高三数学 数列专题复习 二十六 等比数列考点汇编
展开专题二十六 等比数列
模块一、思维导图
模块二、考法梳理
考法一：定义的运用
1.已知数列，，，.求证：是等比数列；
【解析】依题意，，
所以，是首项为2、公比为2的等比数列.
2．已知数列的前项和为，且，.求证：为等比数列，并求的通项公式；
【解析】由得：，两式相减得：
，即，∴，
由，令得，而，故，
所以为首项是2，公比是2的等比数列，故，.
3．已知数列中，其前项和满足．求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
【解析】当时，，可得；
当时，，即有，
则数列为首项为2，公比为2的等比数列，可得，
考法二：中项性质
1．已知实数依次成等比数列，则实数的值为 。
【解析】因为实数依次成等比数列，所以有
当时，，显然不存在这样的实数，故
2．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则 。
【答案】
【解析】由韦达定理可知，，则，，从而，且，
3．在等比数列中，，是方程的两根，则
【答案】
【解析】在等比数列中，由题意知：，，
所以，，所以，即.
4．在正项等比数列中，，则_______
【答案】
【解析】由正项等比数列的的性质以及等比中项公式可得:
,
则:
.故答案为:-2019.
5．己知数列为正项等比数列，且，则
【答案】2
【解析】∵数列为等比数列，且∴，
即，又，∴．
6．实数数列为等比数列，则 。
【解析】由题意，，又与同号，∴．
7．在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为 。
【答案】或
【解析】等比数列中，，是方程的两个根
8．已知，若2是与等比中项，则的最小值为 。
【解析】∵2是与的等比中项，
∴，∴，即，
结合可得，，
∴
，
当且仅当，即，时取等号，
即的最小值为，
9．已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则 。
【解析】先由等差数列和等比数列的性质，得，；再利用等比数列中的第三项和第一项同号，得；所以
10．在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列且，则 。
【答案】
【解析】由a，b，c成等比数列，可得，则，
又，利用正弦定理可得，，则，
故，所以，
所以.
11．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】
可得：
即
由，所以
因为a、b、c成等比数列，所以即，令
又，则化简可得：即，所以
考法三：前n项和的性质
1.已知等比数列的前n项和为，且，，则 。
【答案】19
【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.
2．已知等比数列的前项和为，，，则 。
【答案】4
【解析】因为成等比数列，所以
代入数值所以，则.
3．设等比数列的前项和记为,若,则 。
【答案】
【解析】∵数列为等比数列，且其前项和记为，∴成等比数列．
∵，即，∴等比数列的公比为，
∴，∴，∴．
4．若等比数列的前项和为，已知，，则 。
【答案】7
【解析】依题意，显然数列的公比，所以，，也成等比数列，
且公比为，所以，所以，所以，
5．各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为。
【答案】8
【解析】因为，且等比数列各项均为正数，所以
公比首项 所以 ，通项
所以 当且仅当
所以当时，的最小值为8
6．设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比的值为 。
【答案】
【解析】化简得
因为为等比数列，为其前项和，所以所以
7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为 。
【答案】10
【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶，
则S奇=341,S偶=682,所以 ，∴ ，解得n=5，
这个等比数列的项数为10，
8．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为 。
【解析】因为是等比数列，所以，且也是等比数列，所以
整理有 （当且仅当时取等号）
所以的最小值为
考法四：实际运用
1．我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一尺长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有尺长的线段，每天取走它的，天后剩下的线段长度不超过尺，则的最小值为 。
【解析】由题意可知：第一天取走，剩下尺，第二天剩下尺，第三天剩下尺， 第九天剩下尺，第十天剩下尺，答案：10
2．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为 。
【解析】由题意可知此人行走的里程数为等比数列
设第一天行走的路程为,且等比数列的公比为
则由等比数列的前n项和公式代入可得
解得 根据等比数列的通项公式代入可得
3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分为十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率，则第八个单音频率为 。
【解析】设从第一单音起，每个单音的频率记为，从第二个单音起，
每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，
第一个单音的频率，所以是以为首项，
公比为的等比数列，.【答案】
4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还 升粟。
【解析】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，
由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且
则，解得，所以马主人要偿还的量为：，【答案】
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要走189里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了 。
【解析】记第天行走的路程为，则数列为等比数列，公比，
依题意知，前项的和，即，所以，解得，
所以，所以第二天行走了48里.
6．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是 。
【答案】只
【解析】设第天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂只，
由题意可得：，即，所以数列为等比数列即
所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是
模块三、巩固提升
【考法一 定义的运用】
1．已知数列满足（，），且，．证明：数列是等比数列；
【答案】见解析
【解析】证明：∵当时，，∴． ∴，．
∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列．
2．在数列中，，，且对任意的N*，都有.证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
【答案】见证明；
【解析】由可得．
又，，所以，故.
所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以.
所以.
3．已知数列满足若数列满足，求证：是等比数列；
【答案】见解析.
【解析】由题可知，从而有，，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.
4．已知数列中，，，．设．证明：数列是等比数列；
【答案】证明见解析；
【解析】证明：因为，，
所以 ，
又因为， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列.
5．设数列的前项和为，且.证明：是等比数列，并求其通项公式；
【答案】（1）；（2）.
【解析】当时，，所以，
当时，，，两式相减得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列.于是.
6．已知数列满足，设．证明数列为等比数列；
【答案】证明见详解；
【解析】(1)证明：由可得.
而，所以.又，所以数列为等比数列.
【考法二 中项性质】
1．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是 。
【解析】由题意，正项等比数列中，，
可得，即，与的等差中项为4，即，
设公比为q，则，则负的舍去，
2．设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则= 。
【解析】因为成等比数列，所以，即
3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝ ，ac＝ 。
【解析】因为
4．设，，若是与的等比中项，则的最小值为 。
【解析】由题意可得，即，得，所以，，
，，由基本不等式得，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.
5．正项等比数列（），若存在， 使得，则最小值为 。
【解析】∵正项等比数列{an}满足：，又q＞0，解得，∵存在两项am，an使得，∴，即，
∴，
当且仅当=取等号，但此时m，n∉N*．又，所以只有当，取得最小值是．
6．已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则= 。
【解析】由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝
故答案为
7．已知数列是首项，公比的等比数列，且，，成等差数列则公比等于 。
【解析】数列是首项，公比的等比数列，且，，成等差数列，，，解得（舍或．
8．的内角的对边分别为，若既是等差数列又是等比数列，则角的值为 。
【【解析】由题意得：，
由余弦定理得：
9．若等比数列中，且，则与的等比中项等于______.
【解析】且
，设与的等比中项为，则故与的等比中项为
10．已知实数列成等比数列，则等于 。
【解析】根据等比数列的通项公式,可知由等比中项定义可知
所以 所以
11．在中，角的对边分别为，若为等比数列，且，则______.
【答案】
【解析】由是等比数列,则,,
由余弦定理可得,,即,
解得或,
因为,
因为,所以,
当时,由正弦定理可得,所以,,则；
当时,同理可得,,所以,
故答案为:
【考法三---前n项和的性质】
1．若等比数列的前项和为，已知，，则 。
【答案】7
【解析】依题意，显然数列的公比，所以，，也成等比数列，
且公比为，所以，所以，所以
2．设等比数列中，前n项和为，已知，则等于 。
【解析】因为,且也成等比数列,.
即8,－1,成等比数列,所以,即所以
3．等比数列的前项和为，若，，则 。
【解析】由题有等比数列的前项和满足成等比数列.设的公比为则,故.
故,即.
因为故.又
故,故.
4．等比数列的前项和为，公比为，若，，则 。
【解析】由题意得∵，，∴，根据等比数列的性质可知，，，构成等比数列，故，∴，
故.
5．各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，，则_________．
【解析】在等比数列中， ，，也成等比数列，
即成等比数列， 解得
故答案为：
6．在等比数列中，，，则的值是 .
【答案】8
【解析】设等比数列的公比为，因为，即，，
则，又由.
7．等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值与最小值的比值为 .
【解析】∵等比数列的首项为，公比为∴∴.
①当为奇数时，随着的增大而减小，则，故；
②当为偶数时，随着的增大而增大，则，故.
∴的最大值与最小值的比值为
8．已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.
【答案】
【解析】设数列的公比为q，由，，得，所以或，
又因为，所以，从而，所以.
令，又因为，所以.故答案为:6
9．已知为正项等比数列的前n项和，若，则的最小值为________．
【答案】
【解析】由等比数列的性质，，，成等比数列，且
故，当且仅当时，等号成立，所以最小值为32．故答案为：32
【考法四 实际运用】
1．《九章算术》中有一题：今有牛、马羊食人苗，苗主贵之粟五斗，羊主日：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，则牛主人比羊主人多赔偿 斗粟
【答案】
【解析】由题意，羊马牛的主人需赔偿的粟，依次成等比数列，且公比，
因为一共赔偿五斗粟，所以，即，即，
所以，因此，所以.即牛主人比羊主人多赔偿斗粟.
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天走的路程为 .
【答案】24里
【解析】该人从第一天起每天走得路程记为，则是公比为的等比数列，
，解得，.
3．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载填发明的．明万历十二年（公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列．依此规则，插入的第四个数应为 .
【答案】
【解析】由题意设这13个数依次成递增的等比数列为，满足
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了 .
【答案】18里
【解析】设第1天走了里，每天所走的路程为， 依题意成公比为，前6项和为378
，解得，.
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 .
【答案】3盏
【解析】设塔的顶层共有灯a盏，则各层的灯数从上到下构成一个以2为公比的等比数列，
由 得
