高中数学讲义微专题76 存在性问题 学案

www.ks5u.com微专题76 圆锥曲线中的存在性问题

一、基础知识

1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在

2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替

（1）点：坐标

（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）

（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程

3、解决存在性问题的一些技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。

（3）核心变量的求法：

①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解

②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。

二、典型例题：

例1：已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与相交于两点，当的斜率为时，坐标原点到的距离为。 

（1）求的值    

（2）上是否存在点，使得当绕旋转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的的坐标和的方程，若不存在，说明理由

解：（1）

则，依题意可得：，当的斜率为时

解得：

 椭圆方程为：

（2）设，

 当斜率存在时，设

联立直线与椭圆方程： 消去可得：，整理可得：

  因为在椭圆上

当时，，

当时，，

当斜率不存在时，可知 ，，则不在椭圆上

综上所述：，或，

例2：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，为其左焦点，已知的周长为8，椭圆的离心率为

（1）求椭圆的方程

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由

解：（1）由的周长可得：

椭圆

（2）假设满足条件的圆为，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内

若直线斜率存在，设，

与圆相切  

   即

联立方程：

对任意的均成立

将代入可得：

存在符合条件的圆，其方程为：

当斜率不存在时，可知切线为

若，则

   符合题意

若，同理可得也符合条件

综上所述，圆的方程为：

例3：已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形

（1）求椭圆的方程

（2）若分别是椭圆长轴的左，右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明是定值

（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点。若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由

解：（1）四边形是边长为2的正方形

可得：  

椭圆方程为

（2）由椭圆方程可得：，由可设，

，与椭圆方程联立可得：

由韦达定理可知：

代入直线可得：

设

若以为直径的圆恒过直线的交点，则

恒成立，　　　

存在定点

例4：设为椭圆的右焦点，点在椭圆上，直线与以原点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切

（1）求椭圆的方程

（2）过点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由

解：（1）与圆相切

将代入椭圆方程可得：

椭圆方程为：

（2）由椭圆方程可得：

设直线，则

联立直线与椭圆方程：

消去可得：

同理：

联立直线与椭圆方程：

消去可得：

因为四边形的对角线互相平分

四边形为平行四边形

解得：

存在直线时，四边形的对角线互相平分

例5：椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中

（1）求椭圆的离心率的取值范围

（2）设双曲线以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，是双曲线在第一象限上任意一点，当取得最小值时，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

解：（1）设

由可得：代入可得：

（2）当时，可得：

双曲线方程为，，设，

当轴时，

       因为

所以，下面证明对任意点均使得成立

考虑

由双曲线方程，可得：

结论得证

时，恒成立

例6：如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为

（1）求椭圆的方程

（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得对于任意直线，恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由

解：（1）  

椭圆方程为

由直线被椭圆截得的线段长为及椭圆的对称性可得：

点在椭圆上

椭圆方程为

（2）当与轴平行时，由对称性可得：

即

在的中垂线上，即位于轴上，设

当与轴垂直时，则

可解得或

不重合  

下面判断能否对任意直线均成立

若直线的斜率存在，设，

联立方程可得：

由可想到角平分线公式，即只需证明平分

只需证明

①

因为在直线上，代入①可得：

联立方程可得：

成立

平分   由角平分线公式可得：

例7：椭圆的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点

（1）求椭圆的方程

（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由

解：由椭圆可知：

为直径的圆经过   

由在椭圆上，代入椭圆方程可得：

椭圆方程为

（2）假设存在轴上两定点，

设直线

  所以依题意：

  ①

因为直线与椭圆相切，联立方程：

由直线与椭圆相切可知

化简可得：，代入①可得：

，依题意可得：无论为何值，等式均成立

所以存在两定点：

例8：已知椭圆的左右焦点分别为，点是上任意一点，是坐标原点，，设点的轨迹为

（1）求点的轨迹的方程

（2）若点满足：，其中是上的点，且直线的斜率之积等于，是否存在两定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由

（1）设点的坐标为，点的坐标为，则

由椭圆方程可得：

  且

  代入到可得：

（2）设点，

设直线的斜率分别为，由已知可得：

考虑

是上的点  

即的轨迹方程为，由定义可知，到椭圆焦点的距离和为定值

为椭圆的焦点   

所以存在定点

例9：椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，与交于

（1）求椭圆及抛物线的方程

（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

解：（1）设的公共焦点为

（2）设直线，

与椭圆联立方程：

直线与抛物线联立方程：

   是焦点弦  

若为常数，则  

例10：如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于两点，当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦的长为

（1）求椭圆的方程

（2）是否存在点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由

解：（1）依题意可得：   

当与轴垂直且为右焦点时，为通径

（2）思路：本题若直接用用字母表示坐标并表示，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与的坐标。因为要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出点及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得为定值。

解：（2）假设存在点，设

若直线与轴重合，则

若直线与轴垂直，则关于轴对称

设，其中，代入椭圆方程可得：

，可解得：

若存在点，则。若，设

设，与椭圆联立方程可得：，消去可得：

，同理：

代入可得：

所以为定值，定值为

若，同理可得为定值

综上所述：存在点，使得为定值

三、历年好题精选

1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过点，离心率为，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是

（1）求椭圆的方程

（2）若在椭圆上的任一点处的切线方程是，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标

（3）是否存在实数，使得恒成立？（点为直线恒过的定点），若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

2、已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，是椭圆上的一点

（1）求椭圆的方程

（2）设分别是椭圆的左右顶点，是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率之积为，设与的面积分别为，请问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由

3、已知椭圆经过点，离心率为，左，右焦点分别为和

（1）求椭圆的方程

（2）设椭圆与轴负半轴交点为，过点作斜率为的直线，交椭圆于两点（在之间），为中点，并设直线的斜率为

① 证明：为定值

② 是否存在实数，使得？如果存在，求直线的方程；如果不存在，请说明理由

4、已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在上，且满足

（1）求点的轨迹的方程

（2）过点作直线，与曲线交于两点，是坐标原点，设，是否存在这样的直线，使得四边形的对角线相等（即）？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由

5、（2014，福建）已知双曲线的两条渐近线分别为，

（1）求双曲线的离心率

（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一、四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在请说明理由

习题答案：

1、解析：（1）

椭圆过点

，再由可解得：

椭圆方程为：

（2）设切点坐标为，直线上一点，依题意可得：

两条切线方程为：

，由切线均过可得：

均在直线上

因为两点唯一确定一条直线

，即过定点，即点的坐标为

（3）

联立方程：

，不妨设

，使得恒成立

2、解析：（1）抛物线的焦点为  

依题意可知：

椭圆方程为：

（2）由（1）可得：，若直线斜率存在

设，

到直线的距离   到直线的距离  

联立方程：

（*）

，代入到（*）可得：

或

当时，，交点与重合，不符题意

，代入到可得：

，即

3、解：（1）依题意可知：可得：

椭圆方程为：，代入可得：

椭圆方程为：

（2）① 证明：设，线段的中点

设直线的方程为：，联立方程：

化为：

由解得：    且

② 假设存在实数，使得，则

即

因为在椭圆上，所以，矛盾

所以不存在符合条件的直线

4、解析：（1）由可得为的中点，且

为的中垂线  

点的轨迹是以为焦点的椭圆，其半长轴长为，半焦距

轨迹方程为：

（2）因为

四边形为平行四边形

若，则四边形为矩形，即

① 若直线的斜率不存在，则

联立方程：，即

 故不符合要求

② 若直线的斜率存在，设

由

，解得：

所以存在或，使得四边形的对角线相等

5、解析：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为

（2）若直线不与轴垂直，设

联立方程： ，同理可得

设直线与轴交于

即

由直线与渐近线的交点分别在第一、四象限可知：

由（1）可得双曲线方程为：

联立与双曲线方程：

因为与双曲线相切

整理可得：

所以   双曲线方程为：

存在一个总与相切的双曲线，其方程为