中考压轴题第7部分 抛物线之相似 学案

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．











3．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？
（4）若点P为直线AE上一动点，当CP+DP取最小值时，求P点的坐标．
















4．如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．









5．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．















6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．










7．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．












8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．











9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．












10．如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．










11．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．









12．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a=　　，b=　　，顶点C的坐标为　　；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．








13．如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式．
（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．















14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．










15．已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．
（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．












16．如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点O到直线AB的距离；
（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．









17．如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．
（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题：
①求出△ABC的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．


















18．已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x﹣1
（1）求证：点P在直线l上；
（2）当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标；
（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．









19．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）设动点N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；
（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．














20．设抛物线的解析式为y=ax2，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2；…；过点Bn（（）n﹣1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1．
（1）求a的值；
（2）直接写出线段AnBn，BnBn+1的长（用含n的式子表示）；
（3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列问题：
①当n为何值时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？
②设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），问：是否存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．


















21．如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．
（1）求b的值；
（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；
（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．










22．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
（1）求a，b的值；
（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．



2.解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴OE=，AE=1，
∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；

（2）过点M作MF⊥OB于点F，
∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，
∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；
（3）当点C在x轴负半轴上时，则∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此时∠C=0°，故此种情况不存在；
当点C在x轴正半轴上时，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，
当△ABC1∽△AOM，∴=，∵MO==，∴=，
解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；
当△C2BA∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．
综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．
　
3.方法一：解：（1）设函数解析式为：y=ax2+bx+c，
由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），可得，解得：，
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；
（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
由题意得：，解得：，即直线BC的解析式为y=﹣2x+2．
故可得点E的坐标为（0，2），从而可得：AE==2，CE==2，
故可得出AE=CE；
（3）相似．理由如下：
设直线AD的解析式为y=kx+b，则，解得：，即直线AD的解析式为y=x+4．
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，
解得：，即点F的坐标为（﹣，），则BF==，
又∵AB=5，BC==3，∴=，=，∴=，
又∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA．
故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．
方法二：（1）略．（2）略．
（3）若△ABF∽△ABC，则，即AB2=BF×BC，
∵A（﹣4，0），D（0，4），∴lAD：y=x+4，lBC：y=﹣2x+2，
∴lAD与lBC的交点F（﹣，），∴AB=5，BF=，BC=3，
∴AB2=25，BF×BC=×3=25，∴AB2=BF×BC，
又∵∠ABC=∠ABC，∴△ABF∽△ABC．
（4）由（3）知：KAE=，KCE=﹣2，
∴KAE×KCE=﹣1，∴AE⊥CE，
过C点作直线AE的对称点C，点E为CC′的中点，∴，，
∵C（﹣2，6），E（0，2），∴C′X=2，C′Y=﹣2，
∵D（0，4），∴lC′D：y=﹣3x+4，
∵lAE：y=x+2，∴lC′D与lAE的交点P（，）．














　
4.方法一：解：（1）∵点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y=ax2+b上，
∴，解得：a=﹣1，b=1，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+1，
抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A（1，0）关于y轴对称，∴B（﹣1，0）．
（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y=kx+b，可得：
，解得k=﹣1，b=1，∴y=﹣x+1．
∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为y=﹣x+n，
∵点B（﹣1，0）在直线BD上，∴0=1+n，得n=﹣1，∴直线BD的解析式为：y=﹣x﹣1．
将y=﹣x﹣1代入抛物线的解析式，得：﹣x﹣1=﹣x2+1，解得：x1=2，x2=﹣1，
∵B点横坐标为﹣1，则D点横坐标为2，
D点纵坐标为y=﹣2﹣1=﹣3，∴D点坐标为（2，﹣3）．
如答图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，AN=1，BN=3，
在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；
在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；
又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC=；
∴四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD=+++=+．

（3）假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形：
（I）若△EPB∽△BDC，如答图②所示，
则有，即，∴PE=3BE．
设OE=m（m＞0），则E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，
∴点P的坐标为（﹣m，3﹣3m）．
∵点P在抛物线y=﹣x2+1上，
∴3﹣3m=﹣（﹣m）2+1，解得m=1或m=2，
当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去．
因此，此种情况不存在；
（II）若△EBP∽△BDC，如答图③所示，
则有，即，∴BE=3PE．
设OE=m（m＞0），则E（m，0），BE=1+m，PE=BE=（1+m）=+m，
∴点P的坐标为（m，+m）．
∵点P在抛物线y=﹣x2+1上，
∴+m=﹣（m）2+1，解得m=﹣1或m=，
∵m＞0，故m=﹣1舍去，∴m=，
点P的纵坐标为：+m=+×=，
∴点P的坐标为（，）．
综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为（，）．
方法二：
（1）略．
（2）∵A（1，0），C（0，1），∴lAC：y=﹣x+1，
∵BD∥CA，∴KBD=KAC=﹣1，
∴lBD：y=﹣x﹣1，
∴，
∴x1=2，x2=﹣1（舍），
∴D（2，﹣3），
∴AC==，
CB==，
BD==3，
DA==，
∴四边形ABCD的周长为：5+．

（3）∵C（0，1），B（﹣1，0），
∴KBC==1，
∵KBD=﹣1，∴KBC×KBD=﹣1，
∴BD⊥BC，
若△EPB∽△BDC，则或，
①设点P（t，﹣t2+1），E（t，0），B（﹣1，0），
PE=PY=﹣t2+1，BE=EX﹣BX=t+1，
∵BD=3，CB=，，
∴，
∴t=﹣2（此时点P位于x轴下方，故舍去）
②∵，
∴，
∴t=，
∴P（，）．



　



5.解：
（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得，解得或，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，

则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，
①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，
此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
　











6.解：（1）∵x=﹣=，b=，∴a=﹣，
把A（4，0），a=﹣代入y=ax2+x+c，可得（）×42+×4+c=0，解得c=2，
则抛物线解析式为y=﹣x2+x+2．
（2）如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，
，
∵y=﹣x2+x+2，∴当x=0时，y=2，∴C点的坐标是（0，2），
设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b，
可得，解得：，∴直线AC解析式为y=﹣x+2，
∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，
∴设点M的坐标为（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），
∴MH=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，
∵CM=CH，OC=GE=2，∴MH=2EH=2×[2﹣（﹣m+2）]=m，
又∵MH=﹣m2+2m，∴﹣m2+2m=m，即m（m﹣2）=0，
解得m=2或m=0（不符合题意，舍去），∴m=2，
当m=2时，y=﹣×22+×2+2=3，∴点M的坐标为（2，3）．
（3）存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：
∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（4，0），A、B两点关于直线x=成轴对称，∴B（﹣1，0），
∵AC==2，BC==，AB=5，∴AC2+BC2=+=25，AB2=52=25，
∵AC2+BC2=AB2=25，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB=90°，
线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°，
设P点坐标为（n，0），则N点坐标为（n，﹣n2+n+2），
①如图2，当=时，∵∠N1P1G=∠ACB=90°，∴△N1P1G∽△ACB，∴=，
解得：n1=3，n2=﹣4（不符合题意，舍去），∴P的坐标为（3，0）．
②当=时，∵∠N2P2G=∠BCA=90°，∴△N2P2G∽△BCA，∴，
解得：n1=1，n2=1﹣（不符合题意，舍去），
∴P的坐标为（1+，0）．
∴存在点P（3，0）或（1，0），使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似．
　

7.解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），
设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．将A（4，0），B（1，0）代入，
得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2．
（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，
则点P的纵坐标为，
当1＜m＜4时，AM=4﹣m，PM=，
又∵∠COA=∠PMA=90°，∴①当==2时，△APM∽△ACO，
∴=2，即|4﹣m|=2（），∴4﹣m=m2+5m﹣4，
∴m2﹣6m+8=0，∴（m﹣2）（m﹣4）=0，
解得：m1=2，m2=4（舍去）∴P（2，1）
②当，△APM∽△CAO，那么有：2|4﹣m|=，
∴2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，∴m2﹣9m+20=0，∴（m﹣4）（m﹣5）=0，
解得：m1=4（舍去），m2=5（舍去），∴当1＜m＜4时，P（2，1），
类似地可求出当m＞4时，P（5，﹣2），
当m＜1时，P（﹣3，﹣14），当P，C重合时，△APM≌△ACO，P（0，﹣2）．
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）或（0，﹣2）；
（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2．∴E点的坐标为（t，t﹣2）．
∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t．∴S△DAC=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4．
∴当t=2时，△DAC面积最大．∴D（2，1）．

　












8.解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，
∴x1+x2=8，由解得：∴B（2，0）、C（6，0）
则4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴该抛物线解析式为：y=；
（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵∴∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，
要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：
①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，
∴S△APC=S△APF+S△CPF=
==，此时最大值为：，
②当6＜t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），
∵P（t，），∴PM=，
∴S△APC=S△APM﹣S△CPM===，
当t=8时，取最大值，最大值为：12，
综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；
（3）方法一：如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），
①当2＜t＜8时，AQ=t，PQ=，
若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），
②当t＞8时，AQ′=t，PQ′=，
若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=14，
方法二：若以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，
则或，设P（t，）（t＞2）∴Q（t，3）
①||=，∴||=，∴t1=2（舍），t2=14，
②||=，∴||=，∴t1=，t2=，

9.解：（1）①y=当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，∴C（0，2），A（﹣4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称，∴点B的坐标为1，0）．
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
又∵抛物线过点C（0，2），∴2=﹣4a∴a=∴y=x2x+2．
（2）设P（m，m2m+2）．过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴Q（m，m+2），∴PQ=m2m+2﹣（m+2）=m2﹣2m，
∵S△PAC=×PQ×4，=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，
∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，此时P（﹣2，3）．
（3）方法一：在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90°，∴∠CAO+∠OBC=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC∽△ACO∽△CBO，如图：
①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；
②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；
③当点M在第四象限时，设M（n，n2n+2），则N（n，0）∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4
当时，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）整理得：n2+2n﹣8=0解得：n1=﹣4（舍），n2=2
∴M（2，﹣3）；当时，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），
整理得：n2﹣n﹣20=0解得：n1=﹣4（舍），n2=5，∴M（5，﹣18）．
综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
方法二：∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴KAC×KBC=﹣1，∴AC⊥BC，MN⊥x轴，
若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，则，，
设M（2t，﹣2t2﹣3t+2），∴N（2t，0），
①||=，∴||=，∴2t1=0，2t2=2，
②||=，∴||=2，∴2t1=5，2t2=﹣3，
综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
　



10.解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c，
得方程组解得：∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，若△ABO∽△AP1D，则
∴DP1=AD=4，∴P1（﹣1，4）
若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4，
∵△ABO为等腰三角形，∴△ADP2是等腰三角形，
由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合，∴P2（1，2）
综上所述，点P的坐标为P1（﹣1，4），P2（1，2）；
（3）不存在．理由：如答图2，设点E（x，y），则 S△ADE=
①当P1（﹣1，4）时，S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|
∴2|y|=4+|y|，∴|y|=4
∵点E在x轴下方，∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即x2﹣4x+7=0，
∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0∴此方程无解
②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|，
∴2|y|=2+|y|，∴|y|=2
∵点E在x轴下方，∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即x2﹣4x+5=0，
∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0∴此方程无解
综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．


　















11.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．
（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1
∴直线OB的解析式为y=x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，
∵点D在抛物线y=x2﹣3x上，∴可设D（x，x2﹣3x），
又∵点D在直线y=x﹣m上，∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，
∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4，
此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，∴D点的坐标为（2，﹣2）．
（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），
根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，
设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），∴4k2+3=4，解得：k2=，
∴直线A′B的解析式是y=，
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，
即点N在直线A′B上，∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，
∴=n2﹣3n，解得：n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣，）．
方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
则N1（，），B1（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．
∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，∴△P1OD∽△N1OB1，∴，
∴点P1的坐标为（，）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），
方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，
则N2（，），B2（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．
∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2，∴△P1OD∽△N2OB2，∴，∴点P1的坐标为（，）．
将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），
方法三：∵直线OB：y=x是一三象限平分线，
∴A（3，0）关于直线OB的对称点为A′（0，3），∴得：x1=4（舍），x2=﹣，
∴N（﹣，），∵D（2，﹣2），∴lOD：y=﹣x，
∵lOD：y=x，∴OD⊥OB，∵△POD∽△NOB，
∴N（﹣，）旋转90°后N1（，）或N关于x轴对称点N2（﹣，﹣），
∵OB=4，OD=2，∴，∵P为ON1或ON2中点，∴P1（，），P2（，）．

　
12.解：（1）a=﹣1，b=﹣2，顶点C的坐标为（﹣1，4）；

（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．
由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA，∴．
设D（0，c），则．变形得c2﹣4c+3=0，解之得c1=3，c2=1．
综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），
使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．

（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．
延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM2=CM2．
设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，∴m=2，即M（2，0）．
设直线CM的解析式为y=k1x+b1，
则，解之得，．∴直线CM的解析式．
联立，解之得或（舍去）．∴．
②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．
由△CFA∽△CAH得，由△FNA∽△AHC得．
∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则AH=2，∴点F坐标为（﹣5，1）．
设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，解之得．
∴直线CF的解析式．联立，解之得或（舍去）．
∴．
∴满足条件的点P坐标为或．

　







13.解：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣1，0），B（0，3）；
∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）．
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，∴，解得k=﹣1，b=3，
∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3．
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），
∵点B（0，3）在抛物线上，∴3=a×（﹣1）×（﹣3），解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．
（2）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．
直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，∴M（2，1）．
设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MF=1，∴△MCD为等腰直角三角形．
∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，∴△BND为等腰直角三角形．
如答图1所示：（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，∴N1（0，0）；
（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，
∵OB=OD=ON2=3，∴N2（﹣3，0）；
（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，
∵OB=OD=ON3=3，∴N3（0，﹣3）．
∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．
（3）方法一：假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．
（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．
S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，化简得：m+n=7 ①，
∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，
代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，解得：m1=4，m2=﹣1，∴n1=3，n2=8，
∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；
（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：
过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．
S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，
化简得：m+n=﹣1 ②，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，
代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．故此时点P不存在．
综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．
方法二：假设存在点P，使S△PBD=6，过点P作直线l平行BD，则l与BD的距离为d，
∵BD==3，∴S△PBD=BD×d，∴d=2，
∵BD与y轴夹角为45°，∴BB′=4，∴将BD上移或下移4个单位，
①上移4个单位，l解析式为：y=﹣x+7，∵y=x2﹣4x+3，∴x2﹣3x﹣4=0，∴x1=4，x2=﹣1，
②下移4个单位，l解析式为y=﹣x﹣1，∵y=x2﹣4x+3，∴x2﹣3x+4=0，△＜0，∴此方程无解，
综上所述，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．

　
14.方法一：解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．
将A（﹣1，0），B（4，0）代入，得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，∴BC==．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×h=×2×4，∴h=．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），∴=，∴y=±2
将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，得x1=0，x2=3．
当y=﹣2时，不合题意舍去．∴E点坐标为（0，2），（3，2）．
（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，∴，yBC=﹣x+2．
由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣x+n，由图象，得0=﹣×（﹣1）+n ∴n=﹣，
yAD=﹣x﹣．∴﹣x2+x+2=﹣x﹣，解得：x1=﹣1，x2=5
∴D（﹣1，0）与A重合，舍去；∴D（5，﹣3）．
∵DE⊥x轴，∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=．∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得AC=，BC=2，
∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，∴AC2+BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，∴∠CAF+∠ACB=180°，∴∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，∴AC=BF=，
在Rt△BFD中，由勾股定理，得DF=，∴DF=BF，∴∠ADB=45°．


方法二：（1）略．
（2）∵以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似，
∴AE⊥BE且或，
∵E为抛物线上一动点，
∴设E（t，﹣），A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
∴t2﹣3t=0，解得：t1=0，t2=3，
∴E1（0，2），E2（3，2），
①当E1（0，2）时，AE=，BE=，
∴，∵，
∴，∴△ABE∽△COB，
②当E2（3，2）时，同理△ABE∽△COB，
∴E1（0，2），E2（3，2）．

（3）过B点作AD的垂线，垂足为H，∵B（4，0），C（0，2），
∴KBC==﹣，∵BC∥AD，∴KAD=﹣，lAD：y=﹣x﹣，
∵BH⊥AD，∴KBH×KAD=﹣1，∴KBH=2，lBH：y=2x﹣8，
∴lAD与lBH的交点H（3，﹣2），
∴，解得x1=﹣1（舍），x2=5，
∴D（5，﹣3），∵B（4，0），H（3，﹣2），
∴BH=，
BD=，
∴sin∠BDH=，∴∠BDA=45°．
　

















15.解：（1）把A（﹣1，0）代入得c=﹣，∴抛物线解析式为
（2）如图1，过点C作CH⊥EF于点H，

∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y轴于点G∴△EHC∽△FGC
∵E（m，n）∴F（m，）
又∵C（0，﹣）∴EH=n+，CH=﹣m，FG=﹣m，CG=m2
又∵，则∴n+=2∴n=
当F点位于E点上方时，则∠CEF＞90°；又∠CFG肯定为锐角，故这种情形不符合题意．
由此当n=时，代入抛物线解析式，求得m=±2，
又E点位于第二象限，所以﹣2＜m＜0．
（3）由题意可知P（t，0），M（t，）
∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，
∴△OPM∽△QPB．∴．
其中OP=t，PM=，PB=1﹣t，∴PQ=．BQ=
∴PQ+BQ+PB=．∴△PBQ的周长为2．
　



















16.解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，将B点坐标代入函数解析式，得
（5﹣1）2a﹣1=3，解得a=．故抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣1；
（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（5﹣1）2+（3+1）2=32，OA2+AB2=OB2，
∴∠OAB=90°，O到直线AB的距离是OA=；
（3）设M（a，b），N（a，0）当y=0时，（x﹣1）2﹣1=0，解得x1=3，x2=﹣1，D（3，0），DN=3﹣a．
①当△MND∽△OAB时，=，即=，化简，得4b=a﹣3 ①
M在抛物线上，得b=（a﹣1）2﹣1 ②
联立①②，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣2，b=，M1（﹣2，），
当△MND∽△BAO时，=，即=，
化简，得b=12﹣4a ③，
联立②③，得，
解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80， M2（﹣17，80）．
综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）．
　

































17.解：（1）∵抛物线过G（2，2），∴把G坐标代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），
解得：m=4；
（2）①令y=0，得到﹣（x+2）（x﹣m）=0，解得：x1=﹣2，x2=m，
∵m＞0，∴A（﹣2，0），B（m，0），
把m=4代入得：B（4，0），∴AB=6，
令x=9，得到y=2，即C（0，2），∴OC=2，则S△ABC=×6×2=6；
②∵A（﹣2，0），B（4，0），∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）的对称轴为x=1，
如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，把B与C坐标代入得：，解得：，
∴直线BC解析式为y=﹣x+2，令x=1，得到y=，即H（1，）；
（3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，
分两种情况考虑：
（i）当△ACB∽△ABM时，则有=，即AB2=AC•AM，
∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，
如图2，过M作MN⊥x轴，交x轴于点N，则AN=MN，∴OA+ON=2+ON=MN，
设M（x，﹣x﹣2）（x＞0），
把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），
∵x＞0，∴x+2＞0，
∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），∴AM==2（m+1），
∵AB2=AC•AM，AC=2，AB=m+2，∴（m+2）2=2•2（m+1），
解得：m=2±2， ∵m＞0，∴m=2+2；
（ii）当△ACB∽△MBA时，则=，即AB2=CB•MA，
∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，∴△ANM∽△BOC，∴=，
∵OB=m，设ON=x，∴=，即MN=（x+2），
令M（x，﹣（x+2））（x＞0），
把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），
∵x＞0，∴x+2＞0，∵m＞0，∴x=m+2，即M（m+2，﹣（m+4）），
∵AB2=CB•MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），∴（m+2）2=•，
整理得：=0，显然不成立，

　
18.（1）证明：∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1，∴点P的坐标为（m，m﹣1），
∵当x=m时，y=x﹣1=m﹣1，∴点P在直线l上；
（2）解：当m=﹣3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5，
当y=0时，x2+6x+5=0，解得x1=﹣1，x2=﹣5，则A（﹣5，0），
当x=0时，y=x2+6x+5=5，则C（0，5），
可得解方程组，解得或，
则P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），
作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，
∵OA=OC=5，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，
∴∠MCE=45°﹣∠ACM，
∵QG=3，OG=2，
∴AG=OA﹣OG=3=QG，
∴△AQG为等腰直角三角形，
∴∠QAG=45°，
∵∠APF=90°﹣∠PAF=90°﹣（∠PAQ+45°）=45°﹣∠PAQ，
∵∠ACM=∠PAQ，
∴∠APF=∠MCE，∴Rt△CME∽Rt△PAF，∴=，
设M（x，x2+6x+5），
∴ME=﹣x，CE=5﹣（x2+6x+5）=﹣x2﹣6x，∴=，
整理得x2+4x=0，解得x1=0（舍去），x2=﹣4，
∴点M的坐标为（﹣4，﹣3）；
（3）解：解方程组得或，则P（m，m﹣1），Q（m+1，m），
∴PQ2=（m+1﹣m）2+（m﹣m+1）2=2，OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，OP2=m2+（m﹣1）2=2m2﹣2m+1，
当PQ=OQ时，2m2+2m+1=2，解得m1=，m2=；
当PQ=OP时，2m2﹣2m+1=2，解得m1=，m2=；
当OP=OQ时，2m2+2m+1=2m2﹣2m+1，解得m=0，
综上所述，m的值为0，，，，．

　




19.解：（1）令y=0得x1=﹣2，x2=4，∴点A（﹣2，0）、B（4，0）
令x=0得y=﹣，∴点C（0，﹣）
（2）将x=1代入抛物线的解析式得y=﹣∴点M的坐标为（1，﹣）
∴点M关于直线x=﹣2的对称点M′的坐标为（﹣5，）
设直线M′B的解析式为y=kx+b将点M′、B的坐标代入得：解得：
所以直线M′B的解析式为y=．将x=﹣2代入得：y=﹣，所以n=﹣．
（3）过点D作DE⊥BA，垂足为E．

由勾股定理得：
AD==3，BD=，
如下图，①当P1AB∽△ADB时，即：∴P1B=6
过点P1作P1M1⊥AB，垂足为M1．∴即：
解得：P1M1=6，∵即：解得：BM1=12
∴点P1的坐标为（﹣8，6）
∵点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在；
②当△P2AB∽△BDA时，即：∴P2B=6
过点P2作P2M2⊥AB，垂足为M2．∴，即：∴P2M2=2
∵，即：∴M2B=8∴点P2的坐标为（﹣4，2）
将x=﹣4代入抛物线的解析式得：y=2，∴点P2在抛物线上．
由抛物线的对称性可知：点P2与点P4关于直线x=1对称，∴P4的坐标为（6，2），
当点P3位于点C处时，两三角形全等，所以点P3的坐标为（0，﹣），
综上所述点P的坐标为：（﹣4，2）或（6，2）或（0，﹣）时，以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似．
　




20.解：（1）∵点A1（1，2）在抛物线的解析式为y=ax2上，∴a=2；
（2）AnBn=2x2=2×[（）n﹣1]2=，BnBn+1=；
（3）由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，则：=，2n﹣3=n，n=3，
∴当n=3时，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形，
②依题意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°，
有两种情况：i）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1时，
=，=，=，
所以，k=m（舍去），
ii）当Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm时，
=，=，=，∴k+m=6，
∵1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），∴取或；
当时，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5，相似比为：==64，
当时，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，相似比为：==8，
所以：存在Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似，其相似比为64：1或8：1．

　











21.（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，
∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣，∴△OCD的面积S=（﹣）•b=﹣．
∵kS+32=0，∴k（﹣）+32=0，
解得b=±8，∵b＞0，∴b=8；
（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=，
将x=代入y=x2，得y=（）2，整理，得y2﹣（16+8k2）y+64=0．
∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，∴y1•y2=64，
∴点（y1，y2）在反比例函数的图象上；
（3）方法一：证明：由勾股定理，得
OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，
由（2）得y1•y2=64，
同理，将y=kx+8代入y=x2，得kx+8=x2，即x2﹣8kx﹣64=0，∴x1•x2=﹣64，
∴AB2=+++﹣2x1•x2﹣2y1•y2=+++，
又∵OA2+OB2=+++，∴OA2+OB2=AB2，
∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．
∵∠AOB=90°，∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴=，
∵OE=﹣x1，BF=y2，∴=，∴x1•OB+y2•OA=0．
方法二：分别过A，B两点作x轴垂线，垂足分别为E、F，⇒x2﹣8kx﹣64=0，
∴x1=4k﹣4，x2=4k+，y1=4k2+8﹣4k，y2=4k2+8+，
∴A（4k﹣4，4k2+8﹣4k），
B（4k+，4k2+8+），
KOA×KOB===﹣1＜
∴OA⊥OB，∠AOE+∠BOF=90°，AE⊥x轴，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠BOF=∠OAE，
∵BF⊥x轴，∴∠AEO=∠BFO=90°，∴△AEO∽△BFO，∴，
∵OE=﹣x1，BF=y2，∴x1•OB+y2•OA=0．

　
22.方法一：解：（1）∵y=﹣x+4与x轴交于点A，∴A（4，0），
∵点B的横坐标为1，且直线y=﹣x+4经过点B，∴B（1，3），
∵抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3），∴，解得：，∴a=﹣1，b=4；
（2）如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，
∵B（1，3），A（4，0），∴OD=1，BD=3，OA=4，∴AD=3，∴AD=BD，
∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，
∵MC⊥x轴，∴∠ANC=∠BAD=45°，∴∠PNF=∠ANC=45°，
∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=45°，∴NF=PF=t，
∵∠PFM=∠ECM=90°，∴PF∥EC，∴∠MPF=∠MEC，
∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD，∴∠MPF=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠MPF，∴==3，∴MF=3PF=3t，
∵MN=MF+FN，∴d=3t+t=4t；
（3）如备用图，由（2）知，PF=t，MN=4t，∴S△PMN=MN×PF=×4t×t=2t2，
∵∠CAN=∠ANC，∴CN=AC，∴S△ACN=AC2，
∵S△ACN=S△PMN，∴AC2=2t2，∴AC=2t，∴CN=2t，
∴MC=MN+CN=6t，∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，∴M（4﹣2t，6t），
由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x，
将M（4﹣2t，6t）代入y=﹣x2+4x得：﹣（4﹣2t）2+4（4﹣2t）=6t，
解得：t1=0（舍），t2=，∴PF=NF=，AC=CN=1，OC=3，MF=，PN=，PM=，AN=，
∵AB=3，∴BN=2，
作NH⊥RQ于点H，
∵QR∥MN，∴∠MNH=∠RHN=90°，∠RQN=∠QNM=45°，
∴∠MNH=∠NCO，∴NH∥OC，∴∠HNR=∠NOC，
∴tan∠HNR=tan∠NOC，∴==，设RH=n，则HN=3n，
∴RN=n，QN=3n，∴PQ=QN﹣PN=3n﹣，
∵ON==，OB==，
∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，
∵PM∥OB，∴∠OBN=∠MPB，∴∠MPB=∠BNO，
∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，
∴∠BRN=∠MQP，∴△PMQ∽△NBR，∴=，∴=，解得：n=，
∴R的横坐标为：3﹣=，R的纵坐标为：1﹣=，∴R（，）．

方法二：（1）略．（2）延长MP交x轴于点M′，作M′N′∥MN交AB于N′，
延长FP交M′N′于F′，∵M′N′∥MN，∴△PMN∽△PM′N′，
∴，∵O（0，0），B（1，3），∴KOB=3，
∵PM∥OB，∴KPM=KOB=3，则lPM：y=3x+b，设P（p，﹣p+4），则b=4﹣4p，
∴lPM：y=3x+4﹣4P，把y=0代入，∴x=，∴M′（，0），
∵N′x=M′x，把x=代入y=﹣x+4，∴y=，
∴N′（，），∴M′N′=，
∵PF′⊥M′N′，∴PF′=p﹣=，∴．
（3）设M（t，﹣t2+4t），N（t，﹣t+4），∴MN=﹣t2+4t+t﹣4=﹣t2+5t﹣4，
∴PF=（﹣t2+5t﹣4），∴S△PMN=（﹣t2+5t﹣4）2=（t﹣4）2（t﹣1）2，
∵KAB=﹣1，∴∠OAB=45°，∴CA=CN=4﹣t，∴S△ACN=（t﹣4）2，
∵S△ACN=S△PMN，∴（t﹣4）2（t﹣1）2=（t﹣4）2，∴t1=﹣1，（舍），t2=3，∴M（3，3），
∵MX=NX=3，∴N（3，1），∴ON=，
∵B（1，3），∴OB=，∴OB=ON，∠OBN=∠ONB，
∵QR∥MN，∴∠OBN=∠QPM，∴∠ONB=∠QPM，∠RQA=45°，
∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∴∠BRN=∠MQP，∴△BRN∽△MQP，∴，
∵KPM=3，M（3，3），∴lPM：y=3x﹣6，
∵lAB：y=﹣x+4，∴P（2.5，1.5），
设R（3t，t），∴Q（3t，﹣3t+4），
∴，
∴t1=，t2=（舍），∴R（，）．