中考压轴题第8部分 抛物线等腰直角 试卷（带答案）

8．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线CD于点F．若点P的横坐标为m，设线段PF的长度为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使∠PCF=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．







9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．



















10．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．












11．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

















12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2xa+c经过A（﹣4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．











13．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣6，0）、B（2，0）和C（0，3），点D是该抛物线的顶点．AC、OD相交于点M．
（1）求点D的坐标；
（2）在x 轴下方的平面内是否存在点N，使△DBN与△ADM全等？若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上求点P的坐标，使∠DOP=45°（直接写出结果）．












14．如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12）．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点C为OA的中点，求BC的长；
（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m，n之间的关系式．
（4）将射线OA绕原点旋转45°并与抛物线交于点P，求出P点坐标．








15．如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=﹣x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．













16．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．








17．如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．
（1）求点A的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．













18．如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；
（2）若△ACD的面积为3．
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．












19．如图，△ABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥x轴，AB平分∠CAO．抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）正方形EFGH的顶点E在线段AB上，顶点F在对称轴右侧的抛物线上，边GH在x轴上，求正方形EFGH的边长；
（3）设直线AB与y轴的交点为D，在x轴上是否存在点P，使∠DPB=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．










20．已知：如图1，抛物线经过点O、A、B三点，四边形OABC是直角梯形，其中点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．
（1）求抛物线所对应的函数关系式；
（2）若D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1﹕3两部分？并求出此时P点的坐标；
（3）如图2，作△OBC的外接圆O′，点Q是抛物线上点A、B之间的动点，连接OQ交⊙O′于点M，交AB于点N．当∠BOQ=45°时，求线段MN的长．











21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A到直线CD的距离；
（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．







22．如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．
（1）直接写出D点和E点的坐标；
（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，S△HGF：S△BGF=5：6？
（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．









23．如图，平行四边形ABCD的顶点A（﹣12，0），B（0，9），C（0，），抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B．
（1）求点D的坐标．
（2）关于x的方程ax2+bx+c﹣=x有且只有一个解，求抛物线的解析式．
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上y=ax2+bx+c上一动点（不与A、B重合），过点P作x轴垂线交线段CD于Q，若∠AQD=45°﹣∠BQC，直接写出点P的横坐标．








24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．








25．如图1，点A是x轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为t．
（1）当t=2时，求CF的长；
（2）①当t为何值时，点C落在线段BD上；
②设△BCE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，当点C与点E重合时，将△CDF沿x轴左右平移得到△C′D′F′，再将A，B，C′，D′为顶点的四边形沿C′F′剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的点C′的坐标．






8．方法一：
解：（1）在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）．
∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，
∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
（2）①P在CD上面，点P的坐标为（m，﹣m2+m+2），点F的坐标为（m，m+2），
线段PF的长度为y=﹣m2+m+2﹣m﹣2=﹣m2+3m（0＜m＜3）；
②P在CD下面，点P的坐标为（m，﹣m2+m+2），点F的坐标为（m，m+2），
线段PF的长度为y=m+2+m2﹣m﹣2=m2﹣3m（m≥3）；
（3）存在．
理由：如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m，EM=2，
∴FM=yF﹣EM=m，∴tan∠CFM=2．
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=m．
过点P作PN⊥CD于点N，则PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN．
∵∠PCF=45°，∴PN=CN，
而PN=2FN，∴FN=CF=m，PN=2FN=m，
在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF==m．
∵PF=yP﹣yF=（﹣m2+m+2）﹣（m+2）=﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m=m，整理得：m2﹣m=0，
解得m=0（舍去）或m=，∴P（，）；同理求得，另一点为P（，）．

方法二：（1）略．
（2）设P（m，﹣m2+m+2），则F（m，m+2），
∴PF=||=．
（3）过P点作CD的垂线，垂足为N，
∵∠PCF=45°，∴△PCN为等腰直角三角形，点P可视为点C绕点N顺时针旋转90°而成，
∵N点在直线CD上，∴设N（t，t+2），C（0，2），
将N点平移至原点，N（0，0），则C′（﹣t，﹣t），
将C′点绕原点顺时针旋转90°，则P′（﹣t，t），
将N′点平移至N点，则P平移后即为P（t，t+2），
把P点代入抛物线，∴，∴t1=0（舍），t2=1，
∴符合条件的点P的坐标为（，）或（ ，）．


　









9．方法一：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；

（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，
∴m+1=﹣m2+3m+4，
即m2﹣2m﹣3=0
∴m=﹣1或m=3
∵点D在第一象限
∴点D的坐标为（3，4）
由（1）知OC=OB
∴∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E点在y轴上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；

（3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，
由（1）有：OB=OC=4
∴∠OBC=45°
∵∠DBP=45°
∴∠CBD=∠PBA
∵C（0，4），D（3，4）
∴CD∥OB且CD=3
∴∠DCE=∠CBO=45°
∴DE=CE=
∵OB=OC=4
∴BC=4
∴BE=BC﹣CE=
∴tan∠PBF=tan∠CBD=
设PF=3t，则BF=5t，OF=5t﹣4
∴P（﹣5t+4，3t）
∵P点在抛物线上
∴3t=﹣（﹣5t+4）2+3（﹣5t+4）+4
∴t=0（舍去）或t=
∴P（，）；
方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H，过Q点作QG⊥DH于G，
∵∠PBD=45°，
∴QD=DB，
∴∠QDG+∠BDH=90°，
又∵∠DQG+∠QDG=90°，
∴∠DQG=∠BDH，
∴△QDG≌△DBH，
∴QG=DH=4，DG=BH=1
由（2）知D（3，4），
∴DH=4，
∴HG=3，QF=1，
∴Q（﹣1，3）
∵B（4，0）
∴直线BQ的解析式为y=﹣x+
解方程组
得，
∴点P的坐标为（，）．

方法二：
（1）略．
（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，
∴m+1=﹣m2+3m+4，
即m2﹣2m﹣3=0
∴m=﹣1或m=3
∵点D在第一象限
∴点D的坐标为（3，4）
∵B（4，0），C（0，4），∴lBC：y=﹣x+4，
D，E关于BC对称，
∴DE⊥BC，DE与BC的交点F为DE的中点，
KDE×KBC=﹣1，
∵KBC=1，∴KDE=﹣1，
lDE：y=x+1，lBC：y=﹣x+4，
∴lDE与lBC的交点F（，），
∵FX=，FY=，
∴E（0，1）．

（3）过点D作直线BF的垂线，垂足为H，设点H（a，b），
∵∠DBP=45°，
∴△DHB为等腰三角形，点B可视为点D绕点H顺时针旋转90°而成，
将点H平移至原点得点H′，则点D（3，4）平移后为D′（3﹣a，4﹣b），
将点D′顺时针旋转90°，则点B′（4﹣b，a﹣3），将H′平移至H，则B′平移后即为点B（4+a﹣b，a+b﹣3），
∵B（4，0），
∴4+a﹣b=4，a+b﹣3=0，
∴a=b=，H（，），
∵P在直线BH上，KBH=，
∴lBH：y=﹣x，
∴⇒，
∴点P的坐标为（，）．




　
10．解：（1）∵直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，
∴A（0，﹣3），
∵B（﹣4，﹣5），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣3，
（2）存在，
设P（m，m2+m﹣3），（m＜0），
∴D（m，m﹣3），
∴PD=|m2+4m|
∵PD∥AO，
∴当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，
∴|m2+4m|=3，
①当m2+4m=3时，
∴m1=﹣2﹣，m2=﹣2+（舍），
∴m2+m﹣3=﹣1﹣，
∴P（﹣2﹣，﹣1﹣），
②当m2+4m=﹣3时，
∴m1=﹣1，m2=﹣3，
Ⅰ、m1=﹣1，
∴m2+m﹣3=﹣，
∴P（﹣1，﹣），
Ⅱ、m2=﹣3，
∴m2+m﹣3=﹣，
∴P（﹣3，﹣），
∴点P的坐标为（﹣2﹣，﹣1﹣），（﹣1，﹣），（﹣3，﹣）．
（3）方法一，如图，

∵△PAM为等腰直角三角形，
∴∠BAP=45°，
∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得，
设直线AP解析式为y=kx﹣3，
∵直线AB解析式为y=x﹣3，
∴k==3，
∴直线AP解析式为y=3x﹣3，
联立，
∴x1=0（舍）x2=﹣
当x=﹣时，y=﹣，
∴P（﹣，﹣）．
方法二：如图，

∵直线AB解析式为y=x﹣3，
∴直线AB与x轴的交点坐标为E（6，0），
过点A作AF⊥AB交x轴于点F，
∵A（0，﹣3），
∴直线AF解析式为y=﹣2x﹣3，
∴直线AF与x轴的交点为F（﹣，0），
∴AE=3，AF=，
过点A作∠EAF的角平分线交x轴于点G，与抛物线相较于点P，过点P作PM⊥AB，
∴∠EAG=45°，
∴∠BAP=45°，
即：△PAM为等腰直角三角形．
设点G（m，0），
∴EG=6﹣m．FG=m+，
根据角平分线定理得，，
∴，
∴m=1，
∴G（1，0），
∴直线AG解析式为y=3x﹣3①，
∵抛物线解析式为y=x2+x﹣3②，
联立①②得，x=0（舍）或x=﹣，
∴y=﹣，
∴P（﹣，﹣）．
　
11．解：
（1）把A、B两点坐标代入解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5；
（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，
∴C（0，﹣5），
∵S△ABE=S△ABC，且E点在x轴下方，
∴E点纵坐标和C点纵坐标相同，
当y=﹣5时，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），
∴E点坐标为（﹣2，﹣5）；
（3）假设存在满足条件的P点，其坐标为（m，m2+m﹣5），
如图，连接AP、CE、AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，

则AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，
在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=5，∠ACO=∠DCE=45°，
由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，
∴AD=AC﹣DC=5﹣=4，
当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA，
∴=，即=，
∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），
当m2+m﹣5=（5+m）时，整理可得4m2+5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），
当m2+m﹣5=﹣（5+m）时，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），
∴存在满足条件的点P，其横坐标为或．
　
12．解：（1）把A（﹣4，0），B（0，4）代入y=ax2+2xa+c得，解得，
所以抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+4；
（2）如图1，分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为A′、B′，过P作PN⊥x轴，垂足为N，
由直线DE的解析式为：y=x+5，则E（0，5），
∴OE=5，
∵∠PEO+∠OEF=90°，∠PEO+∠EPA′=90°，
∴∠EPA′=∠OEF，
∵PE=EF，∠EA′P=∠EB′F=90°，
∴△PEA′≌△EFB′，
∴PA′=EB′=﹣t，
则d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣（﹣t）=5+t；
（3）如图2，由直线DE的解析式为：y=x+5，
∵EH⊥ED，
∴直线EH的解析式为：y=﹣x+5，
∴FB′=A′E=5﹣（﹣t2﹣t+4）=t2+t+1，
∴F（t2+t+1，5+t），
∴点H的横坐标为：t2+t+1，
y=﹣t2﹣t﹣1+5=﹣t2﹣t+4，
∴H（t2+t+1，﹣t2﹣t+4），
∵G是DH的中点，
∴G（，），
∴G（t2+t﹣，﹣t2﹣t+2），
∴PH∥x轴，
∵DG=GH，
∴PG=GQ，
∴=t2+t﹣，
t=±2，
∵P在第二象限，
∴t＜0，
∴t=﹣2，
∴F（1，3）．


　
13．方法一：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣6，0）、B（2，0）和C（0，3），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+3，
∵y=﹣（x+2）2+4，
∴顶点D的坐标为（﹣2，4）；

（2）设对称轴与x轴相交于点E，
∵A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，3）、D（﹣2，4），
∴OA=6，OC=3，OE=2，DE=4，
∵==2，∠AOC=∠DEO=90°，
∴△AOC∽△DEO，
∴∠OAC=∠EDO，
又∵∠DOE=∠AOM，
∴∠AMO=∠DEO=90°，
在Rt△AOC中，AC===3，
∵cos∠OAC==，
∴=，
解得AM=，
在Rt△ADE中，AD===4，
在Rt△ADM中，DM===，
∵∠DAM+∠ADM=180°﹣90°=90°，
∠BDO+∠ADM=90°，
∴∠DAM=∠BDO，
∴点N在DO的延长线上，
∵△DBN≌△ADM，
∴BN=DM=，
过点N作NF⊥x轴于F，
∵∠ODE+∠DOE=90°，∠OBN+∠BON=90°，
∴∠ODE=∠OBN，
在Rt△ODE中，OD===2，
∴NF=BN•sin∠OBN=×=，
BF=BN•cos∠OBN=×=，
∴OF=OB﹣BF=2﹣=，
∴点N的坐标为（，﹣）；

（3）∵DE=4，BE=2﹣（﹣2）=4，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∵∠DOE=∠BDO+∠ABD，
∠DOE=∠DOP+∠EOP，
∠ABD=∠DOP=45°，
∴∠EOP=∠BDO，
∴PE=OE•tan∠EOP=2×=，
∴点P的坐标为（﹣2，）．

方法二：
（1）略．
（2）设对称轴与x轴相交于点E，
∵A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，3）、D（﹣2，4）、O（0，0），
∴KOD==﹣2，KAC==，
∴KOD×KAC=﹣1，∴OD⊥AC，
KAD==1，KBD==﹣1，
∴KAD×KBD=﹣1，
∴AD⊥BD，
∴∠BDO+∠ADM=∠DAC+∠ADM=90°，
∴∠DAC=∠BDO，
∵D为线段AB垂直平分线上一点，∴AD=BD，
∴欲使△DBN≌△ADM，只需过点B作DO垂线交DO延长线于N，
∵∠BND=∠AMD=90°，∠DAC=∠BDO，AD=BD，
∴△DBN≌△ADM，
∵BN⊥DN，∴KBN×KDN=﹣1，
∵KDN=﹣2，
∴KBN=，
∵B（2，0），
∴lBN：y=x﹣1，
∵lDN：y=﹣2x，
∴lBN与lDN的交点N（，﹣）．

（3）过点P作DO的垂线，垂足为H，
∵D（﹣2，4），
∴lOD：y=﹣2x，
∴设H（a，﹣2a），O（0，0），
∵∠DOP=45°，
∴△PHO为等腰直角三角形，
∴点P可视为点O绕点H顺时针旋转90°而成，
将H点平移至原点，H′（0，0），则O′（﹣a，2a），
将O′点绕原点顺时针旋转90°，则P′（2a，a），
将H′点平移至H点，则P′平移后即为P（3a，﹣a），
∵点P在对称轴上，∴PX=﹣2，3a=﹣2，a=﹣，
∴P（﹣2，）．


　
14．解：（1）∵点A（a，12）在直线y=2x上，
∴12=2a，
解得：a=6，
又∵点A是抛物线y=x2+bx上的一点，
将点A（6，12）代入y=x2+bx，可得b=﹣1，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x．

（2）∵点C是OA的中点，
∴点C的坐标为（3，6），
把y=6代入y=x2﹣x，
解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），
故BC=1+﹣3=﹣2．

（3）∵直线OA的解析式为：y=2x，
点D的坐标为（m，n），
∴点E的坐标为（n，n），点C的坐标为（m，2m），
∴点B的坐标为（n，2m），
把点B（n，2m）代入y=x2﹣x，可得m=n2﹣n，
∴m、n之间的关系式为m=n2﹣n．

（4）过点P作DO的垂线，垂足为H，
∵∠POH=45°，
∴△POH为等腰直角三角形，点P可视为点O绕点H顺时针旋转90°而成，
∵点H在直线OA上，设H（t，2t），O（0，0），
将H点平移至原点，H′（0，0），则O（﹣t，﹣2t），
将O′点绕原点顺时针旋转90°，则P′（﹣2t，t），
将H′平移至H点，则P′平移后即为P（﹣t，3t），
∵P点在抛物线上，
∴3t=t2+t，解得：t1=0（舍），t2=4，
∴P1（﹣4，12），
∵OP1⊥OP2，∴KOP1×KOP2=﹣1，
∵KOP1=﹣3，∴KOP2=，
∴lOP1：y=x，
∵，
∴x1=0，x2=，
∴P2（，）．


　
15．方法一：
（1）证明：
∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，
∴∠BDE=∠BCE=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，
∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，
∴△ABD∽△ODE；
（2）证明：
∵=，
∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，
∴CE=DE=5x，
∴AB=OC=CE+OE=8x，
又∵△ABD∽△ODE，
∴==，
∴DA=6x，
∴BC=OA=10x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，
∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，
当x=10时，代入可得y=，
∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，
∴BF=DF，
又M为Rt△BDE斜边上的中点，
∴MD=MB，
∴MF为线段BD的垂直平分线，
∴MF⊥BD；
（3）解：
由（2）可知抛物线解析式为y=﹣x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为H、G，
令y=0，可得0=﹣x2+x+3，解得x=﹣4或x=12，
∴H（﹣4，0），G（12，0），
①当PD⊥x轴时，由于PD=8，DH=DG=8，
故点Q的坐标为（﹣4，0）或（12，0）时，△PDQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形；

②当PD不垂直于x轴时，分别过P，Q作x轴的垂线，垂足分别为N，I，则Q不与G重合，从而I不与G重合，即DI≠8．
∵PD⊥DQ，
∴∠QDI=90°﹣∠PDN=∠DPN，
∴Rt△PDN∽Rt△DQI，
∵PN=8，
∴PN≠DI，
∴Rt△PDN与Rt△DQI不全等，
∴PD≠DQ，另一侧同理PD≠DQ．
综合①，②所有满足题设条件的点Q的坐标为（﹣4，0）或
（12，0）．

方法二：
（1）略．
（2），设OE=3a，OD=4a，
∴DE=CE=5a，∴OE=AB=8a，
由（1）知：，
∴AD=6a，
∴OA=BC=10a，
∵BE=5，
∴（5a）2+（10a）2=（5）2，
∴a=1，
∴E（0，3），∴y=﹣，
∴D（4，0），∵B（10，8），
∴F（10，），
∵M为BE的中点，∴M（5，），
∴KBD×KMF==﹣1，
∴MF⊥BD．

（3）设P（t，8）（0＜t＜10），
∵D（4，0），
∵PD⊥DQ，PD=PQ，
∴△PDQ是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，
①点Q可视为点P绕点D顺时针旋转90°而成，
将D点平移至原点，D′（0，0），则P′（t﹣4，8），
将P′点绕原点顺时针旋转90°，则Q′（8，4﹣t），
将D′点平移至D点，则Q′平移后即为Q（12，4﹣t），
把Q（12，4﹣t）代入抛物线，
∴﹣=4﹣t，
∴t=4，
∴Q（12，0）；
②点Q可视为点P绕点D逆时针旋转90°而成，同理可得：Q（﹣4，0），
综合①，②所有满足题设条件的点Q的坐标为（﹣4，0）或（12，0）．

　
16．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），
∴b=0，c=﹣2；
∵y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），
∴0=a+0﹣2，a=2，
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣2．
当y=0时，2x2﹣2=0，
解得x=±1，
∴点B的坐标为（1，0）；

（2）设P（m，n）．
∵∠PDB=∠BOC=90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则=，
即=，
解得n=．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，）或（m，）（舍）；
②若△OCB∽△DPB，则=，
即=，
解得n=2m﹣2．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m），
∵P在第一象限，m＞1，
∴（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）舍
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，2m﹣2）．

（3）
方法一：
假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
如图，过点Q作QE⊥l于点E．
∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，
∴∠DBP=∠QPE．
在△DBP与△EPQ中，
，
∴△DBP≌△EPQ，
∴BD=PE，DP=EQ．
分两种情况：
①当P（m，）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；
②当P（m，2（m﹣1））时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，
解得，（均不合题意舍去）；
综上所述，不存在满足条件的点Q．

方法二：
若在第一象限内存在点Q，
①∵B（1，0），P（m，），
点Q可视为点B绕点P顺时针旋转90°而成，
将点P平移至原点，得P′（0，0），则点B′（1﹣m，），
将点B′顺时针旋转90°，则点Q′（，m﹣1），
将点P′平移回P（m，），则点Q′平移后即为点Q，
∴Q（，），
将点Q代入抛物线得：m2﹣m=0，
∴m1=1，m2=0，
∴Q1（1，0），Q2（0，﹣）（均不合题意舍去），
②∵B（1，0），P（m，2m﹣2），
同理可得Q（2﹣m，3m﹣3），
将点Q代入抛物线得：3m﹣3=2（2﹣m）2﹣2，
∴2m2﹣11m+9=0，
∴m1=1，m2=，
∴Q1（1，0），Q2（﹣，）（均不合题意舍去）
综上所述，不存在满足条件的点Q．

　
17．方法一：
解：（1）如图，过点C作CM∥OA交y轴于M．
∵AC：BC=3：1，∴=．
∵CM∥OA，∴△BCM∽△BAO，
∴===，∴OA=4CM=4，∴点A的坐标为（﹣4，0）；
（2）∵二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过A点（﹣4，0），∴16a﹣4b=0，∴b=4a，
∴y=ax2+4ax，对称轴为直线x=﹣2，
∴F点坐标为（﹣2，﹣4a）．
设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，得﹣4k+n=0，∴n=4k，
∴直线AB的解析式为y=kx+4k，
∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（﹣2，2k），C点坐标为（﹣1，3k）．
∵C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，∴3k=a﹣4a，∴k=﹣a．
∵△AED中，∠AED=90°，
∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形，
∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，∴∠FCD=90°，∴△FCD∽△AED．
∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，
∴FC2=（﹣1+2）2+（3k+4a）2=1+a2，CD2=（﹣2+1）2+（2k﹣3k）2=1+a2，
∴FC=CD，∴△FCD是等腰直角三角形，∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，∴∠OBA=45°，∴OB=OA=4，∴4k=4，∴k=1，
∴a=﹣1，∴此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．
方法二：（1）略．（2）∵A（﹣4，0），x=﹣=﹣2，
∴b=4a，∴抛物线：y=ax2+4ax，
∴C（﹣1，﹣3a），F（﹣2，﹣4a），
∵△FCD∽△AED，∠AED=90°，
∴AC⊥FC，则KAC×KFC=﹣1，
∵A（﹣4，0），C（﹣1，﹣3a），F（﹣2，﹣4a），
∴=﹣1，∴a2=1，∴a1=1（舍），a2=﹣1，
∴此时抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣4x．

　
18．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1）=ax2+2ax﹣3a，
∵y=a（x+3）（x﹣1）=a（x2+2x﹣3）=a（x+1）2﹣4a，
∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4a）；

（2）如图1，①设AC与抛物线对称轴的交点为E．
∵抛物线y=ax2+2ax﹣3a与y轴交于点C，
∴C点坐标为（0，﹣3a）．
设直线AC的解析式为：y=kx+t，
则：，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=﹣ax﹣3a，
∴点E的坐标为：（﹣1，﹣2a），
∴DE=﹣4a﹣（﹣2a）=﹣2a，
∴S△ACD=S△CDE+S△ADE=×DE×OA=×（﹣2a）×3=﹣3a，
∴﹣3a=3，解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；

②∵y=﹣x2﹣2x+3，
∴顶点D的坐标为（﹣1，4），C（0，3），
∵A（﹣3，0），
∴AD2=（﹣1+3）2+（4﹣0）2=20，CD2=（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2=2，AC2=（0+3）2+（3﹣0）2=18，
∴AD2=CD2+AC2，
∴∠ACD=90°，
∴tan∠DAC===，
∵∠PAB=∠DAC，
∴tan∠PAB=tan∠DAC=．
如图2，设y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4向右平移后的抛物线解析式为y=﹣（x+m）2+4，两条抛物线交于点P，直线AP与y轴交于点F．
∵tan∠PAB===，
∴OF=1，则F点的坐标为（0，1）或（0，﹣1）．
分两种情况：
（Ⅰ）如图2①，当F点的坐标为（0，1）时，易求直线AF的解析式为y=x+1，
由，解得，（舍去），
∴P点坐标为（，），
将P点坐标（，）代入y=﹣（x+m）2+4，
得=﹣（+m）2+4，
解得m1=﹣，m2=1（舍去），
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）2+4；
（Ⅱ）如图2②，当F点的坐标为（0，﹣1）时，易求直线AF的解析式为y=﹣x﹣1，
由，解得，（舍去），
∴P点坐标为（，﹣），
将P点坐标（，﹣）代入y=﹣（x+m）2+4，
得﹣=﹣（+m）2+4，
解得m1=﹣，m2=1（舍去），
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）2+4；
综上可知，平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）2+4或y=﹣（x﹣）2+4．



　
19．解：（1）∵抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，
∴当x=0时，y=4，
∴C（0，4），且抛物线的对称轴是直线x=﹣=，
∴B（5，4），
∵BC∥x轴，AB平分∠CAO，
∴∠CAB=∠BAO，∠BAO=∠ABC，
∴∠CAB=∠ABC，
∴AC=BC=5，
∴AO==3，
即A（﹣3，0），
∴9a+15a+4=0，
解得a=﹣
∴抛物线的解析式是y=﹣x2+x+4；

（2）不妨设正方形的边长为m（m＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=x+，
当y=m时，x=2m﹣3，
∴点E（2m﹣3，m），
∴点F（3m﹣3，m）
代入抛物线得：﹣（3m﹣3）2+（3m﹣3）+4=m，
即3m2﹣9m=0，
解得：m=0或3；
∴正方形EFGH的边长为3．

（3）作BK⊥x轴于K，再取M（﹣，0）和N（9，0）
只有当点P落在M、O之间和K、N之间各一个位置能使∠DPB=45°，
如图，当点P在KN上时，再作PQ⊥BN于Q，可证△DOP∽△PQB 有=，
先求出D（0，），再设P（x，0），
∴（4﹣）=x•
经整理得，2x2﹣15x﹣3=0，解得x=，应取x=…（8分）
同理，当当点P在AO上时，4（﹣）=（5﹣x），
经整理得，2x2﹣15x﹣3=0，解得x=，应取x=…（10分）
综上所述，在x轴上存在符合要求的两点P（，0）．


　
20．解：（1）∵抛物线经过点A（12，0）、B（4，8）和原点O，
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
则，
解得，
∴抛物线所对应的函数关系式为y=﹣x2+3x；

（2）∵A（12，0），B（4，8），BC∥OA，
∴OA=12，BC=4，OC=8，∠OAB=45°，
∴梯形OABC的面积=×（4+12）×8=64，
∵AD是OA的中点，
∴OD=AD=OA=×12=6，
∵线段PD将梯形OABC的面积分成1：3两部分，
∴分成两部分的面积分别为64×=16，
64×=48，
如图1，△ADP的面积是16时，过点P作PE⊥x轴于E，
∵AP=t，
∴PE=t，
∴×6×t=16，
解得t=，
∴PE=×=，
OE=12﹣×=，
∴点P（，），
△PDO的面积是16时，×6•OP=16，
解得OP=，
∵AB==8，
∴t=（AB+BC+OC﹣OP）÷1=8+4+8﹣=8+，
此时，点P（0，），
综上所述，秒或8+秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1：3两部分，
此时P点的坐标为（，）或（0，）；

（3）方法一：
在Rt△OBC中，由勾股定理得，OB===4，
∵∠OAB=45°，∠BOQ=45°，
∴∠OAB=∠BOQ，
又∵∠ABO=∠OBN，
∴△AOB∽△ONB，
∴=，
即=，
解得ON=3，
如图2，连接BM，∵∠BOQ=45°，OB是⊙O′的直径，
∴△OBM是等腰直角三角形，
∴OM=OB=×4=2，
∴MN=ON﹣OM=3﹣2=．

方法二：
连接BM，∵∠BOQ=45°，∴△BOM为等腰直角三角形，
∴点B可视为点O绕点M顺时针旋转90°而成，设M（a，b），B（4，8），O（0，0），
将M平移至原点M′（0，0），∴O′（﹣a，﹣b），
将O′绕M′顺时针旋转90°，∴B′（﹣b，a），
将M′平移至M，则B′平移后即为B（a﹣b，a+b），
∴⇒，即M（6，2），
∴lOM：y=x，
∵lAB：y=﹣x+12，
∴lAB与lOM的交点N（9，3），
∴MN=．

　
21．方法一：
解：（1）直线y=2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，则点C坐标为（0，﹣1）．
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
∵点A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1）在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1．

（2）如答图2所示，直线y=2x﹣1，
当y=0时，x=；
设直线CD交x轴于点E，则E（，0）．
在Rt△OCE中，OC=1，OE=，
由勾股定理得：CE=，
设∠OEC=θ，则sinθ=，cosθ=．
过点A作AF⊥CD于点F，
则AF=AE•sinθ=（OA+OE）•sinθ=（1+）×=，
∴点A到直线CD的距离为．

（3）∵平移后抛物线的顶点P在直线y=2x﹣1上，
∴设P（t，2t﹣1），则平移后抛物线的解析式为y=（x﹣t）2+2t﹣1．
联立，
化简得：x2﹣（2t+2）x+t2+2t=0，
解得：x1=t，x2=t+2，
即点P、点Q的横坐标相差2，
∴PQ===．
△GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：

i）若点P为直角顶点，如答图3①所示，
则PG=PQ=．
∴CG====10，
∴OG=CG﹣OC=10﹣1=9，
∴G（0，9）；
ii）若点Q为直角顶点，如答图3②所示，
则QG=PQ=．
同理可得：G（0，9）；
iii）若点G为直角顶点，如答图3③所示，
此时PQ=，
则GP=GQ=．
分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足分别为点M、N．
易证Rt△PMG≌Rt△GNQ，
∴GN=PM，GM=QN．
在Rt△QNG中，
由勾股定理得：GN2+QN2=GQ2，
即PM2+QN2=10 ①
∵点P、Q横坐标相差2，
∴NQ=PM+2，
代入①式得：PM2+（PM+2）2=10，
解得PM=1，
∴NQ=3．
直线y=2x﹣1，
当x=1时，y=1，
∴P（1，1），
即OM=1．
∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，
∴G（0，4）．
综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为（0，4）或（0，9）．

方法二：
（1）略．
（2）作AF⊥CD，垂足为F，∴KCD×KAF=﹣1，
∵KCD=2，∴KAF=﹣，
∵A（﹣1，0），∴lAF：y=﹣x﹣，
∵lCD：y=2x﹣1，
∴lAF与lCD的交点坐标F（，﹣），
∴AF=．

（3）∵平移后抛物线的顶点P在直线y=2x﹣1上，设P（t，2t﹣1），
则平移后抛物线的解析式为y=（x﹣t）2+2t﹣1，
∴抛物线与直线的交点P（t，2t﹣1），Q（t+2，2t+3），
以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形．
①点G可视为点Q绕点P逆时针旋转90°而成，将P点平移至原点P′（0，0），
则Q′（2，4），将Q′点绕原点逆时针旋转90°，则G′（﹣4，2），
将P′平移至P点，则G′平移后即为G（﹣4+t，2t+1），
∵GX=0，∴t=4，∴G1（0，9），
②同理可得G2（0，9），
③点P可视为点Q绕点G顺时针旋转90°而成，设G（0，b），
将G平移至原点，G′（0，0），则Q′（t+2，2t+3﹣b），
将Q′绕原点顺时针旋转90°，则P′（2t+3﹣b，﹣t﹣2），
将G′平移至G点，则P′平移后即为P（2t+3﹣b，﹣t﹣2+b），
∴2t+3﹣b=t，﹣t﹣2+b=2t﹣1，∴t=1，b=4，
∴G3（0，4），
综上所述，满足题意的点G1（0，9），G2（0，4）．

　
22．方法一：
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9
∴D点的坐标是（2，9）；
∵E为对称轴上的一点，
∴点E的横坐标是：﹣=2，
设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），
∵将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上，
∴△CEC′是等腰直角三角形，
∴
解得或（舍去），
∴点E的坐标是（2，3），点C′的坐标是（0，1）．
综上，可得D点的坐标是（2，9），点E的坐标是（2，3）．
（2）如图1所示：

令抛物线y=﹣x2+4x+5的y=0得：x2﹣4x﹣5=0，
解得：x1=﹣1，x2=5，
所以点A（﹣1，0），B（5，0）．
设直线C′E的解析式是y=kx+b，将E（2，3），C′（0，1），代入得，
解得：，
∴直线C′E的解析式为y=x+1，
将y=x+1与y=﹣x2+4x+5，联立得：，
解得：，，
∴点F得坐标为（4，5），点A（﹣1，0）在直线C′E上．
∵直线C′E的解析式为y=x+1，
∴∠FAB=45°．
过点B、H分别作BN⊥AF、HM⊥AF，垂足分别为N、M．
∴∠HMN=90°，∠ADN=90°．
又∵∠NAD=∠HNM=45°．
∴△HGM∽△ABN
∴，
∵S△HGF：S△BGF=5：6，
∴．
∴，即，
∴HG=5．
设点H的横坐标为m，则点H的纵坐标为﹣m2+4m+5，则点G的坐标为（m，m+1），
∴﹣m2+4m+5﹣（m+1）=5．
解得：m1=，m2=．
（3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4（x﹣1）+5=﹣x2+6x．
将x=5代入y=﹣x2+6x得：y=5，
∴点T的坐标为（5，5）．
设直线OT的解析式为y=kx，将x=5，y=5代入得；k=1，
∴直线OT的解析式为y=x，
①如图2所示：当PT∥x轴时，△PTQ为等腰直角三角形，

将y=5代入抛物线y=﹣x2+6x得：x2﹣6x+5=0，
解得：x1=1，x2=5．
∴点P的坐标为（1，5）．
将x=1代入y=x得：y=1，
∴点Q的坐标为（1，1）．
②如图3所示：

由①可知：点P的坐标为（1，5）．
∵△PTQ为等腰直角三角形，
∴点Q的横坐标为3，
将x=3代入y=x得；y=3，
∴点Q得坐标为（3，3）．
③如图4所示：

设直线PT解析式为y=kx+b，
∵直线PT⊥QT，
∴k=﹣1．
将k=﹣1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，
∴直线PT的解析式为y=﹣x+10．
将y=﹣x+10与y=﹣x2+6x联立得：x1=2，x2=5
∴点P的横坐标为2．
将x=2代入y=x得，y=2，
∴点Q的坐标为（2，2）．
综上所述：点Q的坐标为（1，1）或（3，3）或（2，2）．

方法二：
（1）∵y=﹣x2+4x+5，∴顶点D（2，9），C（0，5），设E（2，a），
∴点C′可视为点C绕点E逆时针旋转90°而成，
将E点平移至原点，E1（0，0），则C1（﹣2，5﹣a），
将C1点绕原点逆时针旋转90°，则C2（a﹣5，﹣2），
将E1点平移至E点，则C2平移后即为C′（a﹣3，a﹣2），
∵C′在y轴上，∴设C′X=0，∴a﹣3=0，∴a=3，
∴C′Y=1，∴E（2，3），C′（0，1）．

（2）作BM⊥x轴，交直线C′E于点M，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∵E（2，3），C′（0，1），
∴lC′E：y=x+1，∴M（5，6），
∵HX=m，∴H（m，﹣m2+4m+5），G（m，m+1），
S△HGF=（FX﹣GX）（HY﹣GY），
S△BGF=（FX﹣GX）（MY﹣BY），
∴，
∴，
∴m2﹣3m+1=0，
∴m1=，m2=．

（3）∵抛物线右移1单位，∴y=﹣x2+6x，
∵T（5，y），∴T（5，5），
∵O（0，0），∴lOT：y=x，
设Q（n，n）（0＜n＜5），
①若P为直角顶点时，PX=QX，PY=QY，
∴P（n，5），
∴﹣n2+6n=5，∴n1=1，n2=5（舍），
∴Q（1，1），
②若Q为直角顶点时，点P可视为点T绕点Q逆时针旋转90°而成，
将Q点平移至原点，Q′（0，0），则T′（5﹣n，5﹣n），
将T′点绕原点逆时针旋转90°，则P′（n﹣5，n﹣5），
将Q′点平移至Q点，则P′平移后即为P（2n﹣5，5），
∴﹣（2n﹣5）2+6（2n﹣5）=5，
∴n1=3，n2=5（舍），∴Q（3，3），
③若T为直角顶点时，点P可视为点Q绕点T逆时针旋转90°而成，
同理可得：Q（2，2），
∴综上所述：点Q的坐标为（1，1）或（3，3）或（2，2）．
　
23．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵OB=9，OC=，
∴AD=BC=9﹣=，
∴点D坐标为（﹣12，）．
（2）∵抛物线经过点A、B．
∴，
∴b=，
由ax2+x+9﹣=x，整理得：4ax2+48ax+15=0，
∵此方程有且只有一个解，
∴△=0，
∴（48a）2﹣16a×15=0，
∴a=（或0不合题意舍弃），
∴抛物线表达式为y=x2+2x+9．
（3）如图所示，在直线AB上方作等腰直角三角形△ABE，EN⊥y轴，垂足为N，以AE中点M为圆心AM为半径画圆交直线CD于Q1，Q2，
∵∠AEB=45°，∠AEB+∠AQ1B=180°，
∴∠AQ1B=135°，
∴∠AQ1D+∠BQ1C=45°，
∴点Q1符合条件，同理点Q2也符合条件，
∵∠EBN+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠EBN，
在△EBN和△BAO中，
，
∴△EBN≌△BAO，
∴BN=AO=12，EN=BO=9，
∴点E（﹣9，21），点M（﹣，），
∵直线CD为y=x+，
设点P的横坐标为m，则点Q1（m，m+），
由AM=MQ1得到：（）2=（m+）2+（m﹣）2，
整理得：5m2+42m+81=0解得m=﹣3或﹣，
故P点横坐标为﹣3或﹣．
附（3）方法二：过点A作BQ垂线交BQ的延长线于H（见下图），设点P横坐标为t，则Q（t，），
∵∠AQD=45°﹣∠BQC，
∴∠AQH=45°
∴△AQH是等腰直角三角形，
∴点Q可以视为的A绕点H顺时针旋转90°而成，设H（m，n），
将点H平移至原点H′（0，0），则A′（﹣12﹣m，﹣n），
将A′绕原点顺时针旋转90°得Q′（﹣n，12+m）
则Q平移前坐标（m﹣n，12+m+n），
∴m﹣n=t，12+m+n=t+，
∴m=，n=，
∴点H（，），
∵点H、点Q、点B共线，
∴kQB=kBH，
∴，
整理得到：5t2+42t+81=0，
∴t=﹣3或﹣．
故点P横坐标为﹣3或﹣．


　
24．解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）
∴点B的坐标为（4，﹣1）．
∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，
∴，解得：b=2，c=﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y=x2+2x﹣1．

（2）方法一：
i）∵A（0，﹣1），C（4，3），
∴直线AC的解析式为：y=x﹣1．
设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1），
则平移后抛物线的函数表达式为：y=（x﹣m）2+m﹣1．
解方程组：，
解得，
∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．
过点P作PE∥x轴，过点Q作QF∥y轴，则
PE=m﹣（m﹣2）=2，QF=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．
∴PQ==AP0．
若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）．
由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，
△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=．
如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，
∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，
∴直线l1的解析式为：y=x﹣5．
解方程组，得：，
∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．
如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）．
由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：
△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为．
过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，
∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b2=﹣3，
∴直线l2的解析式为：y=x﹣3．
解方程组，得：，
∴M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．

方法二：
∵A（0，1），C（4，3），
∴lAC：y=x﹣1，
∵抛物线顶点P在直线AC上，设P（t，t﹣1），
∴抛物线表达式：，
∴lAC与抛物线的交点Q（t﹣2，t﹣3），
∵一M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，P（t，t﹣1），
①当M为直角顶点时，M（t，t﹣3），，
∴t=1±，
∴M1（1+，﹣2），M2（1﹣，﹣2﹣），
②当Q为直角顶点时，点M可视为点P绕点Q顺时针旋转90°而成，
将点Q（t﹣2，t﹣3）平移至原点Q′（0，0），则点P平移后P′（2，2），
将点P′绕原点顺时针旋转90°，则点M′（2，﹣2），
将Q′（0，0）平移至点Q（t﹣2，t﹣3），则点M′平移后即为点M（t，t﹣5），
∴，
∴t1=4，t2=﹣2，
∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），
③当P为直角顶点时，同理可得M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．



ii）存在最大值．理由如下：
由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．

如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为．
∴的最大值为=．
　




25．解：（1）由题意，易证Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴．
∵AB=2AM=2AC，
∴CF=OA=t．
当t=2时，CF=1．

（2）①由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴，
∴AF=OB=2，
∴FD=AF=2，．
∵点C落在线段BD上，
∴△DCF∽△DBO，
∴，即，
解得t=﹣2或t=﹣﹣2（小于0，舍去）
∴当t=﹣2时，点C落在线段BD上；
②当0＜t＜8时，如题图1所示：
S=BE•CE=（t+2）•（4﹣t）=t2+t+4；
当t＞8时，如答图1所示：

S=BE•CE=（t+2）•（t﹣4）=t2﹣t﹣4．

（3）符合条件的点C的坐标为：（12，4），（8，4）或（2，4）．
理由如下：
在△CDF沿x轴左右平移的过程中，符合条件的剪拼方法有三种：
方法一：如答图2所示，当F′C′=AF′时，点F′的坐标为（12，0），

根据△C′D′F′≌△AHF′，△BC′H为拼成的三角形，此时C′的坐标为（12，4）；
方法二：如答图3所示，当点F′与点A重合时，点F′的坐标为（8，0），

根据△OC′A≌△BAC′，可知△OC′D′为拼成的三角形，此时C′的坐标为（8，4）；
方法三：当BC′=F′D′时，点F′的坐标为（2，0），

根据△BC′H≌△D′F′H，可知△AF′C′为拼成的三角形，此时C′的坐标为（2，4）．