知的定义域为，则函数的定义域为           。【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得．定义域为 例2．若函数=的定义域为,则函数的定义域是         。【解析】因为=的定义域为,所以,所以函数=的定义域是 例3.已知函数的定义域为[-2，3]，则函数的定义域为          。【解析】由函数y＝的定义域为[-2，3]，∴∴对y＝f（2x+1），有，解得，即y＝f（2x+1）的定义域为． 例4．设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为     。【解析】因为，所以，因为，所以的定义域为． 例5.若函数的定义域为,则函数的定义域是       。【解析】设，则.由的定义域为知，，即的定义域为，要使函数有意义，必须满足，即，解得， 模块三、巩固提升1．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数的定义域为        .【解析】由题意，函数的定义域为，则对于函数，应有，解得，故的定义域为.
2．已知定义域为，则的定义域为        .【解析】因为定义域为，所以，令，解得，所以的定义域为 3.已知函数的定义域为，则函数的定义域是         .【解析】由于函数的定义域为，由题意得，解得且，因此，函数的定义域是 4.若函数的定义域是，则函数的定义域是__________．【解析】首先要使有意义，则，其次，∴，解得，综上． 考法三 根据定义域求参数例1．函数的定义域，则实数的值为       。【解析】由题意，函数有意义，满足，又由函数的定义域为，所以，解得．
例2．若函数的定义域为，则实数的取值范围是         。【解析】因为f（x）的定义域为R又f（x）有意义需ax2+2ax+1≠0所以ax2+2ax+1＝0无解当a＝0是方程无解，符合题意当a≠0时△＝4a2﹣4a＜0，解得 0＜a综上所述0≤a 例3．若函数的定义域为 ，则实数 取值范围是       。【解析】∵函数f（x）的定义域为R；∴不等式mx2mx+2>0的解集为R；①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；②m≠0时，则；解得0＜m<8；综上得，实数m的取值范围是 模块三、巩固提升1．函数的定义域为，则实数的取值范围是     .【解析】∵的定义域为，∴恒成立，即判别式，
得，即实数的取值范围是
 2．若函数的定义域为，则的取值范围为   .【解析】由题得恒成立，a=0时，不等式恒成立.a≠0时，由题得综合得.
3.函数的定义域是，则的取值范围是      .【解析】由题意,恒成立.若,则成立,符合题意;若,只需二次函数与轴无交点,即,解得.所以,的取值范围是. 4已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是       .【解析】由题意可知对于一切实数都成立,当a＝0时，不等式成立，即符合题意；当时，要想对于一切实数都成立，只需，解得－12<a<0,综上所述，实数a的取值范围是－12<a≤0. 5.若函数f(x) =的定义域为R，则的取值范围为_______.【解析】恒成立，恒成立， 6.若函数的定义域为，则实数取值范围是___________.【解析】由题意时，恒成立，∴，．故答案为 7．若函数的定义域是R，则实数的取值范围是__________.【解析】由函数的定义域为R,得恒成立,化简得恒成立,所以由，解得:.8.函数的定义域为，则实数的取值范围为________．【解析】由题意知，对任意的，.①当时，则有，合乎题意；②当时，则有，解得.综上所述，实数的取值范围是 9.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________.【解析】函数f（x）的定义域为R，则对任意实数x，mx2+4mx+3＞0恒成立，当m＝0时，不等式3＞0恒成立；当m≠0时，要使mx2+4mx+3＞0恒成立，则，解得：0．综上，实数m的取值范围是[0，） 10已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．【解析】函数f（x）＝lg（ax）定义域为R，∴ax＞0恒成立，∴ax恒成立，设y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]12.已知的定义域为R，求实数的取值范围          .．【解析】由题设得：在时恒成立，当时：当时，恒成立；当时，不恒成立∴； 若，则或综上所述：实数的取值范围是实数或． 13.函数.若的定义域为，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，的定义域为，符合题意；（2）当时，，的定义域不为，所以；（3）当时，的定义域为知抛物线全部在轴上方（或在上方相切），此时应有，解得；综合（1），（2），（3）有的取值范围是.