高中数学讲义微专题72 圆锥曲线中的面积问题 学案
展开www.ks5u.com微专题72 圆锥曲线中的面积问题
一、基础知识：
1、面积问题的解决策略：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形
2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化
3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析
4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）
（1）椭圆：设为椭圆上一点，且，则
（2）双曲线：设为椭圆上一点，且，则
二、典型例题：
例1：设为椭圆的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于两点，当四边形的面积最大时，的值等于___________
思路：由椭圆中心对称的特性可知关于原点中心对称，所以与关于原点对称，面积相等。且四边形可拆成与的和，所以四边形的面积最大即面积最大，因为，所以当最大时，面积最大。即位于短轴顶点时，面积最大。由可知，所以，进而计算出的值为
答案：
例2：已知点是椭圆上的一点，且在轴上方，分别为椭圆的左右焦点，直线的斜率为，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
思路：将椭圆化为标准方程为，进而可得，所以，计算的面积可以以为底，为高，所以考虑利用条件计算出的纵坐标，设，则有，所以可解得或（舍去），所以
答案：B
例3：已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则与面积之和的最小值是（ ）
A. B. C. D.
思路：由入手可考虑将向量坐标化，设，则，进而想到可用韦达定理。所以设与轴交于直线。联立方程，所以，所以由可得：，所以，不妨设在轴上方，如图可得：，由可知，消元后可得：，等号成立当且仅当，所以的最小值为
答案：B
例4：抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（ ）
A. B. C. D. 8
思路：斜率为可知直线的倾斜角为，从而可得，所以在计算面积时可利用两边与夹角，所以可得，由抛物线性质可得，所以只需求得焦半径，即只需解出点横坐标。利用几何关系可得，另一方面，由焦半径公式可得：，所以可得方程：，从而，所以
答案：C
小炼有话说：（1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为直线的倾斜角，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运算更为简单。
（2）本题的也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下：
由抛物线方程可得：，设，联立方程：
，整理可得：
或
或（舍）
例5：以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别为，已知点的坐标为，双曲线上点满足，则等于（ ）
A. B. C. D.
思路：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，的顶点为，即为的坐标，椭圆的焦点为，所以双曲线中，进而
观察可联想到投影，即在的投影与在的投影相等，由几何关系可得为的角平分线。由可得，即平分，从而为的内心，且内切圆半径。从而
答案：A
例6：已知点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左右焦点，且，为三角形的内心，若成立，则的值为（ ）
A. B. C. D.
思路：由三角形内心的性质可得到三边的距离相等，所以的高均为，从而，即，所以只需利用确定的关系即可。
解：为三角形的内心
在双曲线上，且是焦点
即为离心率
由可得：，两边同时除以得：
，解得 即
答案：C
例7：已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点
（1）求的方程
（2）设过点的动直线与相交于两点，当面积最大时，求的方程
解：（1）设
思路：首先设，，由图像可得，考虑联立直线与椭圆方程并利用点到直线距离公式和弦长公式用表示出，从而也可用进行表示：，再利用均值不等式即可得到最大值。等号成立的条件即为的值。（注意直线与椭圆相交，所以消元后的方程）
（2）设直线，
联立方程可得：，整理后可得：
，因为方程有两个不等实根
解得：或
由方程可得：
代入可得：
由均值不等式可得：
等号成立条件：
此时
的方程为或
例8：已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于两点，当的斜率为时，坐标原点到的距离为
（1）求椭圆的方程
（2）若是椭圆上的四点，已知与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值
解：（1），设，则
（2）由（1）可得：，因为
设，，
联立方程可得：，消去可得：
整理后可得：
①
设，以替换①中的可得：
设，可得
时，
例9：在平面直角坐标系中，已知点，是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足
（1）求点的轨迹方程
（2）若是轨迹上异于点的一个点，且，直线与交于点，问：是否存在点使得和的面积满足？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。
（1）思路：本题设点，且已知，直接利用条件列出等式化简即可
解：设，由可得：
，依题意可得：
整理后可得：
，其中
所以的轨迹方程为‘
（2）思路：从图中可得和的高相同，从而面积的比值转化为对应底边的比，即，再由可得，进而，由共线再转成向量关系则只需求出的坐标即可解出的坐标
解：设
，即
因为
可解得
且
，即
所以存在符合条件的
例10：设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，则与的面积之比（ ）
A. B. C. D.
思路：由联想到焦半径公式，从而可解得，从而可判断出在的左侧，作出图像可发现两个三角形具备同“高”的特点（即到的距离），所以，若直接从长度出发，则运算量较大，所以考虑将比值视为整体，并进行线段的转移，可过分别引准线的垂线，从而将，只需联立直线抛物线方程求出点横坐标即可。
解：由可得，设
，设到直线的距离为
则
过分别引准线的垂线
设，联立方程：消元可得：
整理后可得：
答案：A
小炼有话说：本题设计的精妙之处在于允许有多种解题方向（比如计算坐标，计算底边长）等，但方法层次不同，所耗费的时间也不一样。通过本题要体会以下几点：
（1）在抛物线中焦半径与点横坐标的联系，已知焦半径可迅速求出该点的横坐标
（2）处理面积的比值问题时，可考虑两个图形共同的部分（底，高），从而将比值转化为线段的比值
（3）在抛物线中常用的辅助线是过抛物线上的点引准线的垂线。本题恰好利用这一点转移了比例，简化了运算
