全册综合（终极练）-2020-2021学年上学期高一数学期末复习制胜宝典（人教A版2019必修第一册）

全册综合（终极练）
-2020-2021学年上学期高一数学期末复习制胜宝典（人教A版2019必修第一册）
1．命题：，，则该命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，，，则有（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域为[0,2]，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
7．设全集，，，则如图阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
8．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（ ）

A． B．
C． D．
9．把函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为的奇函数，则和的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．若为第四象限角，则可化简为（ ）
A． B． C． D．
11．用函数表示函数和中的较大者，记为：．若，，则的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
12．若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”.已知函数则的“和谐点对”有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a 17．______．
18．已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则__________．
19．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则______．
20．一批救灾物资随51辆汽车从某市以的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于，那么这批物资全部到达灾区，最少需要______
21．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.
22．如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.



23．已知函数，．
（1）求函数的最大值，并写出相应的的取值集合；
（2）若，，求的值．




24．某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中．
（1）求，并说明的实际意义；
（2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．





25．已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求当时的解析式；
（2）求不等式的解集．




26．已知函数的最小正周期为，且．
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的最大值和最小值．





27．汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的下列数据：
v
0
40
60
80
120
F
0


10
20
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
，，.
（1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式.
（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？





28．已知函数；
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若，求的最大值和最小值.





29．已知函数，.
（1）判定函数在的单调性，并用定义证明；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围.



30．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点．
（1）求的值；
（2）已知，且，求的值．



31．已知函数，且图像上相邻两个最低点的距离为.
（1）求的值以及的单调递减区间；
（2）若且，求的值.



32．已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．












全册综合（终极练）-2020-2021学年上学期高一数学期末复习制胜宝典（人教A版2019必修第一册）

1．命题：，，则该命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定可得出结论.
【解答】由特称命题的否定可知，原命题的否定为：，.
故选：B.
【点评】本题考查特称命题否定的改写，解题的关键就是弄清特称命题的否定与全称命题之间的关系，属于基础题.
2．是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用偶函数的性质和对各选项中的不等式逐项判断，可得出合适的选项.
【解答】由于函数是定义在上的偶函数，且.
对于A选项，与的大小无法判断；
对于B选项，，该不等式成立；
对于C选项，与的大小无法判断；
对于D选项，，与的大小无法判断.
故选：B.
【点评】本题考查利用偶函数的性质判断不等式是否成立，考查推理能力，属于基础题.
3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】逐个分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间上的单调性，即可得出结论.
【解答】对于A选项，函数的最小正周期为，且该函数在区间上单调递减；
对于B选项，函数的最小正周期为，当时，，
则该函数在区间上不单调；
对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，
则该函数在区间上单调递减；
对于D选项，函数的最小正周期为，且该函数在区间上单调递增.
故选：C.
【点评】本题考查三角函数周期和单调性的判断，熟悉正弦、余弦和正切函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.
4．若，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.
【解答】指数函数为增函数，则；
对数函数为增函数，则，即；
对数函数为增函数，则.
因此，.
故选：A.
【点评】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值、的大小关系，考查推理能力，属于基础题.
5．已知函数的定义域为[0,2]，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意结合复合函数的定义域可得，即可得解.
【解答】函数的定义域是[0,2]，
要使函数有意义，需使有意义且 ，
所以，解得.
所以的定义域为.
故选：C.
【点评】本题考查了复合函数定义域的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
6．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【解答】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点评】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
7．设全集，，，则如图阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解出集合、，然后利用图中阴影部分所表示的集合的含义得出结果.
【解答】，.
图中阴影部分所表示的集合为且.
故选：D.
【点评】本题考查韦恩图表示的集合的求解，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是弄清楚阴影部分所表示的集合的含义，考查运算求解能力，属于基础题.
8．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的图象求出、的范围，从而得到函数的单调性及图象特征，从而得出结论．
【解答】由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.
故选：C.
【点评】本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．
9．把函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为的奇函数，则和的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】利用三角函数图象变换求得函数的解析式，由函数的最小正周期为可求得的值，由函数为奇函数结合的取值范围可求得的值.
【解答】将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得到函数，
再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
因为函数是一个最小正周期为的奇函数，则，解得，
且有，可得，
，，.
故选：B.
【点评】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用余弦函数的基本性质求参数值，考查计算能力，属于中等题.
10．若为第四象限角，则可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的平方关系化简即可.
【解答】为第四象限角，则，且，，
因此，.
故选：D.
【点评】本题考查利用同角三角函数的平方关系化简，在去绝对值时，要考查代数式的符号，考查计算能力，属于中等题.
11．用函数表示函数和中的较大者，记为：．若，，则的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】在同一直角坐标系中作出两个函数和的图象，结合函数的定义得出该函数的图象.
【解答】在同一直角坐标系中作出两个函数和的图象，如下图所示：

由图象可知，，
因此，函数的图象为A选项中的图象.
故选：A.
【点评】本题考查函数图象的识别，理解函数的定义是关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12．若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用“1”的代换凑配出定值，然后由基本不等式得最小值．
【解答】由题意，当且仅当，即时等号成立，
故答案为：A．
【点评】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出定值．
13．若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”.已知函数则的“和谐点对”有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在解的个数，即可得出结论.
【解答】设是关于原点对称函数图象上的点，
则点P关于原点的对称点为在上，
，设，
“和谐点对”的个数即为与在交点的个数，
于是，化为，
令，下面证明方程有两解，
由于，所以，解得，
∴只要考虑即可，
，在区间上单调递增，
而，，
∴存在使得，
当单调递减，
单调递增，
而，，，
∴函数在区间，分别各有一个零点，
即的“和谐点对”有2个.
故选：B.
【点评】本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
14．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据解析式及满足的不等式，可知函数是上的增函数，由分段函数单调性的性质，结合指数函数与一次函数单调性的性质，即可得关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围.
【解答】函数满足对任意的实数都有，
所以函数是上的增函数，
则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，
解得，
所以数的取值范围为，
故选：D.
【点评】本题考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，在满足各段函数单调性的情况下，还需满足整个定义域内的单调性，属于中档题.
15．已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围.
【解答】解：

令，解得对称轴，，
又函数在区间恰有个极值点，只需
解得．
故选：．
【点评】本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或 的形式; (2)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.
16．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a 【答案】A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【解答】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点评】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.


17．______．
【答案】
【分析】利用指数的运算性质和对数的换底公式可计算出所求代数式的值.
【解答】原式.
故答案为：.
【点评】本题考查指数与对数的混合运算，涉及指数的运算性质和换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
18．已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则__________．
【答案】.
【分析】根据反函数的性质可知当时，，再根据是奇函数，即可求出的值.
【解答】∵当时，的图象与函数的图象关于直线对称，
∴当时，，
∴当时，，又是奇函数，
∴．
故答案为：.
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性以及反函数的性质，属于基础题.
19．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则______．
【答案】
【分析】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交可得出，再将原点坐标代入该函数的解析式可求出的值，由此可计算出的值.
【解答】由于函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，则，
又函数的图象过原点，则，可得，
因此，.
故答案为：.
【点评】本题考查利用指数型函数的基本性质求参数，考查计算能力，属于基础题.
20．一批救灾物资随51辆汽车从某市以的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于，那么这批物资全部到达灾区，最少需要______
【答案】10
【分析】用速度v表示时间，结合基本不等式，计算最小值，即可．
【解答】当最后一辆车子出发，第一辆车子走了小时，最后一辆车走完全程共需要小时，所以一共需要小时，结合基本不等式，计算最值，可得
，故最小值为10小时
【点评】考查了基本不等式计算函数最值问题，关键利用，计算最小值，即可，难度中等．
21．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】.
【分析】由题意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得关于的不等式，解不等式即可.
【解答】解：


当且仅当，即且时取等号.
恒成立，则解得即
故答案为：
【点评】本题考查基本不等式的应用，以及不等式恒成立的问题，属于中档题.
22．如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.

【答案】
【分析】先利用已知求出的值，再求点D的坐标.
【解答】由图像可知，点在函数的图像上，所以，即.
因为点在函数的图像上，所以，.
因为点在函数的图像上，所以.
又因为，，
所以点的坐标为.
故答案为
【点评】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

23．已知函数，．
（1）求函数的最大值，并写出相应的的取值集合；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）的最大值为，此时的取值集合为；（2）.
【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，可得出函数的最大值，解方程可得出对应的的取值集合；
（2）由得出，利用同角三角函数的基本关系求得的值，然后利用两角和的正弦公式可求得的值.
【解答】（1）因为
，
当，即时，函数取最大值，
所以函数的最大值为，此时的取值集合为；
（2）因为，则，即，
因为，所以，
则，
所以.
【点评】本题考查正弦型函数最值的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.
24．某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中．
（1）求，并说明的实际意义；
（2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．
【答案】（1），发车时间间隔为分钟时，载客量为；（2）当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．
【分析】（1）将代入函数的解析式，可计算出，结合题意说明的实际意义；
（2）求出函数的解析式，分别求出该函数在区间和上的最大值，比较大小后可得出结论.
【解答】（1），实际意义为：发车时间间隔为分钟时，载客量为；
（2），
当时，，
任取，则，
，所以，，，，
所以，函数在区间上单调递增，同理可证该函数在区间上单调递减，所以，当时，取得最大值；
当时，，该函数在区间上单调递减，
则当时，取得最大值．
综上，当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．
【点评】本题考查分段函数模型的应用，考查分段函数最值的计算与实际应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
25．已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求当时的解析式；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设，可得出，求出的表达式，再利用奇函数的性质可得出的表达式；
（2）分、、三种情况解不等式，进而可得出该不等式的解集.
【解答】（1）当时，，
当时，，．
又是上的奇函数，．
，即时，；
（2）当时，不等式可化为，，显然成立；
当时，是奇函数，成立；
当时，不等式可化为，，，得．
综上可知，不等式的解集为．
【点评】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，同时也考查了分段函数不等式的求解，涉及指数函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.
26．已知函数的最小正周期为，且．
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为．
【分析】（1）由函数的最小正周期可求出的值，再由结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式；
（2）由计算出的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可得出函数的最大值和最小值.
【解答】（1）的最小正周期，，则，
由，得，即，又，，
故；
（2），，，
，
在区间上的最大值为，最小值为．
【点评】本题考查利用正弦型三角函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了正弦型函数在区间上最值的求解，解题时要充分利用正弦函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.
27．汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶，当汽车被设定为定速巡航状态时，电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量，使汽车始终保持在所设定的车速行驶，而无需司机操纵油门，从而减轻疲劳，促进安全，节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的下列数据：
v
0
40
60
80
120
F
0


10
20
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
，，.
（1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式.
（2）这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
【答案】（1）选择函数,（2）这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少
【分析】（1）根据表中数据分析可知，所选模型必须满足定义域为，且在上为增函数，故选，在代入数据计算可得.
（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：，根据二次函数的性质求出最值.
【解答】解：（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上为增函数；
函数在是减函数，所以不符合题意；
而函数的，即定义域不可能为，也不符合题意；
所以选择函数.
由已知数据得：
解得：
所以，
（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为y，行驶时间为t，由题意得：




因为，所以，当时，y有最小值30.
所以，这辆车在该测试路段上以80km/h的速度行驶时总耗油量最少，最少为30L.
【点评】本题考查给定函数模型解决问题，利用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，属于中档题.
28．已知函数；
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若，求的最大值和最小值.
【答案】（1）最小正周期为；对称中心为；（2）最小值为；最大值为2.
【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简为，代入正弦型函数的周期公式及对称中心方程即可求解；
（2）由x的范围，求出的范围，根据正弦函数的图像与性质可得，当时，取得最大值，当时，取得最小值，即可得答案.
【解答】解：（1）
∴的最小正周期为
令，则
∴的对称中心为
（2），

∴当，即时，的最小值为；
当，即时，的最大值为2.
【点评】本题考查正弦型函数的周期，对称中心及最值问题，考查辅助角公式的应用，考查计算化简的能力，属基础题.
29．已知函数，.
（1）判定函数在的单调性，并用定义证明；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增,证明见解析.（2）
【分析】（1）先根据求得的值,得函数解析式.进而利用作差法证明函数单调性即可.
（2）构造函数.根据（1）中函数单调性,结合的单调性,可判断的单调性,求得最小值后即可求得的取值范围.
【解答】（1）函数,
代入可得,则
所以
函数在上单调递增.
证明:任取满足,
则




因为,则
所以,即
所以
函数在上单调递增.
（2）若在恒成立
则,
令
由（1）可知在上单调递增,在上单调递增
所以在上单调递增
所以
所以即可满足在恒成立
即的取值范围为
【点评】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法,根据函数单调性解决恒成立问题,属于基础题.
30．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点．
（1）求的值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）利用任意角三角函数的定义求得，再利用诱导公式及同角三角函数基本关系式即可求得要求的式子的值；
（2）利用任意角三角函数的定义求得，再利用同角三角函数基本关系式求得，再利用两角差的余弦公式即可求得的值.
【解答】（1）依题意，
原式
；
（2）因为是第一象限角，且终边过点，
所以，
因为，且，
所以，
所以
．
【点评】本题主要考查的是三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、正余弦的诱导公式以及两角差的余弦公式的应用，熟练掌握这些公式是解决本题的关键，是基础题.
31．已知函数，且图像上相邻两个最低点的距离为.
（1）求的值以及的单调递减区间；
（2）若且，求的值.
【答案】（1），（）（2）
【分析】（1）先利用利用三角恒等变换化简解析式，根据图像上相邻两个最低点的距离求得，进而求得的单调区间.
（2）利用三角恒等变换的知识，化简求得的值.
【解答】（1）


.
由于图像上相邻两个最低点的距离为，
所以.
所以.
由，解得，
所以的单调减区间为（）.
（2）由（1）得.
依题意，，，
而，所以，
所以.
所以
.
【点评】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.
32．已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）
【分析】（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；
（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明；
（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由 在上递增，程在上有两个不等实根，可得的不等式组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.
【解答】（1）因为函数为奇函数，所以，
即对定义域内任意恒成立，所以，即，
显然，又当时，的定义域关于原点对称．
所以为满足题意的值．
（2）结论：在，上均为增函数．
证明：由（1）知，其定义域为，
任取，不妨设，则
，
因为，又，
所以，所以，
即，所以在上为增函数．
同理，在上为增函数．
（3）由（2）知在上为增函数，
又因为函数在上的值域为，
所以，且，所以，
即是方程的两实根，
问题等价于方程在上有两个不等实根，
令，对称轴
则，
即，解得．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.