高考二轮热点难点微专题作业 十恒成立和存在性问题

热点难点微专题十　恒成立和存在性问题

一、 填空题

1. 若当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是________．

2. 已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax－1恒成立，则a的取值范围________．

3. 设实数m≥1，不等式x|x－m|≥m－2对∀x∈[1,3]恒成立，则实数m的取值范围是________．

4. 已知函数f(x)＝lnx＋(e－a)x－b，其中e为自然对数的底数．若不等式f(x)≤0恒成立，则的最小值为________．

二、 解答题

5. 已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－ax＋a(a为常数，且为正实数)．

(1) 若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；

(2) 若不等式(x－1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

6. 设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的导函数为f(x)．已知x1，x2是f′(x)的2个不同的零点．

(1) 证明：a2>3b；

(2) 当b＝0时，若对任意x＞0，不等式f(x)≥xlnx恒成立，求a的取值范围．

7.  已知函数f(x)＝x3＋bx2＋2x－1, 若对任意x∈[1,2]，均存在t∈(1,2]，使得et－lnt－4≤f(x)－2x，试求实数b的取值范围．

8. 已知函数f(x)＝ax2＋2lnx.记函数g(x)＝f(x)＋(a－1)lnx＋1，当a≤－2时，若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，总有|g(x1)－g(x2)|≥k|x1－x2|成立，试求k的最大值．

9.  已知函数f(x)＝x－lnx－2.

(1) 求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；

(2) 若函数f(x)在区间(k，k＋1)(k∈N)上有零点，求k的值；

(3) 若不等式>f(x)对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合．

10. 若对任意实数k，b都有函数y＝f(x)＋kx＋b的图象与直线y＝kx＋b相切，则称函数f(x)为“恒切函数”．设函数g(x)＝aex－x－pa，a，p∈R.

(1) 试讨论函数g(x)的单调性；

(2) 已知函数g(x)为“恒切函数”．

① 求实数p的取值范围；

② 当p取最大值时，若函数h(x)＝g(x)ex－m也为“恒切函数”，求证：0≤m<.

(参考数据：e3≈20)