第四章指数函数与对数函数（基础练）-2020-2021学年上学期高一数学期末复习制胜宝典（人教A版2019必修第一册）

第四章指数函数与对数函数（基础练）
-2020-2021学年上学期高一数学期末复习制胜宝典（人教A版2019必修第一册）

1．函数和（其中且）的大致图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数值的部分对应情况如下表所表：
x
1.25
1.3125
1.375
1.4375
1.5
1.5625

-0.8716
-0.5788
-0.2813
0.2101
0.3284
0.64115

则方程的近似解（精确到0.1）可取为（ ）
A．1.4 B．1.39 C．1.32 D．1.3
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．

4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．若a、b为实数,且a+b=2, 则3a+3b的最小值为（ ）
A．18 B．6 C．2 D．2
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是奇函数，且满足，当时，，则函数在，上零点的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，且为整数，则满足条件的实数的个数为（ ）．
A．12 B．13 C．14 D．15
11．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
12．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知函数，，若恰有1个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
15．设函数，，则下列说法中正确的是　　
A．在区间，内均有零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有零点，在内无零点
D．在区间内无零点，在内有零点
16．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
17．函数的值域为______.
18．函数的值域为__________________．
19．李老师每天开车上班，10月李老师共加了两次油，每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2018年10月1日
12
35000
2018年10月30日
48
35600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米均耗油量为_______升.
20．_____．
21．已知集合，，则________．
22．__________.
23．不等式的解集是________.





24．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

－1.6
－1.4
－1.2
－1
－0.8
－0.6
－0.4
－0.2
0
…

0.3299
0.3789
0.4353
0.5
0.5743
0.6598
0.7579
0.8706
1
…

2.56
1.96
1.44
1
0.64
0.36
0.16
0.04
0
…

若方程有一个根位于区间（在表格中第一栏里的数据中取值），则的值为______.
25．已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是______.
26．设，，则________.
27．已知函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值.




28．已知函数，其中且．
判断的奇偶性并予以证明；
若，解关于x的不等式．




29．函数在R上无零点，求实数a的取值范围．


30．数据显示，某公司2018年上半年五个月的收入情况如下表所示：
月份
2
3
4
5
6
月收入（万元）
1.4
2.56
5.31
11
21.3

根据上述数据，在建立该公司2018年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择.
（1）你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；
（2）试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据，）
31．某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6t，每t面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每t每天3元，购买面粉每次需支付运费900元. 求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？




32．（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的单调区间．






33．已知函数（为常数）是奇函数.
（1）求的值与函数的定义域.
（2）若当时，恒成立.求实数的取值范围.




34．某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？





35．南康某服装厂拟在年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产1万件该产品需要再投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该服装厂年的促销费用投入多少万元时，利润最大？





36．已知函数，其中．
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为，求的值．





第四章指数函数与对数函数（基础练）
-2020-2021学年上学期高一数学期末复习制胜宝典（人教A版2019必修第一册）

1．函数和（其中且）的大致图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数和一次函数的单调性及所过的定点，用排除法即可确定选项.
【解答】由于过点 ，故D选项错误；
当时，过且单调递增，过点，且单调递增，又，所以A选项错误；
当时，过且单调递减，过点，且单调递增，又，，所以B选项错误，
综上所述，正确的选项为C.
故选：C
【点评】本题主要考查指数函数，一次函数图像的识别，属于基础题.
2．为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数值的部分对应情况如下表所表：
x
1.25
1.3125
1.375
1.4375
1.5
1.5625

-0.8716
-0.5788
-0.2813
0.2101
0.3284
0.64115


则方程的近似解（精确到0.1）可取为（ ）
A．1.4 B．1.39 C．1.32 D．1.3
【答案】A
【分析】根据零点判断定理，结合所给数表，即可求得答案.
【解答】根据零点判断定理，由图表可知，函数的零点介于到之间，
故方程的近似解也介于到之间，
由于精确到，结合选项可知符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了求函数零点，解题关键是掌握零点判断定理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将已知等式中的对数的底数化成的幂的形式，再利用对数的运算性质建立关于的方程组，求解出的值再代入得解.
【解答】由已知得：
又由对数的运算性质得；
；
，
所以 所以 ，
所以
所以解得 ，
所以
故选C.
【点评】对于求解对数方程，关键是将式子化成底数相同的对数式，利用对数的运算性质求解，此题属于基础题.
4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数的单调性比较大小即可.
【解答】是增函数，
所以，即，
，
，
所以,
故选D
【点评】解决大小关系问题，一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答.
5．若，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由在第一象限内是增函数可得出的大小，由是减函数可得出的大小.
【解答】因为在第一象限内是增函数，所以
因为是减函数，所以，所以
故选：D
【点评】本题考查的是利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，较简单.
6．若a、b为实数,且a+b=2, 则3a+3b的最小值为（ ）
A．18 B．6 C．2 D．2
【答案】B
【分析】根据基本不等式求解即可.
【解答】因为,由基本不等式有,当且仅当时取等号.
故选：B
【点评】本题主要考查了基本不等式求和的最小值问题.属于基础题.
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：，．故C正确．
考点：复合函数求值．

8．已知函数是奇函数，且满足，当时，，则函数在，上零点的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据题目条件，作出函数的图象即可.
【解答】依题意，作出函数的图象，如图所示，

由图象可知，的图象在，内与轴的交点有6个．
所以在，上的零点有6个．
故选B．
【点评】本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
9．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】就、分类讨论可得正确的选项.
【解答】当时，为增函数，当时，且，
故A,B 不符合.
当时，为减函数，当时，，故C不符合，D符合.
故选：D.
【点评】本题考查与指数函数有关的函数图象的识别，注意根据底数合理分类，并结合特殊点处的函数值的符号与大小进行判断，本题属于基础题.
10．若，且为整数，则满足条件的实数的个数为（ ）．
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【分析】令，，判断函数为增函数，由，，从而可求解.
【解答】令，，
则为增函数，且，，故的值域为．
又为整数，则一共能取14个整数值，
故相应的有14个．
故选：C
【点评】本题考查了对数函数的单调性、对数的运算，属于基础题.
11．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题先运用判断是否为奇函数，再求零点判断即可.
【解答】A选项：，函数不是奇函数，故A选项错误；
B选项：，函数是奇函数，但不存在零点，故B选项错误；
C选项：，函数是奇函数，且，故C选项正确；
D选项：，函数不是奇函数，故D选项错误；
故选：C.
【点评】本题考查函数奇偶性的判定，函数是否存在零点，是基础题.
12．函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】令，所以，在同一坐标系下画出两个函数图像，即可得答案.
【解答】令，所以 .
在同一坐标系中画出两个函数的图像，根据图像可得有两个交点，
故原函数有两个零点.
故选：B.

【点评】本题考查函数与方程，考查对数函数、指数函数的图像与性质，解题的关键在于将方程零点问题，转化为求函数图像交点的问题，考查分析理解能力，属基础题.
13．已知函数，，若恰有1个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】恰有1个零点，等价于与的图像恰有一个交点，而直线恒过点，结合图可得答案
【解答】恰有1个零点即与的图像恰有一个交点，恒过点，
由得，所以曲线在点处的切线的斜率为1，
由得，所以曲线在点处的切线的斜率为1，
所以结合图像可知，恰有1个零点当且仅当.
故选：D

【点评】此题考查函数与方程的应用，考查分段函数，考查数形结合的思想，属于基础题.
14．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A．
【解答】，可得f(0)=1,排除选项C,D;
由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，
故选A
【点评】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．
15．设函数，，则下列说法中正确的是　　
A．在区间，内均有零点
B．在区间，内均无零点
C．在区间内有零点，在内无零点
D．在区间内无零点，在内有零点
【答案】D
【分析】首先利用导数研究函数的单调性，再分别计算，，的值，利用零点存在定理可得结论．
【解答】解：由题可知：，则，若，，函数单调递减，若，，函数单调递增，所以函数在，单调递减，
又，，，所以函数在无零点，在有零点
故选：D
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数零点存在性定理的应用，属于基础题.
16．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得剩下的部分所构成的数列为，从而得到表达式.
【解答】由题意可得：剩下的部分所构成的数列为，
∴x天后剩下的部分y与x的函数关系式为
故选D
【点评】本题以古代文化为背景，考查了函数的解析式，属于基础题.


17．函数的值域为______.
【答案】
【分析】令，由于为增函数，结合复合函数单调性，得出在处取得最小值，代入即可得出答案.
【解答】解:因为 ，定义域，
令，则，且在为减函数，为增函数，
而的底数是，即为增函数，
所以在为减函数，为增函数，
得在处取得最小值，
因此，
所以函数的值域为.
故答案为：.
【点评】本题考查复合函数的值域，运用到二次函数和对数函数的单调性以及复合函数单调性“同增异减”的性质.
18．函数的值域为__________________．
【答案】
【解析】试题分析：函数定义域为R，，函数是增函数，所以值域为
考点：函数单调性与值域
19．李老师每天开车上班，10月李老师共加了两次油，每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2018年10月1日
12
35000
2018年10月30日
48
35600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米均耗油量为_______升.
【答案】8
【分析】第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，得出耗油量为48升，而这段时间内行驶的里程数35600-35000=600千米，通过计算即可得出答案
【解答】因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48升，
而这段时间内行驶的里程数35600-35000=600千米，所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为48÷(600÷100)=8升
答案为：8
【点评】本题考查根据题意从表格提取信息的能力，是一道函数应用类题目，从统计图中获取信息是解题关键
20．_____．
【答案】
【分析】根据指数幂运算性质和运算法则计算即可得到结果.
【解答】
本题正确结果：
【点评】本题考查指数幂的运算，属于基础题.
21．已知集合，，则________．
【答案】
【分析】解指数不等式可得出集合，再利用集合的交集运算可得出集合.
【解答】由于指数函数在上为减函数，
由，得，，，
故答案为.
【点评】本题考查集合的交集运算，考查指数不等式的求解，一般要化为同底数的指数幂，结合指数函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
22．__________.
【答案】
【分析】将变形为，去括号后提公因式，然后利用对数的运算性质即可计算出所求代数式的值.
【解答】原式.
故答案为：.
【点评】本题考查对数的计算，在计算时注意对数运算性质以及化简技巧的应用，考查计算能力，属于基础题.
23．不等式的解集是________.
【答案】
【分析】由，结合在单调递减，即可求解集.
【解答】解：由在单调递减，因为，
所以 ，解得，，即解集为.
故答案为:
【点评】本题考查了对数不等式的求解，考查了对数函数的单调性，考查了对数函数的定义域.本题的易错点是忽略了真数需要大于零.
24．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

－1.6
－1.4
－1.2
－1
－0.8
－0.6
－0.4
－0.2
0
…

0.3299
0.3789
0.4353
0.5
0.5743
0.6598
0.7579
0.8706
1
…

2.56
1.96
1.44
1
0.64
0.36
0.16
0.04
0
…

若方程有一个根位于区间（在表格中第一栏里的数据中取值），则的值为______.
【答案】－1或－0.8
【分析】令根据表格中的数据，得到的正负，从而得到根所在的区间，得到的值.
【解答】令，
由表中的数据可得
，，
，，
∴根在区间内，
∴根据题意可得或.
【点评】本题考查二分法求方程根的近似值，函数与方程，属于简单题.
25．已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是______.
【答案】
【分析】分类讨论代入解析式，求出的两个根为，，由且可解得结果.
【解答】当时，即为，解得，
当时，即为，解得，
因为关于的方程有两个不同的实根，所以且，
解得且，
所以.
故答案为：.
【点评】本题考查了分段函数的应用，考查了由方程根的个数求参数的取值范围，属于基础题.
26．设，，则________.
【答案】
【分析】首先变指数式为对数式求得，把运用乘积的对数等于对数的和展开后，再运用换底公式转化成含有和的式子，代入和后可的结果．
【解答】解：由，得：，又因为，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查对数值的求法，以及对数的运算，考查了对数的换底公式，关键是从，求得的值，属于基础题．

27．已知函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值.
【答案】
【分析】由题意可知，函数在单调递增，则，解方程，即可.
【解答】函数
函数在单调递增
即，
又函数在区间上的最大值比最小值大.
，解得或（舍去）
综上所述：
【点评】本题考查指数函数的单调性，属于较易题.
28．已知函数，其中且．
判断的奇偶性并予以证明；
若，解关于x的不等式．
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）．
【分析】先求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义进行证明即可．
根据对数函数的单调性解不等式即可．
【解答】要使函数有意义，
则，即，即，
即函数的定义域为，
则，
则函数是奇函数．
若，则由得，
即，
即，则，
定义域为，
，
即不等式的解集为．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性的定义结合对数函数的单调性是解决本题的关键．
29．函数在R上无零点，求实数a的取值范围．
【答案】（–4，0]
【分析】根据实数a的不同取值进行分类讨论，结合常值函数的性质和二次函数的性质，再利用根的判别式，最后求出实数a的取值范围.
【解答】（1）当a＝0时，f（x）＝–1，符合题意；
（2）若a≠0，则f（x）为二次函数，
∴＝a2+4a