高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀教学设计

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课时5.4.3 三角函数的图象与性质(3)—正切函数的性质与图象








1.理解并掌握作正切函数图象的方法.


2.掌握正切函数的性质.


3.会利用正切函数的性质及图象解决问题.








基础过关练


题组一 正切(型)函数的定义域、值域


1.函数y=3tan2x+π4的定义域是 ( )


A.x|x≠kπ+π2,k∈ZB.x|x≠kπ2+3π8,k∈Z


C.x|x≠kπ2+π8,k∈ZD.x|x≠kπ2,k∈Z





2.已知x∈[0,2π],则函数y=tanx+-csx的定义域为 ( )


A.0,π2 B.π2,π


C.π,3π2D.3π2,2π





3.已知函数y=tanx2+π3,x∈0,π3∪π3,π,则其值域为 .





4.已知函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈-π4,π4,则其值域为 .





题组二 正切(型)函数的图象及其应用


5.函数y=tan12x-π3在一个周期内的图象是 ( )








6.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点π12,0,则φ可以是 ( )


A.-π6B.π6C.-π12D.π12





7.根据正切函数的图象,写出使不等式3+3tan 2x≥0成立的x的取值集合.








题组三 正切(型)函数的性质及其应用


8.函数y=tan x2是 ( )


A.最小正周期为4π的奇函数


B.最小正周期为2π的奇函数


C.最小正周期为4π的偶函数


D.最小正周期为2π的偶函数





9.函数y=2tan3x-π4的图象的对称中心不可能是 ( )


A.π12,0 B.-13π4,0


C.5π4,0 D.7π36,0





10.函数y=2tanπ6-2x的一个单调递减区间是 ( )


A.-π6,π2 B.0,π2


C.π3,5π6 D.5π6,5π3





11.下列正切值中,比tanπ5的值大的是 ( )


A.tan-π7B.tan9π8


C.tan 35° D.tan(-142°)





12.已知函数f(x)=3tan12x-π3.


(1)求f(x)的定义域、值域;











(2)探究f(x)的周期性、奇偶性、单调性和对称性.




















能力提升练


题组一 正切(型)函数的定义域、值域


1.如果tanx+π3=0(x>0),那么x的最小值是 .





2.函数y=lg12tanx的定义域是 .





题组二 正切(型)函数的图象及其应用


3.如图所示,函数y=cs x|tan x|0≤x<3π2且x≠π2的图象是 ( )








4.函数y=|tan x|与直线y=1的两个相邻交点之间的距离是 ( )


A.π4 B.π3 C.π2 D.π





5.设函数f(x)=tanx,x∈2kπ-π2,2kπ+π2,|csx|,x∈2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z),g(x)=sin|x|,则方程f(x)-g(x)=0在区间[-3π,3π]上的解的个数是 ( )


A.7 B.8 C.9 D.10





题组三 正切(型)函数的性质及其应用


6.已知函数f(x)=tan ωx(0<ω<1)在区间0,2π3上的最大值为3,则ω= ( )


A.12 B.13 C.23 D.34





7.已知函数f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R),若fπ3=1,则f-π3= ( )


A.1 B.-1 C.3 D.-3





8.(多选)下列关于函数y=tanx+π3的说法正确的是 ( )


A.在区间-π6,5π6上单调递增


B.最小正周期是π


C.图象关于点π6,0成中心对称


D.图象关于直线x=π6成轴对称





9.已知函数f(x)=asin x+btan x-1(a,b∈R),若f(-2)=2 018,则f(2)= .





10.若“∀x∈0,π4,tan x-1≤m”是真命题,则实数m的最小值为 .





11.tan2x+π3≥3的解集为 .





12.已知函数f(x)=tan(x+φ)|φ|<π2的图象的一个对称中心为π3,0,则φ的值为 .





13.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠π2+kπ,k∈Z.


(1)当θ=-π6,x∈[-1,3]时,求函数f(x)的最大值与最小值;





(2)若函数g(x)=f(x)x为奇函数,求θ的值;





(3)求使y=f(x)在区间[-1,3]上是单调函数的θ的取值范围.





答案全解全析


基础过关练


1.C 要使函数有意义,则2x+π4≠kπ+π2,k∈Z,


即x≠kπ2+π8,k∈Z,所以函数的定义域为x|x≠kπ2+π8,k∈Z,故选C.


2.C 由题意知tanx≥0,-csx≥0,0≤x≤2π,∴函数的定义域为π,3π2,故选C.


3.答案 -∞,-33∪[3,+∞)


解析 ∵x∈0,π3∪π3,π,


∴x2+π3∈π3,π2∪π2,5π6.


令t=x2+π3,则y=tan t,t∈π3,π2∪π2,5π6,其图象(实线部分)如图所示.





由图象可知所求函数的值域为-∞,-33∪[3,+∞).


4.答案 [-4,4]


解析 ∵-π4≤x≤π4,∴-1≤tan x≤1.


令tan x=t,则t∈[-1,1].


∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5,t∈[-1,1].


易知函数在[-1,1]上单调递增,


∴当t=-1,即x=-π4时,ymin=-4,


当t=1,即x=π4时,ymax=4.


故所求函数的值域为[-4,4].


5.A 当x=2π3时,tan12×2π3-π3=0,故排除C,D;当x=5π3时,tan12×5π3-π3=tanπ2,无意义,故排除B.故选A.


6.A 因为函数y=tan(2x+φ)的图象过点π12,0,所以0=tan2×π12+φ,


所以tanπ6+φ=0,


所以π6+φ=kπ(k∈Z),即φ=-π6+kπ(k∈Z),所以φ可以是-π6,故选A.


7.解析 如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan x,x∈-π2,π2的图象和直线y=-3.





由图得,在区间-π2,π2内,不等式tan x≥-3的解集是x|-π3≤x<π2,


∴在函数y=tan x的定义域xx≠kπ+π2,k∈Z内,不等式tan x≥-3的解集是x|kπ-π3≤x

令kπ-π3≤2x

∴使不等式3+3tan 2x≥0成立的x的取值集合是x|kπ2-π6≤x

8.B 该函数为奇函数,其最小正周期为2π.故选B.


9.D 对于函数y=2tan3x-π4,令3x-π4=kπ2,k∈Z,得x=kπ6+π12,k∈Z,


所以函数y=2tan3x-π4的图象的对称中心为kπ6+π12,0,k∈Z,


取k=0,得对称中心为π12,0;


取k=-20,得对称中心为-13π4,0;


取k=7,得对称中心为5π4,0.故对称中心不可能是7π36,0.


10.C y=2tanπ6-2x=-2tan2x-π6.令-π2+kπ<2x-π6<π2+kπ,k∈Z,得-π6+kπ2

11.D 正切函数y=tan x在区间-π2,π2上单调递增,所以tan-π7tan 36°=tanπ5.故选D.


12.解析 (1)令12x-π3≠π2+kπ,k∈Z,得x≠2kπ+5π3,k∈Z,


∴f(x)的定义域为xx≠5π3+2kπ,k∈Z,值域为R.


(2)f(x)为周期函数,由于f(x)=3tan12x-π3=3tan12x-π3+π=3tan12(x+2π)-π3=f(x+2π),


∴f(x)的最小正周期T=2π.易知f(x)的定义域不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数.


令-π2+kπ<12x-π3<π2+kπ,k∈Z,得-π3+2kπ

∴函数f(x)的单调递增区间为-π3+2kπ,5π3+2kπ,k∈Z,无单调递减区间.


令12x-π3=kπ2(k∈Z),得x=kπ+2π3(k∈Z),∴函数f(x)的图象的对称中心是kπ+2π3,0(k∈Z).


能力提升练


1.答案 2π3


解析 由tanx+π3=0可得x+π3=kπ(k∈Z),则x=kπ-π3(k∈Z),


由于x>0,故取k=1,可得x的最小值为2π3.


2.答案 x|kπ

解析 要使函数有意义,必须lg12tan x≥0,即lg12tan x≥lg121,


∴0

∴该函数的定义域是xkπ

3.C 当0≤x<π2时,y=cs xtan x=sin x≥0,排除B,D;当π2

故选C.


4.C 因为函数y=|tan x|的最小正周期为π,且由|tan x|=1可得x=kπ±π4(k∈Z),


所以函数y=|tan x|与直线y=1的两个相邻交点之间的距离为函数y=|tan x|的半个周期,即π2.


5.A 在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与g(x)在区间[-3π,3π]上的图象,如图所示.由图形知:f(x)-g(x)=0在[-3π,3π]上解的个数为7,故选A.





陷阱分析 作图时要注意到当0

6.A 因为x∈0,2π3,且0<ω<1,


所以0≤ωx≤2ωπ3<2π3,


所以f(x)max=tan2ωπ3=3=tanπ3,


所以2ωπ3=π3,解得ω=12.


7.C ∵f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R), fπ3=1,∴fπ3=mtanπ3-ksinπ3+2=3m-32k+2=1,


∴3m-32k=-1,


∴f-π3=mtan-π3-ksin-π3+2=-3m+32k+2=3.


8.BC 令kπ-π2

9.答案 -2 020


解析 根据题意,函数f(x)=asin x+btan x-1,设g(x)=f(x)+1=asin x+btan x,


则g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x),


则函数g(x)为奇函数,


则g(2)+g(-2)=f(2)+1+f(-2)+1=0,


又由f(-2)=2 018,得f(2)=-2 020.


故答案为-2 020.


10.答案 0


解析 由x∈0,π4,可得tan x-1≤0,所以由“∀x∈0,π4,tan x-1≤m”是真命题可得m≥0,即m的最小值为0.


11.答案 x|kπ2≤x

解析 由题可得kπ+π3≤2x+π3

所以kπ≤2x

所以kπ2≤x

所以不等式的解集为xkπ2≤x

12.答案 -π3或π6


解析 因为π3,0是函数f(x)的图象的一个对称中心,所以π3+φ=kπ2,k∈Z,所以φ=kπ2-π3,k∈Z,由于|φ|<π2,故取k=0或k=1,得φ=-π3或φ=π6.


13.解析 (1)当θ=-π6时, f(x)=x2-233x-1=x-332-43.


∵x∈[-1,3],且f(x)的图象开口向上,


∴当x=33时, f(x)min=-43;


当x=-1时,f(x)max=233.


(2)由题可知g(x)=x-1x+2tan θ,


∵g(x)为奇函数,


∴0=g(-x)+g(x)=-x+1x+2tan θ+x-1x+2tan θ=4tan θ,


∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.


(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.


∵f(x)在区间[-1,3]上是单调函数,


∴-tan θ≥3或-tan θ≤-1,即tan θ≤-3或tan θ≥1,


∴-π2+kπ<θ≤-π3+kπ或π4+kπ≤θ<π2+kπ,k∈Z,


故θ的取值范围是-π2+kπ,-π3+kπ∪π4+kπ,π2+kπ,k∈Z.