高中数学讲义微专题75 几何问题的转换 学案

www.ks5u.com微专题75 几何问题的转换

一、基础知识：

    在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。

1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系

2、常见几何问题的转化：

（1）角度问题：

① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率

② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定

（2）点与圆的位置关系

① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大

② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，为钝角（再转为向量：；若点在圆上，则为直角（）；若点在圆外，则为锐角（）

（3）三点共线问题

① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线

② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线

（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：

，则共线；

（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系

（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）

3、常见几何图形问题的转化

（1）三角形的“重心”：设不共线的三点，则的重心

（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零

（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：

在的角平分线上   

（4）是以为邻边的平行四边形的顶点

（5）是以为邻边的菱形的顶点：在垂直平分线上

（6）共线线段长度的乘积：若共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：，

二、典型例题：

例1：如图：分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，是的等差中项，是的等比中项

（1）求椭圆的方程

（2）已知是椭圆上异于的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线，并交直线于点。证明：三点共线

解：（1）依题意可得：

是的等差中项   

是的等比中项   

椭圆方程为：

（2）由（1）可得：

设，设 ，联立直线与椭圆方程可得：

另一方面，因为  

，联立方程：

三点共线

例2：已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

解：（1）

椭圆方程为：

（2）设，由（1）可得：

  为△的垂心

设

由为△的垂心可得：

 ①

因为在直线上

，代入①可得：

即 ②

考虑联立方程：

得．

,．代入②可得：

解得：或

当时，△不存在，故舍去

当时，所求直线存在，直线的方程为

小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）

例3：如图，椭圆的一个焦点是 ，为坐标原点.

（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（2）设过点且不垂直轴的直线交椭圆于两点，若直线绕点任意转动，恒有, 求的取值范围.

解：（1）由图可得： 　由正三角形性质可得：

椭圆方程为：

（2）设，

为钝角

联立直线与椭圆方程：，整理可得：

恒成立

即恒成立

解得：

的取值范围是

例4：设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为  

（1）求椭圆的方程；

（2）设为直线上不同于点的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 

解：（1）依题意可得，且到   右焦点距离的最小值为

可解得：  

椭圆方程为

（2）思路：若要证在以为直径的圆内，只需证明为钝角，即为锐角，从而只需证明，因为坐标可求，所以只要设出直线（斜率为） ，联立方程利用韦达定理即可用表示出的坐标，从而可用表示。即可判断的符号，进而完成证明

解：由（1）可得，设直线的斜率分别为， ，则

  联立与椭圆方程可得：

，消去可得：

，即

设，因为在直线上，所以，即

为锐角，  为钝角    在以为直径的圆内

例5：如图所示，已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，与椭圆的交点为，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由

解：依题意可知抛物线焦点，设

，不妨设

则

设

 考虑联立直线与抛物线方程：

，消去可得：  ①

联立直线与椭圆方程：，整理可得：

 ②

由①②可得：

，解得：

所以存在满足条件的直线，其方程为：

例6：在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于点），直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点

（1）求抛物线的方程

（2）试问的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由

解：（1）由准线方程可得：

抛物线方程：

（2）设切点，抛物线为

  切线斜率为

切线方程为：，代入及

可得：，解得：（舍）或

设

共线且在轴上

联立和抛物线方程：，整理可得：

再联立直线方程：

例7：在中，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足∥，且

（1）求的顶点的轨迹的方程

（2）直线与轨迹相交于两点，若在轨迹上存在点，使得四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围

解：（1）设  由是的重心可得：

   由轴上一点满足平行关系，可得

由可得：

化简可得：

的轨迹的方程为：

（2）

四边形为平行四边形

设  

在椭圆上

 ①

因为在椭圆上，所以，代入①可得：

 ②

联立方程可得：

代入②可得：

有两不等实根可得：

，即，代入

另一方面：   或

例8：已知椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点

（1）求椭圆的方程

（2）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由

解（1）   

椭圆方程化为：

过

设直线

联立直线与椭圆方程：消去可得：

整理可得：

与椭圆相切于

椭圆方程为：，且可解得

（2）思路：设直线为，，由（1）可得：，再由可知，若要求得（或证明不存在满足条件的），则可通过等式列出关于的方程。对于，尽管可以用两点间距离公式表示出，但运算较为复杂。观察图形特点可知共线，从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为同向，所以。写出的坐标即可进行坐标运算，然后再联立与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于的方程，求解即可

解：由题意可知直线斜率存在，所以设直线

由（1）可得：

共线且同向    

联立直线与椭圆方程：

消去并整理可得：

，代入，可得：

可解得：，另一方面，

若方程有两不等实根

则

解得:     符合题意

直线的方程为：，即：

或

例9：设椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴与点 ，且

（1）求椭圆的离心率

（2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程

（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由

解：（1）依题意设

 由可得：

（2）由（1）可得：

的外接圆的直径为，半径设为

，圆心

由圆与直线相切可得：

解得：  

椭圆方程为

（3）由（2）得：设直线

设，若为邻边的平行四边形是菱形

则为垂直平分线上的点

设中点

的中垂线方程为：，即

代入可得：

联立方程：

所以存在满足题意的，且的取值范围是

例10：已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且

（1）求抛物线的方程

（2）过的直线与抛物线相交于两点，若垂直平分线与相交于两点，且四点在同一个圆上，求的方程

解：（1）设，可的

          且

解得

抛物线

（2）由（1）可得   可设直线

联立方程

设，则有

的中点

且

由直线可得的斜率为

设 整理可得：

与联立消去可得：

设

的中点

，因为共圆，

所以

整理后可得：

的方程为：或