八上数学期末冲刺卷01-2020-2021学年八年级上学期期末冲刺综合能力提升训练（人教版）

八上数学期末冲刺卷01
一、单选题
1．已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　）
A．30 B．35 C．40 D．50
2．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( )
A．3 B．9 C．11 D．15
3．有一种三条腿的圆凳，这是利用三角形的哪一个性质（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和是180°
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，则∠B=( )
A．60° B．50° C．40° D．90°
5．在平面直角坐标系中，点(a，b)关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．(﹣a，﹣b) B．(﹣a，b) C．(b，﹣a) D．(b，a)
6．如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（　　）

A．20° B．60° C．70° D．160°
7．下列语句中不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
9．下列说法中，①面积相等的两个三角形全等：②周长相等的两个等边三角形全等：③有三个角对应相等的两个三角形全等：④有三边对应相等的两个三角形全等，错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．三角形的两边长分别为5和12，那么第三边长可能是（ ）
A．5 B．7 C．11 D．19
11．如图，在矩形ABCD纸片中，AB=6，AD=8，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（　　）

A． B． C．8 D．7
12．（2017•巴彦淖尔）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O的半径为________．

14．将一个多边形截去一个角后，形成新的多边形的内角和为540°，则原多边形的边数为_____.
15．三角形三边长分别为 3，1﹣2a，8，则 a 的取值范围是 _______．
16．如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有_______________个.


三、解答题
17．如图，在和中，、、、在同一直线上，，，.求证：．





18．根据要求作图．
（1）如图1，平行四边形ABCD，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF，连接EF．请你只用无刻度直尺画出线段EF的中点O．（保留画图痕迹，不必说明理由）．
（2）如图2，平行四边形ABCD，点E在边AB上，请你只用无刻度直尺在边CD上找一点F，使得四边形AECF为平行四边形，并说明理由．（注意：无刻度直尺只能过点画线段或直线或射线）．






19．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求的度数．

20．在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，延长CE到G，使CG=AB；如果∠BCE=45º，求证：AB垂直平分GF.




21．如图，BA=BE，∠A=∠E，∠ABE=∠CBD，ED交BC于点F，且∠FBD=∠D．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠ABE=∠CBD(已知)，
∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC(　 　)
即∠ABC=∠EBD
在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD(　 　)，
∴∠C=∠D(　 　)
∵∠FBD=∠D，
∴∠C=　 　(等量代换)，
∴AC∥BD(　 　)



22．已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于H，过A作AG⊥AC交CM于G．
（1）如图1，点G在CH的延长线上时，
①若∠GAB=36°，则∠MCD=______．
②猜想：∠GAB与∠MCD之间的数量关系是______．
（2）如图2，点G在CH上时，（1）②猜想的∠GAB与∠MCD之间的数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出∠GAB与∠MCD之间的数量关系，并说明理由．




23．如图 ，在边长为的正方形中，点是边上的一动点（与点不重合），交于点，连结.
（1）求证：；
（2）当的长度是多少时，是等腰三角形？
（3）当点运动到的中点时,连结交于点，连结，
求证：①；②．


24．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 ，QE与QF的数量关系是　 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1:3，△FBQ的面积等于3，求△AQE的面积；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1:3，△FEQ的面积等于3，求△AQE的面积．














八上数学期末冲刺卷01
一、单选题
1．已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　）
A．30 B．35 C．40 D．50
【答案】A
【解析】【分析】直接根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，
∴∠B＝30，
故选：A．
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质两锐角互余解答．
2．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( )
A．3 B．9 C．11 D．15
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【解答】设第三边为x，7-3＜x＜7+3，
则4＜x＜10，
所以符合条件的整数为9，
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
3．有一种三条腿的圆凳，这是利用三角形的哪一个性质（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和是180°
【答案】B
【分析】根据三角形的稳定性可以解答．
【解答】解：∵三角形具有稳定性，
∴三条腿的圆凳，是利用了三角形的稳定性，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解答的关键．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，则∠B=( )
A．60° B．50° C．40° D．90°
【答案】B
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余的性质进行解答.
【解答】解：中，，，

.
故选：B.
【点评】本题考查了直角三角形的性质，解答该题时利用了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
5．在平面直角坐标系中，点(a，b)关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．(﹣a，﹣b) B．(﹣a，b) C．(b，﹣a) D．(b，a)
【答案】B
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点（a，b）关于y轴对称的点的坐标是（﹣a，b）
故选：B
【点评】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
6．如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（　　）

A．20° B．60° C．70° D．160°
【答案】D
【解析】【分析】根据对顶角的性质——对顶角相等进行解答即可．
【详解】∵∠AOD=160°，∠BOC与∠AOD是对顶角，
∴∠BOC=∠AOD=160°，
故选D．
【点睛】本题考查对顶角、邻补角，熟知对顶角、邻补角的图形特征以及对顶角相等的性质是解题的关键.
7．下列语句中不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
【答案】C
【分析】根据直角三角形的判定条件直接进行解答即可．
【解答】A、由斜边和一锐角对应相等，结合直角相等，故可判定这两个直角三角形全等，故不符合题意；
B、如果这两个直角三角形的两边是斜边与直角边对应相等，则根据“HL”可判定，如果是这两个直角三角形的两条直角边对应相等，则可根据“SAS”判定全等，故不符合题意；
C、有两个锐角相等的两个直角三角形是不能判定全等，因为没有边的对应关系，故符合题意；
D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形可根据“ASA”或“AAS”判定，故不符合题意；
故选C．
【点评】本题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定条件是解题的关键．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】过点作于，然后利用的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：过点作于，
是的角平分线，，
，
，
解得．
故选：．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
9．下列说法中，①面积相等的两个三角形全等：②周长相等的两个等边三角形全等：③有三个角对应相等的两个三角形全等：④有三边对应相等的两个三角形全等，错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据题意利用全等三角形的判定和性质，依次进行分析判断即可.
【解答】解：①面积相等的两个三角形全等；错误；
②周长相等的两个等边三角形全等即SSS；正确；
③有三个角对应相等的两个三角形全等；错误；
④有三边对应相等的两个三角形全等即SSS；正确.
共计2个错误．
故选：B.
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质的基本知识.
10．三角形的两边长分别为5和12，那么第三边长可能是（ ）
A．5 B．7 C．11 D．19
【答案】C
【分析】确定第三边范围：大于两边之差，小于两边之和，找在此范围的边长即可．
【解答】解：设第三边为x，
则12-5 所以符合条件的为11，
故选C．
【点评】此题主要考查三角形的三边关系，正确确定第三边范围是解题关键．
11．如图，在矩形ABCD纸片中，AB=6，AD=8，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（　　）

A．
B．
C．8
D．7
【答案】B
【解析】【分析】设AE=x，根据勾股定理得到AE，进而得出BE的长，根据EG=AD，GF的长，运用勾股定理即可得到EF．
【解答】连接BE，过E作EG⊥BC于G，

设AE=x，则DE=BE=8-x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴x2+62=（8-x）2
解得x=，
∴AE=，
∴BE=DE=8-=，
∵∠DEF=∠BFE，∠DEF=∠BEF，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BF=BE=，
∴GF=，
∴Rt△EFG中，EF==，
即EF的长为，
故选：B．
【点评】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意方程思想的运用．
12．（2017•巴彦淖尔）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C，不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D，不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误，
故选A．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．


二、填空题
13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O的半径为________．

【答案】．
【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，求出∠BOE=60°，解直角三角形求出OB即可．
【解答】解： 连接OB， ∵OC=OB，∠BCD=30°，
∴∠BCD=∠CBO=30°，
∴∠BOE=∠BCD+∠CBO=60°，
∵直径CD⊥弦AB，AB=
∴BE=AB=，∠OEB=90°，
∴OB=
即⊙O的半径为，
故答案为：．

【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形外角性质的应用，能根据垂径定理求出BE和解直角三角形求出OB长是解此题的关键．
14．将一个多边形截去一个角后，形成新的多边形的内角和为540°，则原多边形的边数为_____.
【答案】4或5或6
【分析】先根据多边形的内角和公式求出新多边形的边数，再根据截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1三种情况解答．
【解答】解：设新多边形的边数为，则，
解得，
如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，

所以，，
，
所以原来多边形的边数为4或5或6．
故答案为：4或5或6．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是理解截去一个角后的方法，要分三种情况讨论．
15．三角形三边长分别为 3，1﹣2a，8，则 a 的取值范围是 _______．
【答案】﹣5＜a＜﹣2．
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，再将a的取值范围在数轴上表示出来即可．
【解答】由三角形三边关系定理得8-3＜1-2a＜8+3，即-5＜a＜-2．
即a的取值范围是-5＜a＜-2．
【点评】本题考查的知识点是三角形三边关系，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键是根据三角形三边关系定理列出不等式.
16．如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有_______________个.

【答案】
【解析】【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向、纵向和斜向三种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与△ABC成轴对称的格点三角形，从而得解．
【解答】如图所示，对称轴有三种位置，与△ABC成轴对称的格点三角形有3个．

故答案为：3．
【点评】本题考查了轴对称的性质，难点在于确定出对称轴的不同位置．

三、解答题
17．如图，在和中，、、、在同一直线上，，，.求证：．

【答案】见解析
【分析】由BE=CF，得到BC=EF，根据平行线的性质得到∠B=∠DEC，证得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，求出BC=EF，得到三角形全等是解题的关键．
18．根据要求作图．
（1）如图1，平行四边形ABCD，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF，连接EF．请你只用无刻度直尺画出线段EF的中点O．（保留画图痕迹，不必说明理由）．
（2）如图2，平行四边形ABCD，点E在边AB上，请你只用无刻度直尺在边CD上找一点F，使得四边形AECF为平行四边形，并说明理由．（注意：无刻度直尺只能过点画线段或直线或射线）．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）连接AC，与EF的交点即为点O；
（2）连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F；由平行四边形的性质得出AB∥CD，OA=OC，证明△AEO≌△CFO，得出，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图点O即为所求，

（2）如图点F即为所求，

证明：连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交CD于点F，连接EC，AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O
∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD
∴ ∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO
∴△AEO≌△CFO
∴AE＝CF
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟知平行四边形的性质，利用全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求的度数．

【答案】∠D=30°
【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OCD=90°，根据等腰三角形等边对等角和三角形外角的性质可得∠COD=60°，再根据直角三角形两锐角互余即可得出结论．
【解答】证明：连接OC，

∵CD与圆0相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=30°，
∵∠COD为△AOC的外角，
∴∠COD=60°，
∴∠D=30°．
【点评】此题考查了切线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质．一般已知切线，过切点，作半径，得（切线与该半径）垂直．
20．在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，延长CE到G，使CG=AB；如果∠BCE=45º，求证：AB垂直平分GF.

【答案】答案见详解.
【分析】首先根据已知得出BE=CE，进而推出GE=AE；然后根据角边角定理证明△BEF≌△CEA；最后根据全等三角形的性质得出结论即可.
【解答】证明：∵CE⊥AB，∠BCE=45°，
∴BE=CE，
又∵CG=AB，
∴GE=AE，
∵∠EFB=∠DFC，∠BEF=∠CDF=90°，
∴∠FBE=∠ACE，
又∵CE⊥AB，
∴∠BEF=∠CEA=90°，
在△BEF和△CEA中，，
∴△BEF≌△CEA，
∴EF=EA，
∴GE=EF，
又∵AB⊥GF，
∴AB垂直平分GF.
【点评】本题考查全等三角形的判定(ASA)，全等三角形的性质.
21．如图，BA=BE，∠A=∠E，∠ABE=∠CBD，ED交BC于点F，且∠FBD=∠D．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠ABE=∠CBD(已知)，
∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC(　 　)
即∠ABC=∠EBD
在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD(　 　)，
∴∠C=∠D(　 　)
∵∠FBD=∠D，
∴∠C=　 　(等量代换)，
∴AC∥BD(　 　)

【答案】答案见解析
【分析】结合等式的性质利用ASA可证△ABC≌△EBD，由全等三角形对应角相等的性质等量代换可得∠C=∠FBD，根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD.
【解答】解：∵∠ABE=∠CBD(已知)，
∴∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC(等式的性质)，即∠ABC=∠EBD
在△ABC和△EBD中，
，
∴△ABC≌△EBD(ASA)，
∴∠C=∠D( 全等三角形对应角相等)
∵∠FBD=∠D，
∴∠C=∠FBD(等量代换)，
∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：等式的性质；AB=BE；ASA；全等三角形对应角相等；∠FBD；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及平行线的判定，熟练的掌握每一步证明的依据是解题的关键.
22．已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于H，过A作AG⊥AC交CM于G．
（1）如图1，点G在CH的延长线上时，
①若∠GAB=36°，则∠MCD=______．
②猜想：∠GAB与∠MCD之间的数量关系是______．
（2）如图2，点G在CH上时，（1）②猜想的∠GAB与∠MCD之间的数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出∠GAB与∠MCD之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）①63°；②2∠MCD-∠GAB=90°；（2）2∠MCD+∠GAB=90°，理由见解析．
【分析】（1）①依据AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；
②设∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，则∠AGC=∠AHC-∠GAB=α-β，依据Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即可得出∠GAB与∠MCD之间的数量关系；
（2）设∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，则∠AGC=∠AHC+∠GAB=α+β，依据Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即可得出∠GAB与∠MCD之间的数量关系．
【解答】解：（1）①∵AG⊥AC，∠GAB=36°，
∴∠CAH=90°-36°=54°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=180°-∠CAH=126°
∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠MCD=∠ACD=63°，
故答案为：63°；
②∠GAB与∠MCD之间的数量关系是2∠MCD-∠GAB=90°；
理由：∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH=∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠AHC=∠DCM，
∴∠ACH=∠AHC，
设∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，
则∠AGC=∠AHC-∠GAB=α-β，
∵GA⊥AC，
∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即α+α-β=90°，
∴2α-β=90°，即2∠MCD-∠GAB=90°；
故答案为：2∠MCD-∠GAB=90°；
（2）上述∠GAB与∠MCD之间的数量关系不成立，应该为2∠MCD+∠GAB=90°，
理由：∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH=∠DCH，
∵AB∥CD，
∴∠AHC=∠DCH，
∴∠ACH=∠AHC，
设∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，
则∠AGC=∠AHC+∠GAB=α+β，
∵GA⊥AC，
∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即α+α+β=90°，
∴2α+β=90°，即2∠MCD+∠GAB=90°
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质和三角形内角和定理的运用，熟练掌握相关的知识是解决问题的关键．
23．如图 ，在边长为的正方形中，点是边上的一动点（与点不重合），交于点，连结.
（1）求证：；
（2）当的长度是多少时，是等腰三角形？
（3）当点运动到的中点时,连结交于点，连结，
求证：①；②．


【答案】（1）证明见解析；（2）当时，是等腰三角形；（3）①证明见解析；②证明见解析．
【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再利用三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据三角形的外角性质可得，从而得出是等腰三角形时，只能是，再根据三角形的外角性质、三角形全等的性质可得，然后根据直角三角形的两锐角互余可得，最后利用正切三角函数可得DE的长，由此即可得；
（3）①先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形的内角和定理可得，由此即可得证；
②如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据直角三角形斜边上的中线即可得证．
【解答】（1）四边形ABCD是边长为1的正方形，
，
在和中，，
；
（2），
当是等腰三角形时，只能是顶角，
，
，
由（1）已证：，
，即，
，
又，
，
在中，，即，
解得，
则，
故当时，是等腰三角形；
（3）①四边形ABCD是正方形，
，
点E是AD的中点，
，
在和中，，
，
，
由（2）知，，
，
又，
，
，
；
②如图，延长交的延长线于点，交于点，
在和中，，
，
，
，
在和中，，
，
，
是边BH上的中线，
由①可知，是直角三角形，且BH是斜边，
．

【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的定义、直角三角形斜边上的中线等知识点，较难的是题（3）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
24．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　 ，QE与QF的数量关系是　 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1:3，△FBQ的面积等于3，求△AQE的面积；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1:3，△FEQ的面积等于3，求△AQE的面积．
【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）9；（3）.
【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EA=BD，再证明△AEQ≌△BDQ，所以AE=BD，CE=BF，又因为CE：AE＝1:3，从而得BF:BD=1:3,即△FBQ的面积：△DBQ的面积=1:3，计算△DBQ的面积=9,从而求解；(3)方法同（2）证出 Rt△AEC≌Rt△CFB，连接CQ, 由AE：CE＝1:3，得CF：CE＝1:3，再根据高相等的三角形面积比等于底的比得出△CFQ的面积与△EFQ的面积面积比，从而求出△CFQ的面积，然后根据SAS 证明 △QAE≌△QCF，从而求解.
【解答】解：（1）当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，
理由是：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中，

∴△AEQ≌△BFQ，
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF；
(2) 延长EQ交BF于D，如图2：

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中，

∴△AEQ≌△BDQ，
∴AE=BD,
∵∠ACE+∠FCB=∠FCB+∠CBF=90°
∴∠ACE =∠CBF
又∵∠AEC=∠CFB=90°，AC=CB,
∴△AEQ≌△BDQ
∴AE=BD，CE=BF
又∵CE：AE＝1:3，∴BF:BD=1:3,即△FBQ的面积：△DBQ的面积=1:3
又∵△FBQ的面积等于3，∴△DBQ的面积=9,
∵△AEQ≌△BDQ，
∴△AEQ的面积=9；
（3）图形如下：连接CQ,


方法同（2）可得：Rt△AEC≌Rt△CFB(一线三等角)，
∴AE=CF，EC=FB，∠EAC=∠FCB,
∵AE：CE＝1:3，
∴CF：CE＝1:3，
∴△CFQ的面积：△ECQ的面积=1:3，△CFQ的面积：△EFQ的面积=1:4，△FEQ的面积等于3，
即：△CFQ的面积=，
∵Q为斜边AB的中点，AC=BC,
∴CQ=AQ，∠QAC=∠QCB=45°，
∴∠EAC+∠QAC =∠FCB+∠QCB，
即∠QAE=∠QCF
∴△QAE≌△QCF (SAS)
∴△AQE的面积=△CFQ的面积=，
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．