中考压轴题第13部分 相似动点 学案

1．（2015•聊城）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：
（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；
（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．













2．（2015•龙岩）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t．
（1）判断MN与AC的位置关系；
（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；
（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值．




















3．（2015•德州）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．













4．（2015•东莞）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm
（1）填空：AD=　　　　　　（cm），DC=　　　　　　（cm）
（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B方向运动，点N到AD的距离（用含x的式子表示）
（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．
（参考数据sin75°=，sin15°=）









5．（2015•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4，∠BAC=45°．
（1）求点A，C的坐标；
（2）反比例函数y=的图象经过点B，求k的值；
（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．








6．（2015•怀化）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；
（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）














7．（2015•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动，过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM，PN，当点N运动到点A时，M，N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=　　　　　　秒时，动点M，N相遇；
（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）取线段PM的中点K，连接KA，KC，在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．










8．（2014•牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？















9．（2014•汕头）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．







10．（2014•益阳）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．






















11．（2014•长春）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．











12．（2014•沙坪坝区模拟）已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．
运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；
运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；
运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．
设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，
解答下列问题
（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时　　　　　　s；
（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

13．（2014•宛城区一模）在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；
（2）若∠ABC=60°，AB=厘米．
①求动点Q的运动速度；
②设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；
（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由．











14．（2014•乌海模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE=y；
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．


















15．（2014•沙坪坝区一模）如图，已知△ABC是等边三角形，点O为是AC的中点，OB=12，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M，N在直线OB上，取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图所示的矩形ODEF，点E在线段AB上．
（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S，请你直接写出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并写出对应的自变量t的取值范围；
（4）点P在运动过程中，是否存在点M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

16．（2014•万州区校级模拟）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA﹣AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．














17．（2014•黄冈模拟）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，▱ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．
（1）求∠DCB的度数；
（2）当点F的坐标为（﹣4，0）时，求点G的坐标；
（3）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线DC的交点为H．
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标．














18．（2014•重庆模拟）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=6，D为BC上一点，CD=2，射线DG，BC交AB于点G．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿射线DG运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时停止运动，点Q也随之停止，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，得到矩形PECF，点M为点D关于点Q的对称点，以QM为直角边，在射线DG的右侧作Rt△QMN，使QN=2QM．设运动时间为t（单位：秒）．
（1）当点N恰好落在PF上时，求t的值．
（2）当△QMN和矩形PECF有重叠部分时，直接写出重叠部分图形面积S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围．
（3）连接PN、ND、PD，是否存在这样的t值，使△PND为直角三角形？若存在，求出相应的t值若不存在，请说明理由．








19．（2014•徐州模拟）如图，矩形ABCD的边AB=6cm，BC=4cm，点F在DC上，DF=2cm．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，再连接△FMN三边的中点得
△PQW．设动点M、N的速度都是1cm/s，M、N运动的时间为ts．
（1）试说明△FMN∽△QWP；
（2）在点M运动的过程中，
①当t为何值时，线段MN最短？并求出此时MN的长．
②当t为何值时，△PQW是直角三角形？








20．（2014•长春一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度从点A运动到终点B；同时，点Q从点C出发，以3cm/s的速度从点C运动到终点B，连结PQ；过点P作PD⊥AC交AC于点D，将△APD沿PD翻折得到△A′PD，以A′P和PB为邻边作▱A′PBE，A′E交射线BC于点F，交射线PQ于点G．设▱A′PBE与四边形PDCQ重叠部分图形的面积为Scm2，点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，点A′与点C重合；
（2）用含t的代数式表示QF的长；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）请直接写出当射线PQ将▱A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时t的值．















1.解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，
作NP⊥OA于P，如图1所示：
则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴，即，
解得：OP=x，PN=，∴点N的坐标是（x，）；
（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，∴S=OM•PN=（4﹣x）•=﹣x2+x，
∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4），
配方得：S=﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是；
（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：
分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：则MN∥AB，
此时OM=4﹣x，ON=1.25x，
∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴，即，解得：x=2；
②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，
∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，
∴△OMN∽△OBA，∴，即，解得：x=；

2.解：（1）∵在△ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，∴MN∥AC；
（2）如图1，分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，
根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是▱AFGE的面积，
∵AC=6，BC=8，∴AE=3，GC=4，
∵∠ACB=90°，∴S四边形AFGE=AE•GC=3×4=12，∴线段MN所扫过区域的面积为12．

（3）据题意可知：MD=AD，DN=DC，MN=AC=3，
①当MD=MN=3时，△DMN为等腰三角形，此时AD=AC=6，∴t=6，
②当MD=DN时，AD=DC，如图2，过点D作DH⊥AC交AC于H，则AH=AC=3，
∵cosA==，∴=，解得AD=5，∴AD=t=5．
③如图3，当DN=MN=3时，AC=DC，连接MC，则CM⊥AD，
∵cosA==，即=，∴AM=，∴AD=t=2AM=，
综上所述，当t=5或6或时，△DMN为等腰三角形．

3.解：（1）如图1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD•BC=AP•BP；
（2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立．理由：如图2，
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，∴∠BPC=∠ADP，∴△ADP∽△BPC，
∴=，∴AD•BC=AP•BP；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E．
∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3．由勾股定理可得DE=4．
∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=5﹣4=1．
又∵AD=BD，∴∠A=∠B，∴∠DPC=∠A=∠B．
由（1）、（2）的经验可知AD•BC=AP•BP，∴5×1=t（6﹣t），
解得：t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．

4.解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4cm，∴AC===4，
∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，∴DC=AC=2，∴AD=DC=2；
（2）过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，如图所示：
则NE=DF，
∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，∠CAD=30°，∴∠ACB=45°，∠ACD=60°，
∴∠NCF=180°﹣45°﹣60°=75°，∠FNC=15°，
∵sin∠FNC=，NC=x，∴FC=x，∴NE=DF=x+2，
∴点N到AD的距离为x+2；
（3）∵sin∠NCF=，∴FN=x，
∵P为DC的中点，∴PD=CP=，∴PF=x+，
∴△PMN的面积y=梯形MDFN的面积﹣△PMD的面积﹣△PNF的面积
=（x+2﹣x）（x+2）﹣（2﹣x）×﹣（x+）（x）
=x2+x+2，即y是x的二次函数，
∵＜0，∴y有最大值，当x=﹣=时，
y有最大值为=．

5.解：（1）解一元二次方程x2﹣12x+36=0，解得：x1=x2=6，∴OA=OC=6，
∴A（﹣6，0），C（6，0）；
（2）如图1，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵∠BAC=45°，∴AE=BE，设BE=x，
∵BC=4，∴CE=，
∵AE+CE=OA+OC，∴x+=12，整理得：x2﹣12x+32=0，
解得：x1=4（不合题意舍去），x2=8∴BE=8，OE=8﹣6=2，∴B（2，8），
把B（2，8）代入y=，得k=16．
（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，则，即 解得：OP=2或OP=6
∴P（0，2）或P（0，6）；
如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，则，即，解得：OP=12，∴P（0，12）；
如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，则，即，
解得：OP=4+2或OP=4﹣2（不合题意舍去），∴P（0，4+2）；
如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，
则，即，解得：OP=﹣4+2或﹣4﹣2（不合题意舍去），则P点坐标为（0，4﹣2）
∴点P的坐标为：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．



























6.解：（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，
∵∠C=90°，∴QE∥BC，∴△ABC∽△AQE，∴，
∵AQ=2t，AP=t，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴，∴PE=，QE=，
∴PQ2=QE2+PE2，∴PQ=t，
当Q与B重合时，PQ的值最大，∴当t=5时，PQ的最大值=3；
（2）如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积=S△AQP，
当Q在AB边上时，S=AP•QE=t•=，（0＜t≤5）
当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积=S四边形ABQP，
∴S四边形ABQP=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）•（16﹣2t）=﹣t2+16t﹣40，（5＜t≤8）；
∴经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式是：
S=．
（3）存在．
当点Q在AB边上时，如图2，连接CQ，PQ，
由（1）知QE=，CE=AC﹣AE=8﹣，PQ=t，
∴CQ====2，
①当CQ=CP时，
即：2=8﹣t，解得；t=，
②当PQ=CQ时，即；t=2，解得：t=，t=8（不合题意舍去），
③当PQ=PC时，即t=8﹣t，解得：t≈3.4；
当点Q在BC边上时，
∵∠ACB=90°，∴△PQC是等腰直角三角形，∴CQ=CP，
∴8﹣t=16﹣2t，∴t=8，∴P，Q，C重合，不合题意，
综上所述：当t=，t=，t=3.4时，△PQC为等腰三角形．









8.解：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．
∵CD⊥AB，∴S△ABC=BC•AC=AB•CD．∴CD===4.8．
∴线段CD的长为4.8．
（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．
由题可知DP=t，CQ=t．则CP=4.8﹣t．
∵∠ACB=∠CDB=90°，∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，∴∠CHP=90°．∴∠CHP=∠ACB．∴△CHP∽△BCA．
∴．∴．∴PH=﹣t．
∴S△CPQ=CQ•PH=t（﹣t）=﹣t2+t．
②存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．
∵S△ABC=×6×8=24，
且S△CPQ：S△ABC=9：100，∴（﹣t2+t）：24=9：100．
整理得：5t2﹣24t+27=0．
即（5t﹣9）（t﹣3）=0．解得：t=或t=3．
∵0＜t＜4.8，∴当t=秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100．
（3）①若CQ=CP，如图1，则t=4.8﹣t．解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如图2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，∴QH=CH=QC=．
∵△CHP∽△BCA．∴．∴．解得：t=．
③若QC=QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．同理可得：t=．
综上所述：当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．











9.（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．

（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．
S△PEF=EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10（0＜t＜），
∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2，此时BP=3t=6cm．
（3）解：存在．理由如下：
①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．
∵PF∥AD，∴，即，解得t=；

③若点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．
∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，
∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t．
在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，
即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）
化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．
综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．



10.解：（1）过点C作CE⊥AB于E，
在Rt△BCE中，
∵∠B=60°，BC=4，∴CE=BC•sin∠B=4×=2，∴AD=CE=2．
（2）存在．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，
则△PCB必有一个角是直角．
①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，∴AP=AB﹣PB=2．
又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DPA===，∴∠DPA=60°，
∴∠DPA=∠CPB，∴△ADP∽△CPB，
∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．

②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，
∴PB=2，PC=2，∴AP=8．则≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．
（3）如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，则S1=π•（）2=π•，
①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；
作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连结BM．则BM为△PCB外接圆的半径．
在Rt△GBH中，BH=BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4，
∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣x，∴GN=BG﹣BN=x﹣1．
在Rt△GMN中，∴MN=GN•tan∠MGN=（x﹣1）．
在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2=x2﹣x+，
∴S2=π•BM2=π（x2﹣x+）．
②∵当0＜x≤2时，S2=π（x2﹣x+）也成立，
∴S=S1+S2=π•+π（x2﹣x+）=π（x﹣）2+π．
∴当x=时，S=S1+S2取得最小值π．















11.解：（1）当点N落在BD上时，如图1．
∵四边形PQMN是正方形，∴PN∥QM，PN=PQ=t．
∴△DPN∽△DQB．∴．
∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，∴．∴t=．∴当t=时，点N落在BD上．
（2）①如图2，则有QM=QP=t，MB=4﹣t．
∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥DQ．
∵点O是DB的中点，∴QM=BM．∴t=4﹣t．∴t=2．
②如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．∵AB=4，AD=3，∴DB=5．
∵点O是DB的中点，∴DO=．∴1×t=AD+DO=3+．∴t=．
∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜．
（3）①当0＜t≤时，如图4．S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．
②当＜t≤3时，如图5，
∵tan∠ADB==，∴=．∴PG=4﹣t．∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣t）=﹣4．
∵tan∠NFG=tan∠ADB=，∴．∴NF=GN=（﹣4）=t﹣3．
∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF=t2﹣×（﹣4）×（t﹣3）=﹣t2+7t﹣6．
③当3＜t≤时，如图6，
∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．∴∠PQM=∠DAB=90°．∴PQ∥AD．
∴△BQP∽△BAD．∴==．
∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，∴．
∴BQ=，PQ=．∴QM=PQ=．∴BM=BQ﹣QM=．
∵tan∠ABD=，∴FM=BM=．
∴S=S梯形PQMF=（PQ+FM）•QM
=[+]•=（8﹣t）2=t2﹣t+．
综上所述：当0＜t≤时，S=t2．当＜t≤3时，S=﹣t2+7t﹣6．当3＜t≤时，S=t2﹣t+．





12.解：（1）根据题意得，
运动一：∵△DEF是等腰三角形，∠ACB=90°，EF=8cm，∴EC=4cm，∴运动一所用时间为：4÷1=4（秒），
运动二：∵当QC⊥DF时暂停旋转，
∵CD=CF，∴DQ=QF=2cm∴运动二所用时间为：2=2（秒），
运动三：∵CF=4cm，∴运动三所用的时间为：4÷1=4（秒），
∴整个过程共耗时4+2+4=10（秒）；

（2）运动一：如图2，设EC为tcm，则CQ为tcm，∴S△ECQ=×t×t，
∴S与t之间的函数关系式为：y=t2（0≤t≤4），
运动二：如图3，
连接CD，在△ECP和△DCQ中，∵∴△ECP≌△DCQ（ASA），
∴S与t之间的函数关系式为：y=8（4＜t＜6），
运动三：如图4，四边形QDPC为矩形，∴CF=4﹣（t﹣6）=10﹣t，EC=8﹣CF=t﹣2，
∴S矩形QDPC=（t﹣2）×（10﹣t），=t2+6t﹣10；
S与t之间的函数关系式为：y=t2+6t﹣10（6≤t≤10）；
（3）存在点Q，理由如下：
如图5，运动一：∵点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，∴AQ=QB，∴AC﹣CQ=，
又∵AC=16cm，BC=12cm，解得，CQ=3.5cm，
∵∠DEF=45°，∴EC=3.5cm，此时，t为：3.5÷1=3.5秒．
如图6，运动二：同理：CQ=3.5，
过点C作CM⊥DF交DF于点M，CM=2，
在Rt△QCM中，QM==，∴DQ=2﹣，
∴t=（2﹣）÷+4=6﹣；
运动三时，CQ最大为2＜3.5，
所以无解．
综上，t=3.5或6﹣时，点Q正好在线段AB的中垂线上．











13.解：（1）△PBM∽△QNM．理由如下：
如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC（已知），∴∠PMB+∠PMN=90°，∠QMN+∠PMN=90°，
∴∠PMB=∠QMN（等量代换）．
∵∠PBM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），∠QNM+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠PBM=∠QNM（等量代换）．∴△PBM∽△QNM；

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，∴BC=2AB=8cm．
又∵MN垂直平分BC，∴BM=CM=4cm．
∵∠C=30°，∴MN=CM=4cm；
①设Q点的运动速度为vcm/s．
如图1，当0＜t＜4时，由（1）知△PBM∽△QNM．
∴（相似三角形的对应边成比例），即=，∴v=1；
如图2，当t≥4时，同理可得v=1．
综上所述，Q点运动速度为1cm/s．
②∵AN=AC﹣NC=12﹣8=4cm，
∴如图1，当0＜t＜4时，AP=AB﹣BP=4﹣t，AQ=AN+NQ=AC﹣NC+NQ=12﹣8+t=4+t，
∴S=AP•AQ=（4﹣t）（4+t）=﹣t2+8；
如图2，当t≥4时，AP=t﹣4，AQ=4+t，∴S=AP•AQ=（t﹣4）（4+t）=t2﹣8；
综上所述，S=；
（3）PQ2=BP2+CQ2．
证明如下：如图1，延长QM至点D，使MD=MQ．连接PD、BD，BQ，CD
∵BC、DQ互相平分，
∴四边形BDCQ为平行四边形，∴BD∥CQ，BD=CQ（平行四边形的对边平行且相等）；
又∵∠BAC=90°，∴∠PBD=90°，∴PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2，
∵PM垂直平分DQ，∴PQ=PD，∴PQ2=BP2+CQ2．












14.解：（1）∵矩形ABCD，∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，
∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC==5，
∵PE∥CD，∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，∴△APE∽△ADC，
又PD=x，AD=4，AP=AD﹣PD=4﹣x，AC=5，PE=y，DC=3，∴==，即==，
∴y=﹣x+3；
（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，故QB与PE不平行，
当QP∥BE时，∠PQE=∠BEQ，∴∠AQP=∠CEB，
∵AD∥BC，∴∠PAQ=∠BCE，∴△PAQ∽△BCE，
由（1）得：AE=﹣x+5，PA=4﹣x，BC=4，AQ=x，
∴==，即==，整理得：5（4﹣x）=16，解得：x=，
∴当x=时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；
（3）存在．分两种情况：当Q在线段AE上时：QE=AE﹣AQ=﹣x+5﹣x=5﹣x，
（i）当QE=PE时，5﹣x=﹣x+3，解得：x=；
（ii）当QP=QE时，∠QPE=∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，∴∠APQ=∠PAQ，∴AQ=QP=QE，∴x=5﹣x，
解得：x=；

（iii）当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F，
可得：FE=QE=（5﹣x）=，
∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD，∴cos∠AEP=cos∠ACD==，
∵cos∠AEP===，解得：x=；
当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图所示：
∴PE=EQ=AQ﹣AE，AQ=x，AE=﹣x+5，PE=﹣x+3，
∴﹣x+3=x﹣（﹣x+5），解得：x=．

　







15.解：（1）如图3，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，∠ABC=∠BAC=60°．
∵O为AC中点，∴∠AOP=30°，∠APO=90°，AO=AC=AB，
∵OB=12，在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA=4，AB=8，
在Rt△AOP中，∵∠AOP=30°，∴AP=2，∴t=2÷=2
∴当t=2时，点M与点O重合；
（2）如图1，∵AP=t，∴PG=3t，AG=2t，∴GO=4﹣2t，
∴MO=4﹣2t，∴MG=8﹣4t，∴PM=8﹣t
∴等边△PMN的边长为 PM=8﹣t；

（3）（Ⅰ）当0≤t≤1时，即PM与线段AF相交，如图1．
作KH⊥PE，∴∠PHK=90°．
∵△PMN是等边三角形，∴∠MPN=∠PMN=60°，∴∠KPE=∠KEP=30°．∴KE=2KH．
∵AP=t，∴PE=4﹣t，∴HE=2﹣t，
在Rt△KHE中，由勾股定理，得KH=2﹣t，KE=4﹣t，∴KF=2+t．
∵AP=t，∴PG=3t，AG=2t，∴GO=4﹣2t，∴MO=4﹣2t，∴ON=4+t，
∴S重叠=，=2t+6；
（Ⅱ）当1＜t≤2时，如图2．
由（Ⅰ）得：GO=4﹣2t，KF=t+2，∴FG=2t﹣2，
∴FH=2t﹣2，∴S重叠=﹣=﹣2t2+6t+4．
（4）∵MN=BN=PN=8﹣t，∴MB=16﹣2t．
①当FM=EM时，如图4，M为OD中点，∴OM=3，由OM+MB=OB得：3+16﹣2t=12，∴t=3.5，

②当FM=FE=6时，如图5，∴OM=，
由OM+MB=12得：+16﹣2 t=12，∴t=．
③当EF=EM=6时，点M可在OD或DB上，如图6，如图7，DM=，
∴DB+DM=MB，或者 DB﹣DM=MB
∴6+=16﹣2 t 或者6﹣=16﹣2 t∴t=，或者t=．
综上所述，当t=3.5，，，时，△MEF是等腰三角形．




16.解：（1）如图2，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，∴四边形AGHD为矩形．
∵梯形ABCD，AB=AD=DC=5，∴△ABG≌△DCH，∴BG=（BC﹣AD）=3，AG=4，
∴当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，
∴GP=AQ=AD﹣DQ=1，BP=BG+GP=4，
∴t=4，即4秒时，正方形PQMN的边MN恰好经过点D；
（2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t，
∵tan∠DBC=，tan∠C=tan∠ABC=，∴GP=t，PQ=t，BN=t+t=t，∴NR=t，
∴S==；
如图3，当3＜t≤4时，BP=t，∴GP=t，PQ=4，BN=t+4，∴NR=t+2，∴S==2t+4；
如图4，当4＜t≤7时，BP=t，
∴GP=t，PQ=4，PH=8﹣t，BN=t+4，HN=t+4﹣8=t﹣4，∴CN=3﹣（t﹣4）=7﹣t，∴NR=，
∴S=+=；
如图5，当7＜t≤8时，BP=t，∴GP=t，PQ=4，PH=8﹣t，∴S=+=﹣t2+22；
∴S=


（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=，
由（1）可知EP=BP=t，则EF=EQ=PQ﹣EP=4﹣，
①如图6，当EF=EP时，4﹣t=t，∴t=4；
②如图7，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，∴ER=EP=EF，∴，∴t=；
③如图8，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，
∵ES=EF=PE，∴（4﹣t）=，∴t=．



17.解：（1）在直角△OAD中，∵tan∠OAD==，∴∠A=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A=60°；
（2）∵点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，），点E为线段AD的中点，
∴点E的坐标是（﹣1，）．
设直线EF的方程为y=kx+b（k≠0），则，解得，，∴直线EF的解析式是：y=x+．
又∵点G的纵坐标是2，∴2=x+．解得，x=2，∴点G的坐标是（2，2）；
（3）①证明：∵E（﹣1，），AE=DE=2，OE=OA=2，
∴△OAE是等边三角形，则∠AOE=∠AEO=60°；
根据轴对称的性质知：∠AOE=∠EOF′，故∠EOF′=∠AEO=60°，即OF′∥AE，∴∠OF′E=∠DEH；
∵∠OF′E=∠OFE=∠DGE，∴∠DGE=∠DEH，
又∵∠GDE=∠EDH，∴△DGE∽△DEH．
②过点E作EM⊥直线CD于点M，∵CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DE•sin60°=2×=，
∵S△EGH=GH•ME=×GH=3，∴GH=6；
∵△DHE∽△DEG，∴=即DE2=DG•DH，
当点H在点G的右侧时，设DG=x，DH=x+6，∴4=x（x+6），
解得：x1=﹣3+，x2=﹣3﹣（舍去），∴点F的坐标为（1﹣，0）；
当点H在点G的左侧时，设DG=x，DH=x﹣6，∴4=x（x﹣6），x2﹣6x﹣4=0
解得：x1=3+，x2=3﹣（舍去），
∵△DEG≌△AEF，∴AF=DG=3+，
∵OF=AO+AF=3++2=5+，∴点F的坐标为（﹣﹣5，0），
综上可知，点F的坐标有两个，分别是F1（1﹣，0），F2（﹣﹣5，0）．





















18.】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=6，∴AB==3，
∵△APE∽△ABC，∴=，即=，∴PE=2t，FC=PE=2t，DF=3﹣2t，
∵点N恰好落在PF上，QN=2QM=4t，∴2t=3﹣4t，解得：t=．
（2）①当＜t≤时，如图所示：
HN=4t﹣（2﹣2t）=6t﹣2，KH=HN=3t﹣1，∴S=（6t﹣2）（3t﹣1）=9t2﹣6t+1；
②≤t＜时，S=5t2﹣2t；③当≤t＜1时，S=﹣31t2+46t﹣16；④当1≤t＜时，S=﹣6t2+6t．
（3）DN2=DQ2+QN2=（2t）2+（4t）2=20t2，
PD2=DF2+PF2=（2﹣2t）2+（3﹣t）2=5t2﹣14t+13，
PN2=HN2+PH2=[4t﹣（2﹣2t）]2+（3﹣t﹣2t）2=45t2﹣42t+13，
①当∠PND=90°时，20t2+45t2﹣42t+13=5t2﹣14t+13，解得：t1=0（舍去），t2=；
②当∠PDN=90°时，20t2+（5t2﹣14t+13）=45t2﹣42t+13，解得：t1=0（舍去），t2=，
③当∠PDN=90°时，（5t2﹣14t+13）+（45t2﹣42t+13）=20t2，解得：t1=1，t2=，
　

























19.（1）证明：如图1，
∵点P、点Q、点W分别是FM、MN、NF的中点，∴PQ=FN，QW=FM，PW=MN．
∴===2．∴△FMN∽△QWP．
（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=∠90°，AD=BC=4cm，DC=AB=6cm．
由题可得：DM=BN=1×t=t（cm）．
则有AM=，AN=6﹣t．∴MN2=AM2+AN2=（4﹣t）2+（6﹣t）2=2t2﹣20t+52=2（t﹣5）2+2．
∵2＞0，∴当t=5时，MN2最小，最小值为2．
∴当t=5时，MN取到最小值，最小值为．
②∵△FMN∽△QWP，∴∠PQW=∠NFM，∠QWP=∠FMN，∠WPQ=∠MNF．
Ⅰ．当∠PQW=90°时，∠NFM=90°．
过点N作NE⊥DC，垂足为E，如图2，
∵∠MDF=∠MFN=∠FEN=90°，∴∠DFM=90°﹣∠EFN=∠ENF．∴△MDF∽△FEN．∴=．
∵DM=t，DF=2，EF=CF﹣CE=6﹣2﹣t=4﹣t，EN=BC=4，∴=．解得：t=．
经检验t=是方程的解，且符合题意．
Ⅱ．当∠PWQ=90°时，∠NMF=90°．
同理可得：△MDF∽△NAM．则有=．
∵DF=2，DM=t，AM=4﹣t，AN=6﹣t，∴=．
整理得：t2﹣6t+12=0．∵（﹣6）2﹣4×1×12=﹣12＜0，∴方程无实数根．
Ⅲ．当∠WPQ=90°时，∠MNF=90°．
（a）当0＜t＜4时，如图2，有∠MNF＜∠ANE=90°；
（b）当t=4时，AN=DF=2，DM=DA=4，如图3，
此时点M与点A重合．
∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB．
∵DF∥AN，DF=AN，∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形．∴∠ANF=90°．∴∠MNF=∠ANF=90°．
（c）当4＜t≤6时，∠MNF＞90°．















20.解：（1）如图1，

由题可得：PA′=PA=5t，CQ=3t，AD=A′D．
∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．
∵∠ADP=∠ACB=90°，∴PD∥BC．∴△ADP∽△ACB．∴==．∴==．
∴AD=4t，PD=3t．∴AA′=2AD=8t．
当点A′与点C重合时，AA′=AC．∴8t=8．∴t=1．
（2）①当点F在线段BQ上（不包括点B）时，如图1，则有CQ≤CF＜CB．
∵四边形A′PBE是平行四边形，∴A′E∥BP．∴△CA′F∽△CAB．∴=．∴=．
∴CF=6﹣6t．∴3t≤6﹣6t＜6．∴0＜t≤．此时QF=CF﹣CQ=6﹣6t﹣3t=6﹣9t．
②当点F在线段CQ上（不包括点Q）时，如图2，则有0≤CF＜CQ．
∵CF=6﹣6t，CQ=3t，∴0≤6﹣6t＜3t．∴＜t≤1．此时QF=CQ﹣CF=3t﹣（6﹣6t）=9t﹣6．
③当点F在线段BC的延长线上时，如图3，

则有AA′＞AC，且AP＜AB．∴8t＞8，且5t＜10．∴1＜t＜2．
同理可得：CF=6t﹣6．此时QF=QC+CF=3t+6t﹣6=9t﹣6．
综上所述：当0＜t≤时，QF=6﹣9t；当＜t＜2时，QF=9t﹣6．
（3）①当0＜t≤时，过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图4，

则有A′M=CQ=3t．∵==，==，∴=，
∵∠PBQ=∠ABC，∴△BPQ∽△BAC．∴∠BQP=∠BCA．∴PQ∥AC．
∵AP∥A′G．∴四边形APGA′是平行四边形．
∴PG=AA′=8t．∴S=S△A′PG=PG•A′M=×8t×3t=12t2．
②当＜t≤1时，过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图5，
则有A′M=QC=3t，PQ=DC=8﹣4t，PG=AA′=8t，QG=PG﹣PQ=12t﹣8，QF=9t﹣6．
∴S=S△A′PG﹣S△GQF=PG•A′M﹣QG•QF=×8t×3t﹣×（12t﹣8）×（9t﹣6）=﹣42t2+72t﹣24．
③当1＜t＜2时，如图6，
∵PQ∥AC，PA=PA′∴∠BPQ=∠PAA′，∠QPA′=∠PA′A，∠PAA′=∠PA′A．∴∠BPQ=∠QPA′．
∵∠PQB=∠PQS=90°，∴∠PBQ=∠PSQ．∴PB=PS．∴BQ=SQ．
∴SQ=6﹣3t．∴S=S△PQS=PQ•QS=×（8﹣4t）×（6﹣3t）=6t2﹣24t+24．
综上所述：当0＜t≤时，S=12t2；当＜t≤1时，S=﹣42t2+72t﹣24；当1＜t＜2时，S=6t2﹣24t+24．