必刷卷07 2020-2021学年高二年级数学上学期期末仿真必刷模拟卷（人教A版2019）（解析版）

2020-2021学年高二上学期数学期末仿真必刷模拟卷【人教A版2019】
期末检测卷07
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD＝2，E、F分别是PA、CD的中点，EF与平面ABCD所成的角为θ，点E到CD边的距离为d，则（　　）

A．d＝，tanθ＝ B．d＝，tanθ＝
C．d＝，tanθ＝ D．d＝，tanθ＝

【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，
则E（0，0，1），F（1，2，0），C（2，2，0），D（ 0，2，0），
＝（1，2，﹣1），平面ABCD的法向量＝（0，0，1），
sinθ＝＝，cosθ＝＝，
∴tanθ＝＝．
＝（﹣2，﹣2，1），＝（﹣2，0，0），
点E到CD边的距离为：
d＝||•
＝3•＝．
故选：D．

【知识点】直线与平面所成的角

2.如图，三棱锥D﹣ABC的三条棱DA、DB、DC两两垂直，A1是DA的中点，M，N是AB上的点，AM＝AN＝AB．记二面角D﹣A1M﹣C，D﹣A1N﹣C，D﹣A1B﹣C的平面角分别为α，β，γ，则以下结论正确是（　　）

A．γ＞α＞β B．α＞β＞γ C．α＞γ＞β D．β＞γ＞α

【解答】解：∵三棱锥D﹣ABC的三条棱DA、DB、DC两两垂直，
∴以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DC为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD＝BD＝CD＝2，则AB＝AC＝BC＝4，AM＝1，AN＝2，
D（0，0，0），A1（，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），
N（，0），M（，，0），C（0，0，2），
＝（，0，0），＝（，，0），＝（，，0），
＝（﹣，0，2），＝（0，，0），＝（﹣，2，0），
平面A1DM的法向量＝（0，0，1），
设平面A1MC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝2，得＝（2，﹣2，1），
∴cosα＝＝，
设平面A1NC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝2，得＝（2，0，1），
∴cosβ＝＝，
设平面A1BC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝2，得＝（2，1，1），
∴cosγ＝＝，
∴α＞γ＞β．
故选：C．

【知识点】二面角的平面角及求法

3.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（　　）

A．无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30°
B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1D
C．当点F移动至BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且＝2
D．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60°

【解答】
解：对于选项A，当点F从B运动到C1时，异面直线A1F与CD所成角由大到小再到大，且F为B1C的中点时最小角的正切值为＝＞，最小角大于30°，故A正确；
对于选项B，在正方形中，DB1⊥面A1BC1，又A1F⊂面A1BC1，所以A1F⊥B1D，故B正确；
对于选项C，F为BC1的中点时，也是B1C的中点，它们共面于平面A1B1CD，且必相交，设为E，连A1D和B1C，根据三角形A1DE∽三角形FB1E，可得＝＝2，故选C也正确；
故选：D．

【知识点】异面直线及其所成的角、直线与平面所成的角

4.在直角坐标系内，已知A（3，5）是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若圆上存在点P，使得，其中点M（﹣m，0）、N（m，0），则m的最大值为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4

【解答】解：若，
则•=0，即⊥，则∠MPN=90°，
由题意，∴A（3，5）是⊙C上一点，
折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，
两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，
∴圆上不相同的两点为B（2，4），D（4，4），
∵直线x﹣y+1=0和x+y﹣7=0互相垂直，
∴BA⊥DA
∴BD的中点为圆心C（3，4），半径为1，
∴⊙C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=4．
圆上存在点P，使得∠MPN=90°，
则过P，M，N的圆的方程为x2+y2=m2，（设m＞0），与圆C有交点，
若两圆内切时，m取得最大值，
此时为=m﹣1，
即5=m﹣1，
则m=6，
故选：B．

【知识点】直线与圆的位置关系

5.已知圆（x﹣3）2+y2＝9与直线y＝x+m交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线，且与x轴分别交于C，D两点．若|CD|＝，则m＝（　　）
A．﹣7或1 B．7或﹣1 C．﹣7或﹣1 D．7或1

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y，得
2x2+2（m﹣3）x+m2＝0，
由韦达定理知，，，
所以|CD|＝|x1﹣x2|＝＝＝＝，
即﹣m2﹣6m+9＝2，
所以m2+6m﹣7＝0，
解得m＝1或﹣7．
故选：A．
【知识点】直线与圆的位置关系

6.如图，已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且点A、B分别为△PF1F2，△QF1F2的内心，则|AB|的取值范围是（　　）

A．[4，+∞） B．[5，6） C．[4，6） D．

【解答】解：记边PF1、PF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，
易见A、E横坐标相等，则|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，
由|PF1|﹣|PF2|＝2a，
即|PM|+|MF1|﹣（|PN|+|NF2|）＝2a，得|MF1|﹣|NF2|＝2a，
即|F1E|﹣|F2E|＝2a，记A的横坐标为x0，则E（x0，0），
于是x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，
同样内心B的横坐标也为a，则有AB⊥x轴，
设直线PQ的倾斜角设为θ，则∠OF2B＝，∠AF2O＝90°﹣，
在△AF2B中，|AB|＝（c﹣a）[tan+tan（90°﹣）]＝（c﹣a）•（+）
＝（c﹣a）•＝（c﹣a）•，
双曲线的a＝2，b＝2，c＝＝4，
可得|AB|＝，由于直线PQ为右支上一点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为60°，
可得60°＜θ≤90°，即＜sinθ≤1，
可得|AB|的范围是[4，）．
故选：D．

【知识点】双曲线的性质

7.已知O为坐标原点，A，B分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右顶点，抛物线E：y2＝2px（p＞0）与椭圆C在第一象限交于点P，点P在x轴上的投影为P’，且有•＝c（其中c2＝a2﹣b2），AP的连线与y轴交于点M，BM与PP'的交点N恰为PP'的中点，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：由P在x轴上的投影为P′，且有•＝c，
可得P的横坐标为c，
∴+＝1，
∴y＝±，
∵抛物线E：y2＝2px（p＞0）与椭圆C在第一象限交于点P，
∴P（c，），
∵A（﹣a，0），B（a，0），
∴直线PA的方程为y＝（x+a），
令x＝0，则y＝，
∴M（0，），
∴直线BM的方程为y＝﹣（x﹣a），
∵直线PP′的方程为x＝c，
∴点N（c，），
∵N恰为PP'的中点，
∴2×＝，
整理可得a＝3c，
则e＝＝，
故选：D．
【知识点】椭圆的性质

8.已知函数f（x）＝sin（x﹣3）+x﹣1，数列{an}的公差不为0的等差数列，若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a7）＝14，则a1+a2+a3+…+a7＝（　　）
A．0 B．7 C．14 D．21

【解答】解：∵f（x）＝sin（x﹣3）+x﹣1，∴f（x）﹣2＝sin（x﹣3）+x﹣3，
令g（x）＝f（x）﹣2，则g（x）关于（3，0）对称，
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）＝14，
∴f（a1）﹣2+f（a2）﹣2+…+f（a7）﹣2＝0，
即 g（a1）+g（a2）+…+g（a7）＝0，
∴g（a4）为g（x）与x轴的交点，由g（x）关于（3，0）对称，可得a4＝3，
∴a1+a2+…+a7＝7a4＝21．
故选：D．
【知识点】等差数列的前n项和

9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若对任意的n∈N*，（2Sn+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则实数λ的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．[） C．[） D．[）

【解答】解：由题意可知：a1＝S1＝，
a2＝S2﹣S1＝9，a3＝S3﹣S2＝27，
∴a22＝a1a3，
解得t＝﹣3，
∴Sn＝，
∵对任意的n∈N*，（2Sn+3）λ≥27（n﹣5）
∴λ≥，
令Tn＝，
则Tn+1﹣Tn＝，
当n≥6时，Tn+1﹣Tn＜0，
故当n＝6时，Tn取最大值为，
故λ≥
故选：A．
【知识点】数列与不等式的综合、等比数列的前n项和

10.已知数列{an}满足＝，且a1＝1，则a5＝（　　）
A．﹣ B．125 C．61 D．﹣

【解答】解：数列{an}满足＝，∴an+1+3＝2（an+3），a1+3＝4，
∴数列{an+3}是等比数列，公比为2，首项为4．
则a5＝4×24﹣3＝61．
故选：C．
【知识点】等比数列的性质

11.已知函数，若存在点A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），使得直线AB与两曲线y＝f（x）和y＝g（x）都相切，当实数a取最小值时，x1+x2＝（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：f′（x）＝2x+2a，g′（x）＝．
∴f′（x1）＝2x1+2a，g′（x2）＝．
由题意可得：＝2x1+2a＝．
化为：x2＝．
∴2a＝﹣2x1＝﹣2x1＝g（x1）．
g′（x1）＝﹣2＝（x1﹣）（+x1+）．
可得x1＝时，a取得极小值即最小值：﹣，
∴x1+x2＝2．
故选：A．

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程

12.已知函数f（x）＝（3x﹣2）ex+mx﹣m（m≥﹣1），若有且仅有两个整数使得f（x）≤0，则实数m的取值范围是（　　）
A．（，2] B．[﹣，﹣）
C．[﹣，﹣） D．[﹣1，﹣）

【解答】解：设g（x）＝（3x﹣2）ex，h（x）＝﹣mx+m，
则g′（x）＝ex（3x+1），
∴x∈（﹣∞，﹣），g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x∈（﹣，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴x＝﹣，g（x）取最小值，
直线y＝﹣mx+m过定点（1，0），
而B（﹣1，），C（﹣2，），，，
∴要使有且仅有两个整数使得f（x）≤0，
则＜﹣m≤，即﹣≤m＜﹣，
∴实数m的取值范围是[﹣，﹣），
故选：B．

【知识点】利用导数研究函数的单调性

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.在正三棱锥P﹣ABC中，PA＝2，AB＝1，记二面角P﹣AB﹣C，A﹣PC﹣B的平面角依次为α，β，则3sin2α﹣2cosβ＝　　．

【解答】解：如图所示，
作PO⊥平面ABC，连接CO延长交AB于点D，连接PD．
则D为AB的中点，CD⊥AB，∴AB⊥PD．
∴二面角P﹣AB﹣C的平面角为∠PDO＝α．
∵PD＝＝，CD＝，OD＝CD＝，
∴OP＝＝．
∴sinα＝＝．
作AE⊥PC，垂足为E点，连接BE，
∵△PAC≌△PBC，
∴BE⊥PC．
∴∠AEB为A﹣PC﹣B的平面角β，
∵cos∠PCA＝＝．
∴AE＝AC•sin∠PCA＝1×＝．
在△AEB中，cosβ＝＝．
∴3sin2α﹣2cosβ＝﹣＝2．
故答案为：2．

【知识点】二面角的平面角及求法

14.过曲线y＝2|x﹣a|+x﹣a上的点P向圆O：x2+y2＝1作两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是　　　　　　．

【解答】解：根据题意，若经过点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝60°，
则∠OPA＝30°，则有|PO|＝2|AO|＝2，
则P的轨迹为x2+y2＝4，
y＝2|x﹣a|+x﹣a＝，
当x≤a时，曲线为x+y﹣a＝0，（x≤a），
当x≥a时，曲线为3x﹣y﹣3a＝0，（x≥a），
当a＜0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，
即﹣＜2，解可得a＞﹣，
当a＝0时，曲线为y＝2|x|+x＝，符合题意，
当a＞0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，解可得a＜2，
则a的取值范围为（﹣，2）；
故答案为：（﹣，2）．

【知识点】直线和圆的方程的应用、分段函数的应用

15.如图，设椭圆+＝1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2的内切圆的面积为4，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则|y1﹣y2|值为　　　　　　．


【解答】解：∵椭圆中，a2＝16且b2＝4，
∴a＝4，b＝2，c＝＝2，可得椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），
设△ABF2的内切圆半径为r，
∵△ABF2的内切圆面积为S＝πr2＝4，∴r＝，
根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝16．
∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r＝×16×＝，
又∵△ABF2的面积S＝S△AF1F2+S△BF1F2＝×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|
＝×（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝2|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），
∴2|y2﹣y1|＝，解之得|y2﹣y1|＝．
故答案为：．
【知识点】椭圆的性质

16.设n∈N*，用An表示所有形如++…+的正整数集合，其中0≤r1＜r2＜…＜rn≤n，且ri∈N（i∈N*），bn为集合An中的所有元素之和．则{bn}的通项公式为bn＝　　　　﹣　　．

【解答】解：由题意可知，r1、r2、…、rn是0、1、2、…、n的一个排列，
且集合An中共有n+1个数，若把集合An中每个数表示为++…+的形式，
则20、21、22、…、2n每个数都出现n次，
因此，＝，
故答案为：n•（2n+1﹣1）．
【知识点】等比数列的前n项和

三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求直线C1B与平面ACC1A1所成角的余弦值；
（3）设M为线段C1B上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．


【解答】解：（1）证明：设BC1与B1C的交点为O，
由题意得O为B1C中点，
又点D为线段AC的中点，∴AB1∥DO，
∵DO⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
（2）解：∵CC1⊥平面ACB，BD⊂平面ACB，∴CC1⊥BD，
∵BD⊥AC，AC⊂平面ACC1A1，CC1⊂平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1，点B在平面ACC1A1上的投影为点D，
直线C1B与平面ACC1A1所成角的为∠BC1D，
∵，，，
∴．
∴直线C1B与平面ACC1A1所成角的余弦值为．
（3）解：过点C作CE⊥DC1，
又∵BD⊥平面ACC1A1，CE⊂平面ACC1A1，∴CE⊥BD，
∵BD⊂平面BC1D，C1D平面BC1D，
∴CE⊥平面BC1D，∴CE⊥DM，
∴存在点E，使CE⊥DM．


【知识点】直线与平面垂直、直线与平面平行、直线与平面所成的角

18.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，四边形BDD1B1是矩形．
（1）求证：BD⊥A1C；
（2）若，点E在棱BB1上，且B1B＝4B1E，求二面角E﹣A1C﹣C1的余弦值．


【解答】证明：（1）连结AC，交BD于点O，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O为AC的中点，
∵四边形BDD1B1是矩形，∴BD⊥DD1，
在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥DD1，
∴BD⊥AA1，
∵AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面ACC1A1，
∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C．
解：（2）∵AA1＝A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，
∵BD⊥平面ACC1A1，∴面ABCD⊥面ACC1A1，
∵面ABCD∩面ACC1A1＝AC，∴A1O⊥面ABCD，
∴A1O⊥OA，A1O⊥OB，
∴OA，OB，OA1两两互相垂直，
分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA1＝A1C＝2，BD＝2，AB＝，
∴OB＝1，OA＝2，OA1＝2，
∴A（2，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，2），C（﹣2，0，0），B1（﹣2，1，2），
∴＝（﹣2，0，﹣2），＝（2，0，﹣2），＝（﹣），
设平面A1CE的一个法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，﹣1），
平面A1CC1的一个法向量为＝（0，1，0），
平面A1CC1的一个法向量为＝（0，1，0），
∴cos＜＞＝＝，
∴二面角E﹣A1C﹣C1的余弦值为．

【知识点】二面角的平面角及求法、直线与平面垂直

19.已知圆心为C的圆过点（，3），且与直线y＝2相切于点（0，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点M（﹣3，4），且对于圆C上任一点P，线段MC上存在异于点M的一点N，使得|PM|＝λ|PN|（λ为常数），试判断使△OPN的面积等于4的点P有几个，并说明理由．

【解答】解：（1）依题意可设圆心C坐标为（0，t），则半径为|t﹣2|，
圆C的方程可写成x2+（y﹣t）2＝（t﹣2）2，
因为圆C过点（），
∴，
∴t＝4，
则圆C的方程为x2+（y﹣4）2＝4．
（2）由题知，直线MC的方程为y＝4，设N（b，4）满足题意，
设P（x，y），则|PM|2＝λ2|PN|2，
所以（x+3）2+（y﹣4）2＝λ2（x﹣b）2+λ2（y﹣4）2，
则（6+2bλ2）x﹣（λ2b2+4λ2﹣13）＝0，
因为上式对任意x∈[﹣2，2]恒成立，
所以6+2bλ2＝0，且λ2b2+4λ2﹣13＝0
解得或λ＝1（舍去，与M重合），
所以点N（），则ON＝，kON＝﹣3，直线ON方程为3x+y＝0，
点C到直线ON的距离＝．
若存在点P使△OPN的面积等于4，则s△OPN＝＝4，
∴d＝．
①当点P在直线ON的上方时，点P到直线ON的距离的取值范围为（0，+2]，
∵
∴当点P在直线ON的上方时，使△OPN的面积等于4的点有2个．
②当点P在直线ON的下方时，点P到直线ON的距离的取值范围为（0，]，
∵，
∴当点P在直线ON的下方时，使△OPN的面积等于4的点有0个．
综上可知，使△OPN的面积等于4的点P有2个．
【知识点】直线与圆的位置关系、圆的标准方程

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，3），点B（8，0），C、D分别为线段OA、OB上的动点，且满足AC＝BD．
（1）若|BD|＝3，求点C的坐标；
（2）设点C的坐标为（﹣4m，3m）（0＜m≤1），求△OCD的外接圆的一般方程，并求△OCD的外接圆所过定点的坐标．


【解答】解：（1）当|BD|＝3时，|AC|＝3，|OA|＝，|OC|＝5﹣3＝2，
由直线OA的方程为y＝﹣，设点C的坐标为（﹣4t，3t）（t＞0），
有，解得t＝，故点C的坐标为（，）；
（2）由点C的坐标为（﹣4m，3m）（0＜m≤1），可得|AC|＝，
|OD|＝8﹣（5﹣5m）＝5m+3，可得点D的坐标为（5m+3，0），
设点△OCD的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
代入点O、C、D的坐标可得，解得，
可得△OCD的外接圆的一般方程为x2+y2﹣（5m+3）x﹣（15m+4）y＝0，
可化为（x2+y2﹣3x﹣4y）﹣5m（x+3y）＝0，
令，解得或，
故△OCD的外接圆所过定点的坐标为（0，0）和（）．
【知识点】直线与圆的位置关系

21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为（2，0），离心率为，P是直线x＝4上任一点，过点M（1，0）且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P点的坐标为（4，3），求弦AB的长度；
（3）设直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数λ，使得k1+k3＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．


【解答】解：（1）由题知a＝2，e＝＝，
∴c＝，b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆方程为．
（2）∵M（1，0），P（4，3）
∴kMP＝1，
∵直线AB与直线PM垂直，
∴kAB＝﹣1，
∴直线AB方程y﹣0＝﹣（x﹣1），即y＝﹣x+1，
联立，得5x2﹣8x＝0
∴x＝0或
∴A（0，1），B（），
∴|AB|＝．
（3）假设存在常数λ，使得k1+k2＝λk3．
当直线AB的斜率不存在时，其方程为x＝1，代入椭圆方程得A（1，），B（1，），此时P（4，0），易得k1+k3＝0＝k2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）
代入椭圆方程得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，
∴x1+x2＝，，
直线PM方程为y＝﹣（x﹣1），则P（4，）
k2＝﹣
k1＝，k3＝．
k1+k3＝λk2，
，
即，
化简得：，
将x1+x2＝，，y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），代入并化简得：
∴λ＝2．
综上：λ＝2．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合、椭圆的性质

22.已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，a2＝4b1，Sn＝2an﹣2，nbn+1﹣（n+1）bn＝n2+n（n∈N*）
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明为等差数列；
（Ⅲ）若数列{cn}的通项公式为cn＝，令Tn为{cn}的前n项的和，求T2n．

【解答】（1）解：当n＞1时，
当n＝1时，S1＝2a1﹣2⇒a1＝2，
综上，{an}是公比为2，首项为2的等比数列，
（2）证明：∵a2＝4b1，∴b1＝1，
∵，∴
综上，是公差为1，首项为1的等差数列，
．
（3）解：令pn＝c2n﹣1+c2n＝，

①﹣②，得，
，
∴．
【知识点】等差数列的性质、数列的求和

23.已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x．
（1）当a＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线；
（2）当a＜0时，证明：f（x）≤﹣﹣2．

【解答】解：（1），
当a＝1时，f'（1）＝6，f（1）＝4，
所以切线方程为：y﹣4＝6（x﹣1），
即y＝6x﹣2，
（2）证明：因为，
当a＜0时，时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，
所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
令，
则，解得t＝1，∴h（t）在（0，1）上单调递增，
在（1，+∞）单调递减．∴h（t）max＝h（1）＝0，∴h（t）≤0，
即，∴．
【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程