期末测试卷03（人教A版）（测试范围：必修1、必修4）（解析版）

期末测试卷03（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：必修1、必修4（人教A版）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设集合，，则(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意得，，，则，故选C。2．已知，，且，则向量在方向上的投影为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】设与的夹角为，∵，∴，∴，∴向量在方向上的投影为，故选B。3．已知为第三象限角，且，则的值为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】由已知得，则，由为第三象限角，得，故，，∴，故选D。4．若函数的值域为，则实数的取值范围为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】等价于的值域能取到内的任意实数，若，则，可取，若，则需，，解得，∴的范围为，故选D。5．如图所示，线段是圆的直径，、是圆上的点，，，，则(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】如图过作于，∵是圆的直径，、是圆上的点，，∴为的中点，连结，则，，∴，∴，故选A。6．为得到函数的图像，可将函数的图像向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度(、均为正数)，则的最小值是(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】的图像向左平移个单位长度，即可得到函数的图像，此时，，的图像向右平移个单位长度，即可得到函数的图像，此时，，即，∴当时，取得最小值为，故选A。7．下列图像中，不可能是函数(，且)大致图像的是(  )。A、    B、   C、   D、【答案】B【解析】考虑函数图像过原点的情况，必有，。令，可得，，可知当时，，函数图像单调递增，当时，，函数图像单调递减，且函数定义域为，∴函数图像大致为A；同理，令、可得，图像大致为D；对于图像B，由于图像过原点，必有，，而、，图像为A，、，图像为 D，∴图像B不可能成为函数的图像；对于图像 C，根据图像特征，，，可选择、的，且满足单调性，不唯一，例如，可得，图像大致为C。故选B。8．设函数定义域为，，且对任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同零点，则实数的取值范围是(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由可知函数的周期，令，则函数恒过点，函数在区间上的图像如图所示，当时，，可得，则，∴在区间上恰有四个不同零点时，取值范围是，故选A。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下面说法中正确的是(　)。A、集合中最小的数是B、若，则C、若，，则的最小值是D、的解集组成的集合是。【答案】AC【解析】A选项，是正整数集，最小的正整数是，A对，B选项，当时，，且，B错，C选项，若，则的最小值是，若，则的最小值也是，当和都取最小值时，取最小值，C对，D选项，由的解集是，D错，故选AC。10．设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题是真命题的有(  )。A、B、C、不与垂直D、【答案】BD【解析】A选项，平面向量的数量积不满足结合律，故A假，B选项，由向量的减法运算可知、、恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故B真，C选项，∵，∴与垂直，故C假，D选项，，成立，故D真，故选BD。11．给出函数，则下列说法错误的是(　)。A、函数的定义域为B、函数的值域为C、函数的图像关于原点中心对称D、函数的图像关于直线轴对称【答案】ABD【解析】∵函数，则，解得且，∴，做函数图像如图，∴定义域为，A选项错，∴值域为，B选项错，∴的图像关于原点成中心对称，C选项对，∴的图像不关于轴对称，D选项错，故选ABD。12．已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是(  )。A、B、C、D、【答案】ABC【解析】函数的定义域为，值域为，∴时，，故能取到最小值，最大值只能取到，把、其中的一个按住不动，则：     ①当不动时，设，则，则，又为周期函数，则()，当时，，可取、、，     ②当不动时，设，则，则，又为周期函数，则()，当时，，可取、、，∴综上，一定取不到，故选ABC。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设参加某会议的代表构成集合，其中的全体女代表构成集合，全体男代表构成集合，则      。(填“”或“”或“”)【答案】【解析】表示参加该会议的全体女代表和全体男代表构成的集合即为集合，故。14．若方程在上有两解，则的取值范围是        。【答案】【解析】令，，当时，，令，则，即()，∵与有两个解，即直线和函数图像交于两个点，则画出图像得，则的取值范围是。15．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为       。【答案】【解析】结合函数及在上的图像易知，只需满足条件：，且即可，从而得到。16．在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，且，则        。【答案】【解析】在等腰梯形中，，，，在等腰梯形中，，，，，，解得，∵在线段上，∴，∴。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，。(1)求证：；(2)求；(3)解不等式。【解析】(1)令，，则，∴；                    3分(2)，，故；                                                             6分(3)设、且，于是，∴，                                  8分∴在上为增函数，又∵，   10分∴，解得，∴原不等式的解集为。             12分18．（本小题满分12分）已知函数，且当时的最小值为。(1)求的值；(2)先将函数的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求方程在区间上所有根之和。【解析】(1)，∵，∴，                    2分∴，∴；                                          4分(2)依题意得，由得，                  6分∴()或()，                        8分∴或，解得或，                           11分∴所有根的和为。                                                12分19．（本小题满分12分）已知幂函数()满足。(1)求的值并求出相应的的解析式；(2)对于(1)中得到的函数，试判断是否存在()，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由。【解析】(1)∵，且当时在第一象限一定单调，                 1分∴在第一象限是单调递增函数，故，解得，         2分又∵，∴或，当或时，∴；    4分(2)假设存在()满足题设，由(1)知，，        5分∵，∴两个最值点只能在端点和顶点处取得， 7分而，                            9分∴，，解得，            11分∴存在满足题意。                                                     12分20．（本小题满分12分）已知向量，，其中。(1)若，求的值；(2)函数，若恒成立，求实数的取值范围。【解析】(1)∵，                                       1分∴，即，3分∵，∴，∴或，即或； 5分(2)∵，                                7分∴，                                          8分∵，∴，，                          10分∴，∴，由恒成立得。         12分21．（本小题满分12分）已知定义域为的函数满足。(1)若，求；又若，求；(2)设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式。【解析】(1)∵对，有，∴，又由得，即，                           2分若，则，即；                         4分(2)∵对，有，又∵有且仅有一个实数，使得，∴对，有，令，则，            6分又∵，∴，故或，                             7分若，则，即，但方程有两个不相等的实数根，与题设条件矛盾，故，            9分若，则，即，易验证该函数满足题设条件，  11分综上，所求函数为()。                                   12分22．（本小题满分12分）已知函数。(1)求函数的周期；(2)若函数，试求函数的单调递增区间；(3)若恒成立，试求实数的取值范围。【解析】(1)∵，∴的周期，                                                  2分(2)由(1)，知，     4分由，解得，∴函数的单调递增区间，，                        6分(3)∵，   8分∴当时，，                                  10分∵恒成立，等价于，∴，即，解得，∴实数的取值范围为。                                              12分