高中数学讲义微专题53 求数列的通项公式 学案

www.ks5u.com微专题53  求数列的通项公式

一、基础知识——求通项公式的方法

1、累加（累乘法）

（1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式

① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和

② 的系数相同，且为作差的形式

例：数列满足：，且，求

解：

累加可得：

（2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式

例：已知数列满足：，且，求

解：

2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式

（1）形如的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式。

例：数列中，，，求数列的通项公式

思路：观察到与有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对与分别加上同一个常数，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出

解：设即

对比，可得

是公比为的等比数列

（2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题

例：在数列中，，

解：

是公差为2的等差数列

小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如（其中为关于的表达式），可两边同时除以，。设，即，进而只要可进行求和，便可用累加的方法求出，进而求出。

以（1）中的例题为例：

设，则

（3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，进而可设，递推公式变为，转变为上面的类型求解

例：已知在数列中，，且

解：

累加可得：

（4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式，将，进而可转化为上面所述类型进行求解

例：已知数列中，，且，求

解：

设，则，且

为公差是4的等差数列

4、题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面可考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。

例：已知数列各项均为正数，，求

解：

两式相减，可得：

是公差为1的等差数列

在中，令，可得

5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式。（详见例5，例8）以上面的一个例子为例：数列中，，，求数列的通项公式

解：   ①

      ②

②①可得：

是公比为的等比数列  

累加后可得：

6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明（详见数学归纳法）

例1：在数列中，，求数列的通项公式

思路：观察递推公式中的特点，两边同时除以可得，进而可将视为一个整体，利用累加法即可得到的表达式，从而求出

解：

即

则有

累加可得：

即

例2：已知在数列中，，，则的通项公式为_________

思路：在本题中很难直接消去，所以考虑用进行表示，求出之后再解出

解： 当时，

，整理可得：

    为公差为2的等差数列

点评：在同时存在的等式中，

例3：数列满足，则_________

思路：只从所给递推公式很难进行变形，所以考虑再构造一个递推公式并寻找关系：即，两式相减可得：，从而可得在中，奇数项和偶数项分别可构成公差为2的等差数列，所以

答案：

例4：已知数列满足：，且，则数列的通项公式为_________

思路：观察到递推公式的分子只有，所以考虑两边同取倒数，再进行变形：，从而找到同构特点，并设为辅助数列：，求出通项公式后即可解出

解：   

   设，则，

而   为公比是的等比数列

    即

例5：已知数列为正项数列，且，求

解：   ①

    ②

①②可得：

，

在已知等式中令，可得：  ③，满足上式

   ④

   ⑤

两式相减可得：

              ，

为公差是2的等差数列，由③可解得：

例6：已知数列的各项均为正数，且，求

思路：所给为的关系，先会想到转为递推公式，，两式相减可得：，很难再往下进行。从而考虑化为的递推式：时，，从而为公差是1的等差数列，可求出，进而求出

解：，当，有

   为公差是1的等差数列

   在中，

令可得：可解得

小炼有话说：在处理的式子时，两种处理方向如果一个没有进展，则立刻尝试另一个方向。本题虽然表面来看消去方便，但通过运算发现递推公式无法再进行处理。所以立刻调转方向，去得到的式子，迂回一下再求出

例7：已知数列满足，，求的通项公式

解：

是公差为的等差数列

例8：设数列中，，则数列的通项公式为_______

思路：题目中所给的是的递推公式，若要求得，则考虑以作为桥梁得到关于的递推公式：，代入可得：，所以可得为等比数列，且，从而可得：

答案：

例9：在数列中，，，求数列的通项

解：

例10：设数列满足：，且对于其中任意三个连续的项，都有：，求通项公式

思路：由已知条件可得：，观察发现的系数和与相等，所以可将拆为和，从而与配对，将原递推公式转化为：，进而可将视为一个整体，设为，则符合累乘的特点。累乘后可得：，再进行累加即可得到通项公式

解：

   设，即

即   

思路二：本题还可以从递推公式中的“同构入手”，构造辅助数列，，此三项具备同构特点，故设，则递推公式变为：，所以为等差数列，其公差可由计算，从而得到通项公式以求得

解：

设，则递推公式变为：

为等差数列

，即

小炼有话说：两个思路对比可发现，求数列的通项公式关键在于寻找合适的模型，抓住递推公式的特点构造出辅助数列，选取角度的不同也会导致运算复杂程度的差异