高中数学讲义微专题82 求二项式的展开项 学案

www.ks5u.com微专题82  求二项式展开后的某项

一、基础知识：

1、二项式展开式，从恒等式中我们可以发现这样几个特点

（1）完全展开后的项数为

（2）展开式按照的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，的指数呈此消彼长的特点。指数和为

（3）在二项式展开式中由于按的指数进行降幂排列，所以规定“”左边的项视为，右边的项为，比如：与虽然恒等，但是展开式却不同，前者按的指数降幂排列，后者按的指数降幂排列。如果是，则视为进行展开

（4）二项展开式的通项公式 （注意是第项）

2、二项式系数：项前面的称为二项式系数，二项式系数的和为

二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于可看作是个相乘，对于 意味着在这个中，有个式子出，剩下个式子出，那么这种出法一共有种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。

3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数

注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的，对于确定的一个二项式，二项式系数只由决定。而系数是指展开并化简后最后项前面的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如：展开式中第三项为，其中为该项的二项式系数，而

化简后的结果为该项的系数

（2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同。例如 展开式的第三项为 ，可以计算出二项式系数与系数均为10

3、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如就是有理项，而就不是有理项。

4、与的联系：首先观察他们的通项公式：

：     ：

两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数。其绝对值相等。所以在考虑系数的绝对值问题时，可将其转化为求系数的问题

5、二项式系数的最大值：在中，数值最大的位于这列数的中间位置。若为奇数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如时，最大项为，若为偶数（共有奇数数项），则最大值为中间项，例如时，最大项为

证明：在中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为，则有

所以解得： 即

所以当为奇数时（），不等式变为，即或为中间项

当为偶数时（），不等式变为，即为中间项

6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要计算所得，大致分为两种情况：

型：不妨设项的系数为 ，则理念与二项式系数最值类似，最大值首先要比相邻项大，所以有，再根据通项公式代入解不等式即可

型：其展开式的特点为项的符号有正有负，所以在解决此类问题时有两种方法：一种是只选取其中的正项进行比较，但序数相隔。即，在运算上较为复杂；一种是先考虑系数绝对值的最大值，从而把问题转化为的最大值问题，然后在考虑符号确定系数最大值。

例1：二项式 展开式中的常数项是_________

方法一：思路：考虑先求出此二项式展开式的通项公式，令的指数为0，求出的值再代入计算即可

解：

依题意可得：

常数项为

方法二：思路：对中的8个因式所出的项进行分配，若最后结果为常数项，则需要两个式子出，六个式子出相乘，

所以常数项为：

答案：7

小炼有话说：通过本题说明求二项式展开式中某项的两种主流方法：一是通过通项公式，先化简通项公式，再利用题目中所求项的特征求出的值，进而求解；二是分析展开式中每一项构成的本质，即每一个因式仅出一项，然后相乘得到，从而将寻找所求项需要的出项方案，将其作为一个组合问题求解。

例2：在的展开式中，的系数是____________

思路一：考虑二项展开的通项公式：

由所求可得： 

思路二：可将其视为6个因式出项的问题，若要凑成，需要个，个

所以该项为：

答案：

小炼有话说：利用二项式定理求某项，通常两种思路：一种是利用二项式展开的通项公式，结合条件求出的值再求出该项；另一种是将问题转化为因式如何安排出项的问题。

例3：若二项式的展开式中的第四项等于7，则的值是____________

思路：条件中涉及到项的序数，那么只能考虑利用通项公式：，第四项中，，解得：

答案：

例4：已知的展开式中项的系数为，则实数的值为__________

思路：先利用通项公式求出的项，在利用系数的条件求出的值即可

解：  

答案：

例5：已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则展开式中的常数项是____

思路：要想求得展开式的某项，首先要先确定的取值，先利用二项式系数和求出：即，再求展开式的常数项为

答案：

例6：的展开式中，项的系数为___________

思路：已知表达式展开式中的每一项由两部分相乘而成，要想凑得，不妨从其中一个式子切入进行分类讨论（以为例）

1：出1，则出，该项为：

2：出，则出，该项为：

3：出，则出，该项为：

综上所述：合并后的项的系数为5

例7： 展开式中项的系数为（     ）

A.               B.              C.                D.

思路：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为10个因式如何分配所出项的问题：若要凑成有以下几种可能：

（1）：1个，1个，8个1，所得项为：

（2）：3个，7个1，所得项为：

所以项的系数为

答案：A

例8：二项式展开式中，有理项的项数共有（    ）项

A.                   B.                 C.                  D. 

思路：有理项是指变量的指数是整数，所以考虑从通项公式入手：

，其中，的取值只需要让，则，所以共有7个有理项

小炼有话说：在整理通项公式时可将的根式（或倒数）转化为分数指数幂，方便进行化简。

例9：二项式展开式中系数最大的项为___________

思路：考虑展开式的通项公式为，其系数设为，即，若要最大，则首先要大于相邻项，即 ，代入解得的范围即可确定出的值，从而求出该项

解：

设项的系数为

若最大，则

解得： 　　　或

经检验：系数最大的项为

答案：

例10：已知，若，则（     ）

A.                B.           C.         D.

思路：由条件中恒等式的特点可得对应项的系数相等，在中，与相关的最高次项为，故以此为突破口求，等式左边的系数为，而右边的系数为，所以，只需再求出即可，同样选取含的最高次项，即，左边的系数为，右边的系数为，所以。从而可解得

答案：D

小炼有话说：求选择以哪项作为突破口很关键，要理解选最高次项的目的是为了排除其他系数的干扰，如果选择项的次数较低，则等式中会出现甚至，不便于求解。本题选择这项时，仅仅受到的干扰，再寻找与的相关项（最高次项）即可解决。