期末测试卷03（人教A版）（测试范围：必修1、必修2）（解析版）

期末测试卷03（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：必修1、必修2（人教A版）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设集合，，则(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意得，，，则，故选C。2．若直线过点，且与以、为端点的线段恒相交，则直线的斜率的范围是(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】如图所示，，，则，故选A。3．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵两条直线与的距离为，∴所求圆的半径为，由得，由得，∴直径的两个端点、，因此圆心坐标，圆的方程为，故选B。4．若函数的值域为，则实数的取值范围为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】等价于的值域能取到内的任意实数，若，则，可取，若，则需，，解得，∴的范围为，故选D。5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】还原三棱锥，其中平面平面，为等边三角形，取的中点为，连接、，则有，∴平面，∴，由图中数据知，，，，，设此三棱锥外接球球心为，则它落在高线上，连接，则有，，∴，故球的半径为，故所求几何体的外接球的表面积，故选B。6．已知函数的值域为，则(　)。A、B、C、D、【答案】C【解析】设，函数式变形为，()，由已知得，则，即，其解集为，则和是方程的两个根，应用韦达定理得，，，∴，故选C。7．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点。若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为(　)。A、B、C、D、【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为，当与垂直时，的值最小，此时点到直线的距离为，由勾股定理得，又，解得，圆的圆心为，半径为，∵圆与圆外切，∴，∴，∵圆与直线相切，∴，解得，故选A。8．设函数定义域为，，且对任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同零点，则实数的取值范围是(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由可知函数的周期，令，则函数恒过点，函数在区间上的图像如图所示，当时，，可得，则，∴在区间上恰有四个不同零点时，取值范围是，故选A。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下面说法中正确的是(　)。A、集合中最小的数是B、若，则C、若，，则的最小值是D、的解集组成的集合是。【答案】AC【解析】A选项，是正整数集，最小的正整数是，A对，B选项，当时，，且，B错，C选项，若，则的最小值是，若，则的最小值也是，当和都取最小值时，取最小值，C对，D选项，由的解集是，D错，故选AC。10．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数(  )。A、B、C、D、【答案】BD【解析】∵，∴，解得或，时，符合，当时，符合，故选BD。11．给出函数，则下列说法错误的是(　)。A、函数的定义域为B、函数的值域为C、函数的图像关于原点中心对称D、函数的图像关于直线轴对称【答案】ABD【解析】∵函数，则，解得且，∴，做函数图像如图，∴定义域为，A选项错，∴值域为，B选项错，∴的图像关于原点成中心对称，C选项对，∴的图像不关于轴对称，D选项错，故选ABD。12．如图所示，正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，过直线、的平面分别与棱、交于、，设，，则下列命题中正确的是(  )。A、平面平面B、当且仅当时，四边形的面积最小C、四边形周长是单调函数D、四棱锥的体积为常函数【答案】ABD【解析】A选项，∵，，，∴，∴平面，又∵平面，∴平面平面，A对，B选项，∵四边形为菱形，∴，又，要使四边形的面积最小，只需最小，则当且仅当时，四边形的面积最小，B对，C选项，∵，，∴在上不是单调函数，C错，D选项，，，点到平面的距离为，，又，点到平面的距离为，，∴为常函数，D对，故选ABD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设参加某会议的代表构成集合，其中的全体女代表构成集合，全体男代表构成集合，则      。(填“”或“”或“”)【答案】【解析】表示参加该会议的全体女代表和全体男代表构成的集合即为集合，故。14．已知，方程表示圆，则圆心坐标是      ，半径是      。（本小题每空2.5分）【答案】    【解析】由题意，或，当时方程为，即，圆心为，半径为，当时方程为，不表示圆。15．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现。如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为       。【答案】【解析】设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，∴，∴圆柱的底面半径为，高为，∴最多可以注入的水的体积为。16．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为       。【答案】【解析】结合函数及在上的图像易知，只需满足条件：，且即可，从而得到。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥。(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥的高。   【解析】(1)，                         2分故剩余部分的体积；                    4分(2)由(1)知，设三棱锥的高为，            6分则，                  8分故，解得。                                           10分18．（本小题满分12分）已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，。(1)求证：；(2)求；(3)解不等式。【解析】(1)令，，则，∴；                    3分(2)，，故；                                                             6分(3)设、且，于是，∴，                                  8分∴在上为增函数，又∵，   10分∴，解得，∴原不等式的解集为。             12分19．（本小题满分12分）已知点，点，圆：。(1)求过点的圆的切线方程；(2)求过点的圆的切线方程，并求出切线长。【解析】由题意得圆心，半径，(1)∵，∴点在圆上，又，    2分∴切线的斜率，                                                 4分∴过点的圆的切线方程是，即；5分(2)∵，∴点在圆外部，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，即，                 6分又点到直线的距离，即此时满足题意， ∴直线是圆的切线，                                                    7分当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，        8分则圆心到切线的距离，解得，                  9分∴切线方程为，即，                             10分综上可得，过点的圆的切线方程为或，∵，∴过点的圆的切线长为。 12分20．（本小题满分12分）已知幂函数()满足。(1)求的值并求出相应的的解析式；(2)对于(1)中得到的函数，试判断是否存在()，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由。【解析】(1)∵，且当时在第一象限一定单调，                 1分∴在第一象限是单调递增函数，故，解得，         2分又∵，∴或，当或时，∴；    4分(2)假设存在()满足题设，由(1)知，，        5分∵，∴两个最值点只能在端点和顶点处取得， 7分而，                            9分∴，，解得，            11分∴存在满足题意。                                                     12分21．（本小题满分12分）如图所示，在以、、、、、为顶点的五面体中，平面平面，，，四边形为平行四边形，且。(1)求证：；(2)若，，，求此五面体的体积。       【解析】(1)过作交于，连接，由平面平面，平面平面，得平面，∴，                                          2分∵，，，∴≌，∴，由已知得为等腰直角三角形，∴，                  4分又，，平面，∴平面，；                                             6分(2)取中点，连接、，由(1)可知，，又，∴四边形为平行四边形，棱柱为斜棱柱且为此斜棱柱的直截面，在四棱锥中，由(1)知，，又平面平面，∴平面，∴。                     12分22．（本小题满分12分）已知定义域为的函数满足。(1)若，求；又若，求；(2)设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式。【解析】(1)∵对，有，∴，又由得，即，                           2分若，则，即；                         4分(2)∵对，有，又∵有且仅有一个实数，使得，∴对，有，令，则，            6分又∵，∴，故或，                             7分若，则，即，但方程有两个不相等的实数根，与题设条件矛盾，故，            9分若，则，即，易验证该函数满足题设条件，  11分综上，所求函数为()。                                   12分