浙教版八年级（上）期末数学真题试卷5套（含答案）

2019学年浙江省杭州市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．5，5，5 B．5，7，7 C．5，12，13 D．5，7，12
3．（3分）一次函数y＝2x﹣1的图象经过的象限是（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
4．（3分）用不等式表示“a的一半不小于﹣7”，正确的是（　　）
A．12a≥﹣7 B．12a≤﹣7 C．12a＞﹣7 D．12a＜-7
5．（3分）已知△ABC是直角坐标系中任意位置的一个三角形，现将△ABC各顶点的纵坐标乘以﹣1，得到△A1B1C1，则它与△ABC的位置关系是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线x＝﹣1对称 D．关于直线y＝﹣1对称
6．（3分）已知x＞2，则下列变形正确的是（　　）
A．﹣x＜2 B．若y＞2，则x﹣y＞0
C．-12x+2＜1 D．若y＞2，则xy＞1
7．（3分）在国内投寄平信应付邮资如下表，则y关于x的函数图象正确的是（　　）
信件质量x（克）
0＜x≤20
20＜x≤40
40＜x≤60
邮资y/（元/封）
1.20
2.40
3.60
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如图，已知直线y1＝k1x+m和直线y2＝k2x+n交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式（k1﹣k2）x＞﹣m+n的解是（　　）

A．x＞2 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1
9．（3分）给出下列命题：①两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；③斜边和斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等，其中属于真命题的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
10．（3分）如图，射线AB∥射线CD，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，AC＝4，点P是射线AB上的一动点，连结PE并延长交射线CD于点Q．给出下列结论：①△ACE是直角三角形；②S四边形APQC＝2S△ACE；③设AP＝x，CQ＝y，则y关于x的函数表达式是y＝﹣x+4（0≤x≤4），其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）已知正比例函数y＝﹣2x，则当x＝﹣1时，y＝　 　．
12．（4分）已知等腰三角形的一个内角是100°，则其余两个角的度数分别是　 　度，　 　度．
13．（4分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置，如果BC＝2，那么线段BE的长度为　 　．

14．（4分）已知点A是直线x＝2上的点，且到x轴的距离等于3，则点A的坐标为　 　．
15．（4分）已知2x+y＝3，且x≥y．
（1）x的取值范围是　 　；
（2）若设m＝3x+4y，则m的最大值是　 　．
16．（4分）在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连结AD，AE，则∠DAE的度数为　 　．（用含α的代数式表示）
三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明或推演步骤．
17．（6分）解不等式组5x-2＞3(x+1)12x-1≤7-32x，并求其整数解．
18．（8分）如图，已知线段a，b和∠1，用直尺和圆规作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠1．（不写作法，保留作图痕迹）

19．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．

20．（10分）如图，把△ABC平移，使点A平移到点O．
（1）作出平移后的△OB'C'；
（2）写出△OB'C'的顶点坐标，并描述这个平移过程．

21．（10分）已知△ABC中，BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2mn，AB＝m+n．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式．
22．（12分）已知y是关于x的一次函数，且点（0，﹣8），（1，2）在此函数图象上．
（1）求这个一次函数表达式；
（2）若点（﹣2，y1），（2，y2）在此函数图象上，试比较y1，y2的大小；
（3）求当﹣3＜y＜3时x的取值范围．
23．（12分）如图①，已知∠MON＝Rt∠，点A，P分别是射线OM，ON上两定点，且OA＝2，OP＝6，动点B从点O向点P运动，以AB为斜边向右侧作等腰直角△ABC，设线段OB的长x，点C到射线ON的距离为y．
（1）若OB＝2，直接写出点C到射线ON的距离；
（2）求y关于x的函数表达式，并在图②中画出函数图象；
（3）当动点B从点O运动到点P，求点C运动经过的路径长．


2019学年浙江省杭州市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．5，5，5 B．5，7，7 C．5，12，13 D．5，7，12
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．
【解答】解：A、5+5＞5，能构成三角形；
B、5+7＞7，能构成三角形；
C、5+12＞13，能构成三角形；
D、7+5＝12，不能构成三角形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
3．（3分）一次函数y＝2x﹣1的图象经过的象限是（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【分析】根据k＝2＞0、b＝﹣1＜0即可得出一次函数y＝2x﹣1的图象经过第一、三、四象限．
【解答】解：在一次函数y＝2x﹣1中，k＝2＞0，b＝﹣1＜0，
∴一次函数y＝2x﹣1的图象经过第一、三、四象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握“k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
4．（3分）用不等式表示“a的一半不小于﹣7”，正确的是（　　）
A．12a≥﹣7 B．12a≤﹣7 C．12a＞﹣7 D．12a＜-7
【分析】抓住题干中的“不小于﹣7”，是指“大于”或“等于﹣7”，由此即可解决问题．
【解答】解：根据题干“a的一半”可以列式为：12a；
“不小于﹣7”是指“大于等于﹣7”；
那么用不等号连接起来是：12a≥﹣7．
故选：A．
【点评】此题考查了由实际问题抽象一元一次不等式的知识，属于基础题，理解“不小于”的含义是解答本题的关键．
5．（3分）已知△ABC是直角坐标系中任意位置的一个三角形，现将△ABC各顶点的纵坐标乘以﹣1，得到△A1B1C1，则它与△ABC的位置关系是（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线x＝﹣1对称 D．关于直线y＝﹣1对称
【分析】纵坐标乘以﹣1变为原来的相反数再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：∵△ABC各顶点的纵坐标乘以﹣1，得到△A1B1C1，
∴△ABC与△A1B1C1的各顶点横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴△A1B1C1与△ABC的位置关系是关于x轴对称．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
6．（3分）已知x＞2，则下列变形正确的是（　　）
A．﹣x＜2 B．若y＞2，则x﹣y＞0
C．-12x+2＜1 D．若y＞2，则xy＞1
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、两边乘以不同的数，故A不符合题意；
B、x，y无法比较，故B不符合题意；
C、两边都除以﹣2，不等号的方向改变，故C符合题意；
D、x，y无法比较，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
7．（3分）在国内投寄平信应付邮资如下表，则y关于x的函数图象正确的是（　　）
信件质量x（克）
0＜x≤20
20＜x≤40
40＜x≤60
邮资y/（元/封）
1.20
2.40
3.60
A．
B．
C．
D．
【分析】观察表格发现函数的解析式，然后确定正确的选项即可．
【解答】解：由表格发现：当0＜x≤20时，y＝1.20，
当20＜x≤40，y＝2.40，
当40＜x≤60，y＝3.60，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解该函数为分段函数，且为常函数，难度不大．
8．（3分）如图，已知直线y1＝k1x+m和直线y2＝k2x+n交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式（k1﹣k2）x＞﹣m+n的解是（　　）

A．x＞2 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1
【分析】根据图形，找出直线l1在直线l2上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图形可知，当x＞﹣1时，k1x+m＞k2x+n，即（k1﹣k2）x＞﹣m+n，
所以，关于x的不等式（k1﹣k2）x＞﹣m+n的解集是x＞﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键．
9．（3分）给出下列命题：①两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；③斜边和斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等，其中属于真命题的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【解答】解：①两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题；
②底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等是真命题；
③斜边和斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等是真命题，
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
10．（3分）如图，射线AB∥射线CD，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，AC＝4，点P是射线AB上的一动点，连结PE并延长交射线CD于点Q．给出下列结论：①△ACE是直角三角形；②S四边形APQC＝2S△ACE；③设AP＝x，CQ＝y，则y关于x的函数表达式是y＝﹣x+4（0≤x≤4），其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】①正确．由AB∥CD，推出∠BAC+∠DCA＝180°，由∠ACE=12∠DCA，∠CAE=12∠BAC，即可推出∠ACE+∠CAE=12（∠DCA+∠BAC）＝90°，延长即可解决问题．
②正确．首先证明AC＝AK，再证明△QCE≌△PKE，即可解决问题．
③正确．只要证明AP+CQ＝AC即可解决问题．
【解答】解：如图延长CE交AB于K．
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA＝180°，
∵∠ACE=12∠DCA，∠CAE=12∠BAC，
∴∠ACE+∠CAE=12（∠DCA+∠BAC）＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥CK，△AEC是直角三角形，故①正确，
∵∠QCK＝∠AKC＝∠ACK，
∴AC＝AK，
∵AE⊥CK，
∴CE＝EK，
在△QCE和△PKE中，
∠QCE=∠PKEEC=EK∠CEQ=∠PEK，
∴△QCE≌△PKE，
∴CQ＝PK，S△QCE＝S△PEK，
∴S四边形APQC＝S△ACK＝2S△ACE，故②正确，
∵AP＝x，CQ＝y，AC＝4，
∴AP+CQ＝AP+PK＝AK＝AC，
∴x+y＝4，
∴y＝﹣x+4（0≤x≤4），故③正确，
故选：A．

【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）已知正比例函数y＝﹣2x，则当x＝﹣1时，y＝　2　．
【分析】将x＝﹣1代入正比例函数中即可求出答案．
【解答】解：x＝﹣1时，
y＝﹣2×（﹣1）＝2
故答案为：2
【点评】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是将x＝﹣1代入正比例函数中，本题属于基础题型．
12．（4分）已知等腰三角形的一个内角是100°，则其余两个角的度数分别是　40　度，　40　度．
【分析】已知给出了一个内角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解答】解：已知等腰三角形的一个内角是100°，
根据等腰三角形的性质，则其余两个角相等，
当100°的角为顶角时，三角形的内角和是180°，所以其余两个角的度数是（180﹣100）×12=40；
当100°的角为底角时，此时不能满足三角形内角和定理，这种情况不成了．
故填40．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和为180度．分类讨论是正确解答本题的关键．
13．（4分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置，如果BC＝2，那么线段BE的长度为　2　．

【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．
【解答】解：根据折叠的性质知，CD＝ED，∠CDA＝∠ADE＝45°，
∴∠CDE＝∠BDE＝90°，
∵BD＝CD，BC＝2，
∴BD＝ED＝1，
即△EDB是等腰直角三角形，
∴BE=2BD=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解．
14．（4分）已知点A是直线x＝2上的点，且到x轴的距离等于3，则点A的坐标为　（2，3）或（2，﹣3）　．
【分析】根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同求出点A的横坐标，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值求出纵坐标，然后写出点A的坐标即可．
【解答】解：∵点A是直线x＝2上的点，且到x轴的距离等于3，
∴点A的横坐标为2，纵坐标为±3，
∴点A的坐标为（2，3）或（2，﹣3）．
故答案为：（2，3）或（2，﹣3）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
15．（4分）已知2x+y＝3，且x≥y．
（1）x的取值范围是　x≥1　；
（2）若设m＝3x+4y，则m的最大值是　7　．
【分析】（1）由2x+y＝3知y＝﹣2x+3，依据x≥y得x≥﹣2x+3，解之可得；
（2）将y＝﹣2x+3代入m＝3x+4y得m＝﹣5x+12，结合x≥1可得答案．
【解答】解：（1）∵2x+y＝3，
∴y＝﹣2x+3，
∵x≥y，
∴x≥﹣2x+3，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1；

（2）∵y＝﹣2x+3，
∴m＝3x+4y
＝3x+4（﹣2x+3）
＝3x﹣8x+12
＝﹣5x+12，
∵x≥1，
∴﹣5x≤﹣5，
则﹣5x+12≤7，
即m的最大值为7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
16．（4分）在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连结AD，AE，则∠DAE的度数为　2α﹣180°或180°﹣2α　．（用含α的代数式表示）
【分析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，再根据角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：分两种情况：
①如图所示，当∠BAC≥90°时，

∵DM垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD，
同理可得，∠C＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°；
②如图所示，当∠BAC＜90°时，

∵DM垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠BAD，
同理可得，∠C＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝180°﹣α，
∴∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α．
故答案为：2α﹣180°或180°﹣2α．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明或推演步骤．
17．（6分）解不等式组5x-2＞3(x+1)12x-1≤7-32x，并求其整数解．
【分析】首先解不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可．
【解答】解：不等式组可化成5x-2＞3(x+1)，①12x-1≤7-32x，②，
解不等式①得x＞2.5
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集2.5＜x≤4，
整数解为4，3．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
18．（8分）如图，已知线段a，b和∠1，用直尺和圆规作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠1．（不写作法，保留作图痕迹）

【分析】可先用基本作图法作出∠A＝∠1，然后在∠A的两边上分别截取线段AB，AC使得AB＝a，AC＝b，最后连接BC，得出三角形即可．
【解答】解：如图所示，△ABC即为所求．

【点评】本题考查的是运用基本作图知识来作复杂图的能力，本题中作图的理论依据是全等三角形判定中的边角边（SAS）．
19．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．

【分析】（1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形，
（2）先求出∠ABC＝∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形．
【解答】解：（1）①②；①③．
（2）选①③证明如下，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠EBO＝∠DCO，
又∵∠ABC＝∠EBO+∠OBC，∠ACB＝∠DCO+∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求∠ABC＝∠ACB．
20．（10分）如图，把△ABC平移，使点A平移到点O．
（1）作出平移后的△OB'C'；
（2）写出△OB'C'的顶点坐标，并描述这个平移过程．

【分析】（1）根据平移的性质画出平移后的△OB'C'即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标，再由平移的方向和距离即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，△OB′C′即为所求；

（2）由图可知，O（0，0），B′（﹣3，﹣2），C′（﹣1，﹣5）．
将△ABC先向下平移5个单位，再向左平移3个单位即可得到△OB′C′．

【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
21．（10分）已知△ABC中，BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2mn，AB＝m+n．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可；
（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2mn，AB＝m+n，
∴AC2+CB2＝（m﹣n）2+4mn＝m2+n2﹣2mn+4mn＝m2+n2+2mn＝（m+n）2＝AB2．
∴∠C＝90°．
∴△ABC是为直角三角形；
（2）∵∠A＝30°，
∴BCAB=m-nm+n=12，
∴m＝3n．
【点评】题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
22．（12分）已知y是关于x的一次函数，且点（0，﹣8），（1，2）在此函数图象上．
（1）求这个一次函数表达式；
（2）若点（﹣2，y1），（2，y2）在此函数图象上，试比较y1，y2的大小；
（3）求当﹣3＜y＜3时x的取值范围．
【分析】（1）由点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）由一次项系数k＝10＞0即可得出一次函数y＝10x﹣8为单调递增函数，结合﹣2＜2即可得出y1＜y2；
（3）将y＝10x﹣8代入﹣3＜y＜3中即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设该一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（0，﹣8）、（1，2）代入y＝kx+b，
b=-8k+b=2，解得：k=10b=-8，
∴该一次函数表达式为y＝10x﹣8．
（2）∵在一次函数y＝10x﹣8中k＝10＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵﹣2＜2，
∴y1＜y2．
（3）当﹣3＜y＜3时，有﹣3＜10x﹣8＜3，
解得：0.5＜x＜1.1．
∴当﹣3＜y＜3时x的取值范围为0.5＜x＜1.1．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）根据k＝10＞0找出该一次函数为单调递增函数；（3）根据y的取值范围找出关于x的一元一次不等式．
23．（12分）如图①，已知∠MON＝Rt∠，点A，P分别是射线OM，ON上两定点，且OA＝2，OP＝6，动点B从点O向点P运动，以AB为斜边向右侧作等腰直角△ABC，设线段OB的长x，点C到射线ON的距离为y．
（1）若OB＝2，直接写出点C到射线ON的距离；
（2）求y关于x的函数表达式，并在图②中画出函数图象；
（3）当动点B从点O运动到点P，求点C运动经过的路径长．

【分析】（1）OB＝2时，四边形OACB是正方形，由此即可解决问题．
（2）如图③中，作CE⊥OA于E，CF⊥ON于F．由△CEA≌△CFB，推出AE＝CF，CE＝CF，由∠CEO＝∠CFO＝∠EOF＝90°，推出四边形OECF是矩形，由CE＝CF，
推出四边形OECF是正方形，根据AE＝y﹣2，FB＝x﹣y，可得y﹣2＝x﹣y，即y=12x+1（0≤x≤6），画出图象即可．
（3）如图③中，由CE＝CF，推出OC平分∠MON，推出点C的运动轨迹是线段CC，因为x＝6，y＝4，可得C′C＝32．
【解答】解：（1）如图①中，

∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，△ACB是等腰直角三角形，
∴四边形OACB是正方形，
∴点C到ON的距离为2．

（2）如图③中，作CE⊥OA于E，CF⊥ON于F．

∵∠ACB＝∠ECF＝90°，CA＝CB，∠CEA＝∠CFB＝90°，
∴△CEA≌△CFB，
∴AE＝CF，CE＝CF，
∵∠CEO＝∠CFO＝∠EOF＝90°，
∴四边形OECF是矩形，∵CE＝CF，
∴四边形OECF是正方形，
∴CF＝CE＝OE＝OF＝y，
∵AE＝y﹣2，FB＝x﹣y，
∴y﹣2＝x﹣y，
∴y=12x+1，可得函数图象如图②所示，


（3）如图④中，

∵CE＝CF，
∴OC平分∠MON，
∴点C的运动轨迹是线段C′C，
∵x＝6，y＝4，
∴OC＝42，OC′=2，CC′＝32
∴点C运动经过的路径长为32．
【点评】本题考查动点问题函数图象、一次函数的应用，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布2019学年浙江省杭州市江干区八年级（上）期末数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）点（﹣3，﹣4）先向上平移5个单位，再向右平移4个单位后的坐标为（　　）
A．（2，0） B．（﹣7，1） C．（1，﹣9） D．（1，1）
2．（3分）下列语句不是命题的是（　　）
A．两点之间线段最短
B．作一条直线和已知直线垂直
C．2不是无理数
D．定理都是真命题
3．（3分）若a＞b，则下列式子一定成立的是（　　）
A．3a＞﹣3b B．am2＞bm2
C．13a﹣1＞13b﹣1 D．a﹣2＜﹣2+b
4．（3分）若线段AP，AQ分别是△ABC边上的高线和中线，则（　　）
A．AP＞AQ B．AP≥AQ C．AP＜AQ D．AP≤AQ
5．（3分）一个等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为（　　）
A．72°或45° B．45°或36° C．36°或45° D．72°或90°
6．（3分）若ax﹣5≥0的解是x≤﹣2.5，则a的值为（　　）
A．a=12 B．a=-12 C．a＝2 D．a＝﹣2
7．（3分）一次函数y＝x+1与一次函数y＝﹣3x+m的图象的交点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）如图，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，AB交OP于点Q，且PA＝PB，则下列结论：①OP平分∠AOB；②AB是OP的中垂线；③OP平分∠APB；④OP是AB的中垂线；⑤OQ＝PQ；其中全部正确的序号是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④⑤
9．（3分）等腰三角形的周长12，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式对应的图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，等腰三角形ABC纸片的底和腰分别为m和n（m＜n），如图，作高线BD和AE，则下列错误的结论是（　　）

A．AE=4n2-m22 B．CD=m22n
C．BD=4n2-m22n D．AD=2n2-m22n
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题　 　．该逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
12．（4分）不等式1-x2＜2的负整数解是　 　．
13．（4分）一根长为1的绳子恰好围成一个三角形，则这个三角形的最长边x的取值范围是　 　．
14．（4分）在△ABC，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是BC的中点，D关于△ABC的斜边的对称点D′，CD′=5，则AB的长为　 　．
15．（4分）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（﹣1，3），C（0，5），若△CAB与△DBA全等，则点D的坐标为　 　．
16．（4分）对于一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0），有以下结论：
①若b＝3﹣2a时，一次函数图象过定点（2，3）；
②若b＝3﹣2a，且一次函数y＝ax+b图象过点（1，a），则a=32；
③当a＝b+1，且函数图象过一、三、四象限时，则0＜a≤1；
④若b＝2﹣a，一次函数y＝ax+b的图象可由y＝ax+2向左平移1个单位得到；
请选择正确的序号：　 　．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，BE，CD相交于点P，PB＝PC．求证：AD＝AE．

18．（8分）如图，有6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1），按要求作图并计算：
（1）在网络中画出平面直角坐标系，使点A（2，3），B（3，2），并写出点C的坐标；
（2）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．

19．（8分）解不等式（组），并把第（1）小题的解集表示在数轴上．

（1）5x﹣2≥2+3x；
（2）4x+6≥3x+73x+144-2x＞-9
20．（10分）设一次函数y＝mx+n（m，n是常数，m≠0）．
（1）若它的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1），求该一次函数的表达式；
（2）若n＝1﹣2m，且一次函数图象不过第二象限，求m的取值范围．
21．（10分）已知：如图，BD⊥AC，垂足为E，△ABE的中线EF的延长线交CD于点G，∠B＝∠C．
（1）求证：EG是△CDE的高线（即EG⊥CD）．
（2）若EG是△CDE的中线，探索△ABE的形状（请写出完整过程）

22．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，连接AD、AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD＝CD′．

（1）求证：△ABD≌△ACD′；
（2）如图2，若∠BAC＝120°，探索BD，DE，CE之间满足怎样的数量关系时，△CD′E是正三角形；
（3）如图3，若∠BAC＝90°，求证：DE2＝BD2+EC2．
23．（12分）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路匀速从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑自行车，设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图所示．请观察分析图象解决以下问题：
（1）乙比甲先出发　 　小时，甲骑摩托车的速度是　 　km/h，第一次相遇的时间在乙出发　 　小时．
（2）求出线段BC所在直线的函数表达式；
（3）当30≤y≤50时，求t的取值范围；
（4）若甲到达B地后立即原路返回，返回途中甲乙何时相距10km？


2019学年浙江省杭州市江干区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）点（﹣3，﹣4）先向上平移5个单位，再向右平移4个单位后的坐标为（　　）
A．（2，0） B．（﹣7，1） C．（1，﹣9） D．（1，1）
【分析】让点（﹣3，﹣4）的横坐标加4，纵坐标加5即可得到平移后点的坐标．
【解答】解：点（﹣3，﹣4）先向上平移5个单位，再向右平移4个单位后的坐标为（﹣3+4，﹣4+5），即（1，1）．
故选：D．
【点评】本题考查图形的平移变换，用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
2．（3分）下列语句不是命题的是（　　）
A．两点之间线段最短
B．作一条直线和已知直线垂直
C．2不是无理数
D．定理都是真命题
【分析】根据命题的定义对各选项进行判断．
【解答】解：两点之间线段最短、2不是无理数，定理都是真命题都是命题，而作一条直线和已知直线垂直为描叙性语言，不是命题．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3．（3分）若a＞b，则下列式子一定成立的是（　　）
A．3a＞﹣3b B．am2＞bm2
C．13a﹣1＞13b﹣1 D．a﹣2＜﹣2+b
【分析】根据不等式的性质来解即可．
【解答】解：由不等式的性质可作出判断：
A：两边同时乘以的不是同一个数，无法作出判断，故A错误；
B：当m＝0时，两边都得0，故B错误；
C：在a＞b两边同时乘以13，不等号方向不变，再同时减1不等号仍然不变，故C 一定成立，故C正确；
D：不等式两边都加﹣2，不等号方向不变，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟记不等式性质的内容，并会运用是本题解答的关键．
4．（3分）若线段AP，AQ分别是△ABC边上的高线和中线，则（　　）
A．AP＞AQ B．AP≥AQ C．AP＜AQ D．AP≤AQ
【分析】根据垂线段最短即可判断．
【解答】解：如图，

∵PA⊥BC，
∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的高，中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（3分）一个等腰三角形一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为（　　）
A．72°或45° B．45°或36° C．36°或45° D．72°或90°
【分析】分两种情况：①设三角形底角为x，顶角为2x，②设三角形底角为2x，顶角为x，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：①设三角形底角为x，顶角为2x，
则x+x+2x＝180°，
解得：x＝45°，
②设三角形底角为2x，顶角为x，
则2x+2x+x＝180°，
解得：x＝36°，
∴2x＝72°，
综上所述，这个三角形底角为72°或45°，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，分类讨论思想的运用是解题的关键．
6．（3分）若ax﹣5≥0的解是x≤﹣2.5，则a的值为（　　）
A．a=12 B．a=-12 C．a＝2 D．a＝﹣2
【分析】根据解集为x≤﹣2.5，列出关于a的方程，解方程求出a的值．
【解答】解：∵ax﹣5≥0，
∴ax≥5，
∵ax﹣5≥0的解是x≤﹣2.5，
∴a＜0，5a=-2.5，
∴a＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
7．（3分）一次函数y＝x+1与一次函数y＝﹣3x+m的图象的交点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+1的图象不经过第四象限，于是可判断两直线的交点不可能在第四象限．
【解答】解：因为次函数y＝x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
8．（3分）如图，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，AB交OP于点Q，且PA＝PB，则下列结论：①OP平分∠AOB；②AB是OP的中垂线；③OP平分∠APB；④OP是AB的中垂线；⑤OQ＝PQ；其中全部正确的序号是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④⑤
【分析】根据全等三角形的判定和性质一一判断即可．
【解答】解：∵PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵PA＝PB，OP＝OP，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴OA＝OB，∠POA＝∠POB，∠APO＝λBPO
∴OP平分∠AOB，OP平分∠APB，故①③正确，
∵PA＝PB，OA＝OB，
∴OP垂直平分线段AB，故④正确，②错误，⑤错误，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
9．（3分）等腰三角形的周长12，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式对应的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用周长的定义得到y+2x＝12，变形为y＝﹣2x+12，然后利用三角形三边的关系得到y＞0且2x＞y，解不等式组可得3＜x＜6，于是得到底边长y关于腰长x的函数关系为y＝﹣2x+12（3＜x＜6），所以其图象为线段（除端点），并且y随x的增大而减小．
【解答】解：根据题意得y+2x＝12，
y＝﹣2x+12，
∵y＞0且2x＞y，
∴﹣2x+12＞0且2x＞﹣2x+12，
∴3＜x＜6，
∴底边长y关于腰长x的函数关系为y＝﹣2x+12（3＜x＜6）．
∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一次函数的应用：根据实际问题列出一次函数关系，然后利用一次函数的性质解决问题．也考查了一次函数的图象．
10．（3分）如图，等腰三角形ABC纸片的底和腰分别为m和n（m＜n），如图，作高线BD和AE，则下列错误的结论是（　　）

A．AE=4n2-m22 B．CD=m22n
C．BD=4n2-m22n D．AD=2n2-m22n
【分析】A、根据等腰三角形的性质得到CE=12m，根据勾股定理可求AE的长；
C、根据三角形面积公式可求BD的长；
B、根据勾股定理可求CD的长；
D、根据线段的和差关系可求AD的长．
【解答】解：A、CE=12m，AE=n2-(12m)2=4n2-m22，正确，不符合题意；
C、BD＝m×4n2-m22÷2×2÷n=m4n2-m22n，原来的计算错误，符合题意；
B、CD=m2-(m4n2-m22n)2=m22n，正确，不符合题意；
D、AD＝n-m22n=2n2-m22n，正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积，关键是熟练掌握并且灵活运用这些关系．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题　如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等　．该逆命题是　假　命题（填“真”或“假”）．
【分析】交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．
【解答】解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，
故答案为：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等；假
【点评】本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．
12．（4分）不等式1-x2＜2的负整数解是　﹣1，﹣2　．
【分析】首先求出不等式的解集，然后求得不等式的负整数解．
【解答】解：解不等式1-x2＜2得，x＞﹣3，
∴不等式1-x2＜2的负整数解是﹣1，﹣2，
故答案为：﹣1，﹣2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
13．（4分）一根长为1的绳子恰好围成一个三角形，则这个三角形的最长边x的取值范围是　13≤x＜12　．
【分析】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论．
【解答】解：设三角形的其他两边为：y，z，
∵x+y+z＝l，y+z＞x
∴可得x＜12，
又因为x为最长边大于等于13，
∴13≤x＜12；
故答案为：13≤x＜12．
【点评】本题考查三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，且最长边不能小于周长13．
14．（4分）在△ABC，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是BC的中点，D关于△ABC的斜边的对称点D′，CD′=5，则AB的长为　22　．
【分析】连结BD′，DD′，D关于AB的对称点是D′，进而得到AB垂直平分DD′，BD＝BD′，∠D′BD＝90°，设BD′＝x，则BC＝2x，在Rt△BCD′中，利用勾股定理可得BC长，进而得到AB的长．
【解答】解：连结BD′，DD′，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵D关于AB的对称点是D′，
∴AB垂直平分DD′，
∴BD＝BD′，∠D′BD＝90°，
又∵D是BC的中点，
∴BC＝2BD＝2BD′，
设BD′＝x，则BC＝2x，
∴在Rt△BCD′中，
由勾股定理得：BD′2+BC2＝CD′2，
x2+（2x）2＝（5）2，
解得：x＝1，
∴BD′＝1，CB＝2，
∴AB＝22．


【点评】此题考查了勾股定理，以及轴对称的基本性质，关键是掌握如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
15．（4分）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（﹣1，3），C（0，5），若△CAB与△DBA全等，则点D的坐标为　（0，1）或（1，1）或（1，5）　．
【分析】根据题意画出符合条件的图形，根据图形结合A、B、C的坐标即可得出答案．
【解答】解：如图所示，共有3个符合条件的点，
∵△CAB与△DBA全等，
∴AB＝AB，BC＝AD或BC＝BD，
∵A（2，3），B（﹣1，3），C（0，5），
∴D1的坐标是（0，1），或（1，1）或（1，5）．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和坐标与图形性质，注意要进行分类讨论，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．
16．（4分）对于一次函数y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0），有以下结论：
①若b＝3﹣2a时，一次函数图象过定点（2，3）；
②若b＝3﹣2a，且一次函数y＝ax+b图象过点（1，a），则a=32；
③当a＝b+1，且函数图象过一、三、四象限时，则0＜a≤1；
④若b＝2﹣a，一次函数y＝ax+b的图象可由y＝ax+2向左平移1个单位得到；
请选择正确的序号：　①②　．
【分析】①解析式变形后即可判断；②解析式变形后倒入（1，a），求得a的值即可判断；③根据一次函数的性质即可判断；④根据平移的规律即可判断．
【解答】解：①若b＝3﹣2a时，则y＝ax+3﹣2a＝a（x﹣2）+3，
∴一次函数图象过定点（2，3），故结论①正确；
②若b＝3﹣2a，则y＝ax+3﹣2a，
∵一次函数y＝ax+b图象过点（1，a），
∴a＝a+3﹣2a，解得a=32，故结论②正确；
③当a＝b+1时，则b＝a﹣1，
∴y＝ax+a﹣1，
∵函数图象过一、三、四象限，
a＞0a-1＞0，解得a＞1，故结论③错误；
④若b＝2﹣a，则y＝ax+2﹣a＝a（x﹣1）+2，
∴一次函数y＝ax+b的图象可由y＝ax+2向右平移1个单位得到，故结论④错误；
故正确的结论有①②，
故答案为①②．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，BE，CD相交于点P，PB＝PC．求证：AD＝AE．

【分析】欲证明AD＝AE，只要证明△ABE≌△ACD即可．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BP＝CP，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠A＝∠A，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AD＝AE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，有6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1），按要求作图并计算：
（1）在网络中画出平面直角坐标系，使点A（2，3），B（3，2），并写出点C的坐标；
（2）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．

【分析】（1）先根据A的坐标确定两坐标轴，交写出点C的坐标；
（2）直接作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
【解答】解：（1）如图所示，点C（1，0）；

（2）△A1B1C1即为所求．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的性质，坐标与图形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质作图．
19．（8分）解不等式（组），并把第（1）小题的解集表示在数轴上．

（1）5x﹣2≥2+3x；
（2）4x+6≥3x+73x+144-2x＞-9
【分析】（1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解集；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．
【解答】解：（1）移项合并得：2x≥4，
解得：x≥2，

（2）4x+6≥3x+7①3x+144-2x＞-9②，
由①得：x≥1，
由②得：x＜10，
则不等式组的解集为1≤x＜10．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）设一次函数y＝mx+n（m，n是常数，m≠0）．
（1）若它的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1），求该一次函数的表达式；
（2）若n＝1﹣2m，且一次函数图象不过第二象限，求m的取值范围．
【分析】（1）将两点代入，运用待定系数法求解即可；
（2）关键题意得到m＞0，1﹣2m≤0，解得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n的图象经过两点A（1，3）、B（﹣1，﹣1），
∴m+n=3-m+n=-1，
解得m=2n=1，
∴函数解析式为：y＝2x+1；
（2）把n＝1﹣2m代入得y＝mx+1﹣2m，
∵y＝m（x﹣2）+1，
∴图象一定经过点（2，1），
∵一次函数图象不过第二象限，
∴m＞0，1﹣2m≤0，
∴m≥12．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，关键是正确得出关于m的不等式．
21．（10分）已知：如图，BD⊥AC，垂足为E，△ABE的中线EF的延长线交CD于点G，∠B＝∠C．
（1）求证：EG是△CDE的高线（即EG⊥CD）．
（2）若EG是△CDE的中线，探索△ABE的形状（请写出完整过程）

【分析】（1）根据直角三角形的性质得到EF＝BF=12AB，得到∠B＝∠BEF，求得∠EGC＝90°，于是得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DE＝CE，求得∠A＝45°，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，EF是△ABE的中线，
∴EF＝BF=12AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B＝∠C，
∴∠C+∠CEG＝90°，
∴∠EGC＝90°，
∴EG是△CDE的高线；
（2）∵EG是△CDE的中线，EG⊥CD，
∴EG是CD的垂直平分线，
∴DE＝CE，
∵∠B＝∠C＝∠D＝45°，
∴∠A＝45°，
∴AE＝BE，
∴△ABE是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
22．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，连接AD、AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD＝CD′．

（1）求证：△ABD≌△ACD′；
（2）如图2，若∠BAC＝120°，探索BD，DE，CE之间满足怎样的数量关系时，△CD′E是正三角形；
（3）如图3，若∠BAC＝90°，求证：DE2＝BD2+EC2．
【分析】（1）由轴对称图形的性质得出AD＝AD′，由SSS即可证得△ABD≌△ACD′；
（2）由△ABD≌△ACD′得出∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，由轴对称图形的性质得出∠DAE＝∠EAD′，DE＝ED′，则∠EAD′+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝∠DAE=12∠BAC＝60°，由正三角形的性质得出CE＝CD′＝ED′，即可得出结论；
（3）由等腰直角三角形的性质得出∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°，则∠ECD′＝90°，由勾股定理得出ED′2＝CD′2+EC2，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ADE与△AD′E是关于AE的轴对称图形，
∴AD＝AD′，
在△ABD和△ACD′中，AB=ACBD=CD'AD=AD'，
∴△ABD≌△ACD′（SSS）；
（2）解：∵△ABD≌△ACD′，
∴∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，
∵△ADE与△AD′E是关于AE的轴对称图形，
∴∠DAE＝∠EAD′，DE＝ED′，
∴∠EAD′+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝∠DAE=12∠BAC＝60°，
∵△CD′E是正三角形，
∴CE＝CD′＝ED′，
∵BD＝CD′，DE＝ED′，
∴BD＝DE＝CE；
（3）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°，
∴∠ECD′＝90°，
∴ED′2＝CD′2+EC2，
∵BD＝CD′，DE＝ED′，
∴DE2＝BD2+EC2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了轴对称图形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称图形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（12分）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路匀速从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑自行车，设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图所示．请观察分析图象解决以下问题：
（1）乙比甲先出发　1　小时，甲骑摩托车的速度是　60　km/h，第一次相遇的时间在乙出发　1.5　小时．
（2）求出线段BC所在直线的函数表达式；
（3）当30≤y≤50时，求t的取值范围；
（4）若甲到达B地后立即原路返回，返回途中甲乙何时相距10km？

【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）求出线段CD的解析式，再分别根据线段BC与CD的解析式求解即可；
（4）根据题意列方程解答即可．
【解答】解：（1）根据题意可知乙比甲先出发1小时，甲骑摩托车的速度是120÷（3﹣1）＝60km/h，第一次相遇的时间在乙出发时间为：1+20÷（60﹣20）＝1.5（小时）．
故答案为：1；60；1.5；

（2）设线段BC所在直线的函数表达式为y＝kt+b，
∵线段BC所在直线经过点（1.5，0），（3，60），
∴1.5k+b=03k+b=60，解得k=40b=-60，
∴线段BC所在直线的函数表达式为y＝40t﹣60；

（3）点D的横坐标为：3+120÷（60﹣20）＝6，
设线段CD所在直线的函数表达式为y＝k1t+b1，根据题意得：
3k1+b1=606k1+b1=0，解得k1=-20b1=120，
∴线段CD所在直线的函数表达式为y＝﹣20t+120；
当30≤y≤50时，30≤40t﹣60≤50，30≤﹣20t﹣120≤50，
解得94≤t≤114，72≤t≤92；

（4）根据题意得：60（t﹣1）+20t＝240﹣10或60（t﹣1）+20t＝240+10，解得 t=358或378．
答：甲到达B地后立即原路返回，返回途中t=358小时或t=378小时甲乙相距10km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据图象获取相关信息，利用待定系数法求函数解析式．

日期：2019/12/22 11:31:28；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521





















2019学年浙江省杭州市萧山区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）在直角坐标系中，已知点P（2，a）在第四象限，则（　　）
A．a＜0 B．a≤0 C．a＞0 D．a≥0
2．（3分）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12
4．（3分）一个三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的长可能是（　　）
A．3 B．7 C．10 D．12
5．（3分）不等式组x＞-2x＜-1的解集为（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣1 C．﹣2＜x＜﹣1 D．无解
6．（3分）将以点A（﹣3，7），B（﹣3，﹣3）为端点的线段AB向右平移5个单位得到线段A'B′，则线段A'B′的中点坐标是（　　）
A．（2，5） B．（2，2） C．（﹣8，5） D．（﹣8，2）
7．（3分）已知a＜0，则下列不等式中不成立的是（　　）
A．2a＜a B．a2＞0 C．1﹣2a＜1 D．a﹣2＜0
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝9，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段BN的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M，N，P，Q的位置如图所示．若直线y＝kx经过第一、三象限，则直线y＝kx﹣2可能经过的点是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
10．（3分）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连结DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（　　）

A．y＝x B．y=-12x+90 C．y＝﹣2x+180 D．y＝﹣x+90
二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分
11．（3分）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为　 　．
12．（3分）用不等式表示“a的2倍与3的差是非负数”：　 　．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝72°，∠DAE＝16°，则∠C＝　 　度．

14．（3分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y＝3x上不同的两点，记m=x1-x2y1-y2，则函数y＝mx﹣2的图象经过第　 　象限．
15．（3分）如图，数轴上A点表示数7，B点表示数5，C为OB上一点，当以OC、CB、BA三条线段为边，可以围成等腰三角形时，C点表示数　 　．

16．（3分）小婷家与学校之间是一条笔直的公路，小婷从家步行前往学校的途中发现忘记带昨天的回家作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小婷沿原路返回．两人相遇后，小婷立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，并且小婷到达学校比妈妈到家多用了5分钟，若小婷步行的速度始终是每分钟100米，小婷和妈妈之间的距离y与小婷打完电话后步行的时间x之间的函数关系如图所示
（1）妈妈从家出发　 　分钟后与小婷相遇；
（2）相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟　 　米，小婷家离学校的距离为　 　米．

三、解答题：本题有7小题，共计52分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤（本题满分52分）
17．（6分）解不等式组x-2(x-3)＜4x2-(x+1)≤2-x并写出它的整数解．
18．（6分）判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例；若是真命题，请给出证明．
①若a＞b，则a2＞b2；
②三个角对应相等的两个三角形全等．
19．（7分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE和CD相交于点O，OB＝OC，连AO，求证：
（1）△ODB≌△OEC；
（2）∠1＝∠2．

20．（7分）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣2时，y＝7；当x＝3时，y＝﹣8．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求当﹣2＜x＜4时y的取值范围．
21．（8分）格点△ABC在直角坐标系中的位置如图所示．
（1）直接写出点A，B，C的坐标和△ABC的面积；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+b与直线l1交于点B（1，m），与y轴交于点C．
（1）求m的值和点C的坐标；
（2）已知点M（a，0）在x轴上，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，若DE＝6，求a的值．

23．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点，连结AD
（1）如图1，若BD＝2，DC＝4，求AD的长；
（2）如图2，以AD为边作∠ADE＝∠ADF＝60°，分别交AB，AC于点E，F．
①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有AE＝AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD是∠EDF的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD是∠EDF的角平分线，构造△ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明AE＝AF．（一种方法即可）
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF的面积与AD长存在很好的关系．若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的关系式．


2019学年浙江省杭州市萧山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）在直角坐标系中，已知点P（2，a）在第四象限，则（　　）
A．a＜0 B．a≤0 C．a＞0 D．a≥0
【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点分析得出答案．
【解答】解：∵点P（2，a）在第四象限，
∴a＜0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
2．（3分）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．12 D．﹣12
【分析】先利用待定系数法求出y＝﹣3x，然后计算x＝1对应的函数值．
【解答】解：设y＝kx，
∵当x＝2时，y＝﹣6，
∴2k＝﹣6，解得k＝﹣3，
∴y＝﹣3x，
∴当x＝1时，y＝﹣3×1＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），然后把一个已知点的坐标代入求出k即可．
4．（3分）一个三角形的两条边长分别为3和7，则第三边的长可能是（　　）
A．3 B．7 C．10 D．12
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，进行分析求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应＞4，而＜10．
下列答案中，只有7符合．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．
5．（3分）不等式组x＞-2x＜-1的解集为（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣1 C．﹣2＜x＜﹣1 D．无解
【分析】根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集．
【解答】解：不等式组x＞-2x＜-1的解集为﹣2＜x＜﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握确定不等式组解集的口诀．
6．（3分）将以点A（﹣3，7），B（﹣3，﹣3）为端点的线段AB向右平移5个单位得到线段A'B′，则线段A'B′的中点坐标是（　　）
A．（2，5） B．（2，2） C．（﹣8，5） D．（﹣8，2）
【分析】先求得线段AB的中点坐标，再根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解可得．
【解答】解：∵线段AB的中点坐标为（﹣3，2），则线段A'B′的中点坐标是（﹣3+5，2）即（2，2），
故选：B．
【点评】本题主要考查坐标与图形的变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换下点的坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
7．（3分）已知a＜0，则下列不等式中不成立的是（　　）
A．2a＜a B．a2＞0 C．1﹣2a＜1 D．a﹣2＜0
【分析】直接利用不等式的基本性质分别判断得出答案．
【解答】解：A、∵a＜0，
∴2a＜a，正确，不合题意；
B、∵a＜0，
∴a2＞0，正确，不合题意；
C、∵a＜0，
∴1﹣2a＞1，原式错误，符合题意；
D、∵a＜0，
∴a﹣2＜0，正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，正确应用不等式基本性质是解题关键．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝9，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段BN的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由折叠的性质可得DN＝CN，根据勾股定理可求DN的长，即可求BN的长．
【解答】解：∵D是AB中点，AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∵折叠
∴DN＝CN，
∴BN＝BC﹣CN＝9﹣DN，
在Rt△DBN中，DN2＝BN2+DB2，
∴DN2＝（9﹣DN）2+9，
∴DN＝5
∴BN＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，折叠的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点M，N，P，Q的位置如图所示．若直线y＝kx经过第一、三象限，则直线y＝kx﹣2可能经过的点是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】根据直线y＝kx﹣2的位置，利用排除法即可解决问题．
【解答】解：∵直线y＝kx经过第一、三象限，
∴直线y＝kx﹣2平行直线y＝kx，且经过（0，﹣2），
观察图象可知直线y＝kx﹣2不经过点N、P、Q，
∴直线y＝kx﹣2经过点M，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、正比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；点F是AB的中点，连结DF，EF，设∠DFE＝x°，∠ACB＝y°，则（　　）

A．y＝x B．y=-12x+90 C．y＝﹣2x+180 D．y＝﹣x+90
【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝∠BEA＝90°，根据直角三角形的性质得到AF＝DF，BF＝EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF＝∠ADF，∠EFB＝∠BEF，于是得到结论．
【解答】解：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；
∴∠ADB＝∠BEA＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝DF，BF＝EF，
∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，
∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，
∴x°＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣y°）﹣180°＝180°﹣2y°，
∴y=-12x+90，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分
11．（3分）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为　（2，﹣3）　．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）得出即可．
【解答】解：∵点P（2，3）
∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质，正确记忆坐标规律是解题关键．
12．（3分）用不等式表示“a的2倍与3的差是非负数”：　2a﹣3≥0　．
【分析】首先表示出a的2倍与3的差为2a﹣3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2a﹣3≥0．
【解答】解：由题意得：2a﹣3≥0．
故答案为：2a﹣3≥0．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，要抓住题目中的关键词“非负数”正确选择不等号．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝72°，∠DAE＝16°，则∠C＝　40　度．

【分析】根据三角形的内角和得出∠BAD＝18°，再利用角平分线得出∠BAC＝68°，利用三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵AD是高，∠B＝72°，
∴∠BAD＝18°，
∴∠BAE＝18°+16°＝34°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣72°﹣68°＝40°．
故答案为：40
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180°是解题的关键．
14．（3分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y＝3x上不同的两点，记m=x1-x2y1-y2，则函数y＝mx﹣2的图象经过第　一、三、四　象限．
【分析】将点A，点B坐标代入解析式，可得y1＝3x1，y2＝3x2，可得m=13，即可求解．
【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y＝3x上不同的两点，
∴y1＝3x1，y2＝3x2，
∴m=x1-x2y1-y2=x1-x23x1-3x2=13＞0，
∴函数y＝mx﹣2的图象经过第一、三、四象限，
故答案为：一、三、四
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数性质，熟练运用一次函数性质是本题的关键．
15．（3分）如图，数轴上A点表示数7，B点表示数5，C为OB上一点，当以OC、CB、BA三条线段为边，可以围成等腰三角形时，C点表示数　2或2.5或3　．

【分析】根据等腰三角形的两边相等进行解答即可．
【解答】解：∵数轴上A点表示数7，B点表示数5，
∴BA＝2，
∵以OC、CB、BA三条线段为边围成等腰三角形时，
若CB＝BA＝2，则OC＝5﹣2＝3，所以C点表示数为3，
若OC＝BA＝2，所以C点表示数为2，
若OC＝CB，则OC＝5÷2＝2.5，所以C点表示数为2.5，
故答案为：2或2.5或3．
【点评】本题考查了等腰三角形两边相等的性质，注意分类讨论得出是解题关键．
16．（3分）小婷家与学校之间是一条笔直的公路，小婷从家步行前往学校的途中发现忘记带昨天的回家作业本，便向路人借了手机打给妈妈，妈妈接到电话后，带上作业本马上赶往学校，同时小婷沿原路返回．两人相遇后，小婷立即赶往学校，妈妈沿原路返回家，并且小婷到达学校比妈妈到家多用了5分钟，若小婷步行的速度始终是每分钟100米，小婷和妈妈之间的距离y与小婷打完电话后步行的时间x之间的函数关系如图所示
（1）妈妈从家出发　8　分钟后与小婷相遇；
（2）相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟　60　米，小婷家离学校的距离为　2100　米．

【分析】由当x＝8时，y＝0，可得出妈妈从家出发 8分钟后与小婷相遇；
利用速度＝路程÷时间结合小婷的速度，可求出小婷和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为60米/分；
根据路程＝1600+小婷步行的速度×（23﹣18），即可得出小婷家离学校的距离．
【解答】解：（1）当x＝8时，y＝0，
故妈妈从家出发8分钟后与小婷相遇，
（2）当x＝0时，y＝1400，
∴相遇后18﹣8＝10分钟小婷和妈妈的距离为1600米，
1600÷（18﹣8）﹣100＝60（米/分），
∴相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟60米；
1600+（23﹣18）×100＝2100（米），
∴小婷家离学校的距离为2100米．
故答案为：8；60；2100．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题：本题有7小题，共计52分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤（本题满分52分）
17．（6分）解不等式组x-2(x-3)＜4x2-(x+1)≤2-x并写出它的整数解．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再其公共解集内找出符合条件的x的整数解即可．
【解答】解：x-2(x-3)＜4①x2-(x+1)≤2-x②，
由①得x＞2，
由②得x≤6，
故不等式组的整数解为：2＜x≤6，
它的整数解有3，4，5，6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
18．（6分）判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例；若是真命题，请给出证明．
①若a＞b，则a2＞b2；
②三个角对应相等的两个三角形全等．
【分析】①根据乘方法则举例即可；
②根据全等三角形的概念、等边三角形的性质举例．
【解答】解：①若a＞b，则a2＞b2是假命题，
例如：a＝﹣1，b＝﹣2，
a＞b，但a2＜b2；
②三个角对应相等的两个三角形全等是假命题，
例如：两个边长不相等的等边三角形不全等．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
19．（7分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE和CD相交于点O，OB＝OC，连AO，求证：
（1）△ODB≌△OEC；
（2）∠1＝∠2．

【分析】（1）根据AAS证明△ODB≌△OEC即可；
（2）利用角平分线的判定定理证明即可；
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ODB＝∠OEC＝90°，
在△ODB和△OEC中，
∠ODB=∠OEC∠DOB=∠EOCOB=OC，
∴△ODB≌△OEC（AAS）．

（2）∵△ODB≌△OEC，
∴OD＝OE，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（7分）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣2时，y＝7；当x＝3时，y＝﹣8．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求当﹣2＜x＜4时y的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先计算出x＝4时的函数值，然后根据一次函数的性质求解．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意得-2k+b=73k+b=-8，解得k=-3b=1，
所以这个一次函数的表达式为y＝﹣3x+1；
（2）当x＝4时，y＝﹣3x+1＝﹣11，
所以当﹣2＜x＜4时y的取值范围为﹣11＜y＜7．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数的性质．
21．（8分）格点△ABC在直角坐标系中的位置如图所示．
（1）直接写出点A，B，C的坐标和△ABC的面积；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．

【分析】（1）由图可得三顶点的坐标，再根据割补法求解可得；
（2）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得．
【解答】解：（1）由图知A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣2），
△ABC的面积为5×5-12×1×2-12×3×5-12×5×4=132；

（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．

【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+b与直线l1交于点B（1，m），与y轴交于点C．
（1）求m的值和点C的坐标；
（2）已知点M（a，0）在x轴上，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，若DE＝6，求a的值．

【分析】（1）把点B（1，m）代入y＝3x+1即可得到m的值，然后求出b的值，得到直线L2的函数表达式；
（2）由（1）得到直线l2的解析式为y＝﹣x+4，过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，得到D（a，3a+1），E（﹣a+4），列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）把点B（1，m）代入y＝3x+1得，m＝4，
∴B（1，4）
将点B（1，4）代入y＝﹣x+b中，得4＝﹣1+b，
∴b＝5，
令x＝0，得y＝5，
∴点C的坐标为：（0，5）；
（2）由（1）得，直线l2的解析式为：y＝﹣x+5，
∵过点M作直线l3∥y轴，分别交直线l1，l2于D，E，
∴D（a，3a+1），E（a，﹣a+5），
∵DE＝6，
∴|3a+1﹣（﹣a+5）|＝6，
∴a=52或a=-12．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行，正确理解直线相交和平行时解析式的关系是解题的关键．
23．（10分）已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点，连结AD
（1）如图1，若BD＝2，DC＝4，求AD的长；
（2）如图2，以AD为边作∠ADE＝∠ADF＝60°，分别交AB，AC于点E，F．
①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有AE＝AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD是∠EDF的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD是∠EDF的角平分线，构造△ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明AE＝AF．（一种方法即可）
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF的面积与AD长存在很好的关系．若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的关系式．

【分析】（1）由等边三角形的性质可求AB＝BC＝6，BG=12BC＝3，DG＝1，由勾股定理可求AG，AD的长；
（2）①想法1：过点A作AM⊥DF于点M，作AH⊥DE，交DE的延长线于点H，由角平分线的性质可得AH＝AM，由“AAS”可证Rt△AHE≌Rt△AMF，可得AE＝AF；
想法2：延长DE至N，使DN＝DF，由“SAS”可证△ADN≌△ADF，可得AN＝AF，∠AFD＝∠N，由四边形内角和为360°，可得∠AEN＝∠AFD＝∠N，可得AN＝AE＝AF；
②由想法1可得S四边形AEDF＝S四边形AHDM＝2S△ADM=34x2．
【解答】解：（1）如图，过点A作AG⊥BC于点G，

∵BD＝2，DC＝4，
∴BC＝6，
∵△ABC是等边三角形，AG⊥BC，
∴AB＝BC＝6，BG=12BC＝3，
∴DG＝BG﹣BD＝3﹣2＝1，
在Rt△ABG中，AG=AB2-BG2=33，
在Rt△ADG中，AD=AG2+DG2=27
（2）①想法1：如图，过点A作AM⊥DF于点M，作AH⊥DE，交DE的延长线于点H，

∵AD平分∠EDF，AH⊥DE，AM⊥DF
∴AH＝AM，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF＝360°，
∴∠AED+∠AFD＝180°，且∠AED+∠AEH＝180°，
∴∠AEH＝∠AFD，且AH＝AM，∠H＝∠AMF＝90°，
∴Rt△AHE≌Rt△AMF（AAS）
∴AE＝AF
想法2：如图，延长DE至N，使DN＝DF，

∵DN＝DF，AD＝AD，∠ADE＝∠ADF＝60°，
∴△ADN≌△ADF（SAS）
∴AN＝AF，∠AFD＝∠N，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，
∴∠EDF＝120°，
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF＝360°，
∴∠AED+∠AFD＝180°，且∠AED+∠AEN＝180°，
∴∠AEN＝∠AFD，
∴∠AEN＝∠N，
∴AN＝AE＝AF，
②如图，

由①中想法1可得Rt△AHE≌Rt△AMF，
∴S△AHE＝S△AMF，
∴S四边形AEDF＝S四边形AHDM，
∵∠ADF＝60°，AM⊥DF，
∴DM=12AD，AM=3DM=32AD，
∴S△ADM=12×DM×AM=38AD2=38x2，
∵AD＝AD，AH＝AM，
∴Rt△ADH≌Rt△ADM（HL）
∴S△ADH＝S△ADM，
∴S四边形AEDF＝S四边形AHDM＝2S△ADM=34x2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．






















2019学年浙江省金华市婺城区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各组数可做为一个三角形三边长的是（　　）
A．4，6，8 B．4，5，9 C．1，2，4 D．5，5，11
2．（3分）如图，小手盖住的点的坐标可能是（　　）

A．（3，3） B．（﹣4，5） C．（﹣4，﹣6） D．（3，﹣6）
3．（3分）若a＞b，则下列不等式中正确的是（　　）
A．a﹣b＜0 B．﹣5a＜﹣5b C．a+8＜b﹣8 D．a4＜b4
4．（3分）直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（3分）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（　　）

A．x≥﹣1 B．x＞1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3
6．（3分）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）
A．a＝3，b＝﹣2， B．a＝﹣2，b＝3， C．a＝2，b＝﹣3， D．a＝﹣3，b＝2，
7．（3分）下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是（　　）
A．三个角的比是1：2：3
B．三条边满足关系a2＝c2﹣b2
C．三条边的比是2：3：4
D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A
8．（3分）将直线y＝3x向左平移2个单位所得的直线的解析式是（　　）
A．y＝3x+2 B．y＝3x﹣2 C．y＝3（x﹣2） D．y＝3（x+2）
9．（3分）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，kx+b＜x+a中，正确的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
10．（3分）如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列五个结论中，其中正确的结论是（　　）
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB＝150°；
④S四边形AOBO′＝6+33；
⑤S△AOC+S△AOB＝6+943．

A．①②③④ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．②③④⑥
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共4分）
11．（4分）函数y=1x-1中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（4分）如图是2002年在北京召开的世界数学家大会的会标，其中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，它蕴含着一个著名的定理是　 　．

13．（4分）如图，∠ABC＝∠DCB，请补充一个条件：　 　，使△ABC≌△DCB．

14．（4分）不等式2x﹣1≤3的正整数解是　 　．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，AB＝4，BC=1007，则在△BDC中，BD边上的高为　 　．

16．（4分）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（8，0），B（2，6），C（4，0），点P，Q是△ABO边上的两个动点（点P不与点C重合），以P，O，Q为顶点的三角形与△COQ全等，则满足条件的点P的坐标为　 　．

三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）解不等式组x+4≤3x1+2x3＞x-1
18．（6分）如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，CD＝AB．求证：∠A＝∠C．

19．（6分）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠CAD、∠EAD的度数．

20．（8分）某批服装进价为每件200元，商店标价每件300元，现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于5%，问售价最低可按标价的几折？（要求通过列不等式进行解答）
21．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的网格图．
（1）请在网格图中建立平面直角坐标系xOy，使点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（1，0）；
（2）若点C的坐标为（4，1），△ABC关于y轴对称三角形为△A1B1C1，则点C的对应点C1坐标为　 　；
（3）已知点D为y轴上的动点，求△ABD周长的最小值．

22．（10分）甲、乙两车都从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶．甲车比乙车早行驶，甲车途中休息了0.5h．设甲车行驶时间为x（h），下图是甲乙两车行驶的距离y（Mm）与x（h）的函数图象，根据题中信息回答问题：
（1）填空：m＝　 　，a＝　 　；
（2）当乙车出发后，求乙车行驶路程y（km）与x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；
（3）当甲车行驶多长时间时，两车恰好相距50km？请直接写出答案．

23．（10分）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”
（1）判断下列两个命题是真命题还是假命题（填“真”或“假”）
①等边三角形必存在“和谐分割线”
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”．
命题①是　 　命题，命题②是　 　命题；
（2）如图2，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，△ABC中，∠A＝42°，若线段CD是△ABC的“和谐分割线”，且△BCD是等腰三角形，求出所有符合条件的∠B的度数．

24．（12分）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2019学年浙江省金华市婺城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各组数可做为一个三角形三边长的是（　　）
A．4，6，8 B．4，5，9 C．1，2，4 D．5，5，11
【分析】在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得答案．
【解答】解：A、4+6＞8，能组成三角形；
B、4+5＝9，不能组成三角形；
C、1+2＜4，不能组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．（3分）如图，小手盖住的点的坐标可能是（　　）

A．（3，3） B．（﹣4，5） C．（﹣4，﹣6） D．（3，﹣6）
【分析】根据盖住的点在第二象限，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、（3，3）在第一象限；
B、（﹣4，5）在第二象限；
C、（﹣4，﹣6）在第三象限；
D、（3，﹣6）在第四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（3分）若a＞b，则下列不等式中正确的是（　　）
A．a﹣b＜0 B．﹣5a＜﹣5b C．a+8＜b﹣8 D．a4＜b4
【分析】正确运用不等式的性质进行判断．
【解答】解：A、当a＞b时，不等式两边都减b，不等号的方向不变得a﹣b＞0，故A错误；
B、当a＞b时，不等式两边都乘以﹣5，不等号的方向改变得﹣5a＜﹣5b，故B正确；
C、不等式两边的变化必须一致，故C错误；
D、当a＞b时，不等式两边都除以4，不等号的方向不变得a4＞b4，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
4．（3分）直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用勾股定理求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵直角三角形两条直角边长分别是6和8，
∴斜边=62+82=10，
∴斜边上的中线长=12×10＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
5．（3分）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（　　）

A．x≥﹣1 B．x＞1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3
【分析】根据不等式组解集在数轴上的表示方法可知，不等式组的解集是指它们的公共部分，即﹣1及其右边的部分．
【解答】解：两个不等式的解集的公共部分是：﹣1及其右边的部分．即大于等于﹣1的数组成的集合．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．（3分）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　）
A．a＝3，b＝﹣2， B．a＝﹣2，b＝3， C．a＝2，b＝﹣3， D．a＝﹣3，b＝2，
【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．
【解答】解：
在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞﹣2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在B中，a2＝4，b2＝9，且﹣2＜3，此时不但不满足a2＞b2，也不满足a＞b不成立，故B选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在C中，a2＝4，b2＝9，且2＞﹣3，此时不但不满足a2＞b2，也不满足a＞b不成立，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在D中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时满足满足a2＞b2，但不能满足a＞b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”不能成立，故D选项中a、b的值能说明命题为假命题；
故选：D．
【点评】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．
7．（3分）下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是（　　）
A．三个角的比是1：2：3
B．三条边满足关系a2＝c2﹣b2
C．三条边的比是2：3：4
D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x＝180°，x＝30°，3x＝90°，故正确；
B、三条边满足关系a2＝c2﹣b2，故正确；
C、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故错误；
D、三个角满足关系∠B+∠C＝∠A，则∠A为90°，故正确．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．
8．（3分）将直线y＝3x向左平移2个单位所得的直线的解析式是（　　）
A．y＝3x+2 B．y＝3x﹣2 C．y＝3（x﹣2） D．y＝3（x+2）
【分析】根据函数左右平移的规律：“左加右减”可得出平移后的函数解析式，即可得出答案．
【解答】解：将直线y＝3x向左平移2个单位所得的直线的解析式为：y＝3（x+2）．
故选：D．
【点评】此题考查了一次函数图象与几何变换，解答本题关键是掌握平移的法则：“左加右减”，“上加下减”，属于基础题，难度一般．
9．（3分）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，kx+b＜x+a中，正确的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据函数图象可以判断题目中的各个小题是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由图象可得，
一次函数y1＝kx+b中k＜0，b＞0，故①正确，
一次函数y2＝x+a中a＜0，故②错误，
当x＜3时，kx+b＞x+a，故③错误，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
10．（3分）如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列五个结论中，其中正确的结论是（　　）
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB＝150°；
④S四边形AOBO′＝6+33；
⑤S△AOC+S△AOB＝6+943．

A．①②③④ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．②③④⑥
【分析】利用等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，利用性质得性质得BO＝BO′＝4，∠OBO′＝60°，则根据旋转的定义可判断△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，则可对①进行判断；再判断△BOO′为等边三角形得到OO′＝OB＝4，∠BOO′＝60°，则可对②进行判断；接着根据勾股定理的逆定理证明△AOO′为直角三角形得到∠AOO′＝90°，所以∠AOB＝150°，则可对③进行判断；利用S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△BOO′可对④进行判断；作AH⊥BO于H，如图，计算出AH=32，OH=332，则AB2＝25+123，S△AOB＝3，然后计算出S△BAO′＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝3+43，从而得到S△BOC＝3+43，最后利用S△AOC+S△AOB＝S△ABC﹣S△BOC可对⑤进行判断．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴BO＝BO′＝4，∠OBO′＝60°，
∵∠OBO′＝CBA＝60°，BO＝BO′，BC＝BA，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，所以①正确；
∵BO＝BO′，∠OBO′＝60°，
∴△BOO′为等边三角形，
∴OO′＝OB＝4，∠BOO′＝60°，所以②正确；
∵△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
∴AO′＝OC＝5，
在△OAO′中，∵OO′＝4，AO＝3，AO′＝5，
∴OA2+OO′2＝AO′2，
∴△AOO′为直角三角形，
∴∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝90°+60°＝150°，所以③正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△BOO′=12×4×3+34×42＝6+43，所以④错误；
作AH⊥BO于H，如图，
在RtAOH中，∠AOH＝30°，
∴AH=12OA=32，OH=3AH=332，
∴AB2＝AH2+BH2＝（32）2+（4+332）2＝25+123，
S△AOB=12×4×32=3，
∴S△BAO′＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝6+43-3＝3+43，
即S△BOC＝3+43，
∴S△AOC+S△AOB＝S△ABC﹣S△BOC=34（25+123）﹣（3+43）＝6+934，所以⑤正确．
故选：C．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理、勾股定理的逆定理．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共4分）
11．（4分）函数y=1x-1中，自变量x的取值范围是　x≠1　．
【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（4分）如图是2002年在北京召开的世界数学家大会的会标，其中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，它蕴含着一个著名的定理是　勾股定理　．

【分析】根据勾股定理的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2，即可得出答案．
【解答】解：根据勾股定理的定义并结合题给图形可得，该弦图蕴含的定理是勾股定理．
故答案为：勾股定理．
【点评】本题考查勾股定理的概念，属于基础题，注意掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
13．（4分）如图，∠ABC＝∠DCB，请补充一个条件：　AB＝DC或者∠A＝∠D　，使△ABC≌△DCB．

【分析】要使△ABC≌△DCB，已知了∠ABC＝∠DCB以及公共边BC，因此可以根据SAS、AAS分别添加一组相等的对应边或一组相等的对应角．
【解答】解：∵∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，
∴当AB＝DC（SAS）或∠A＝∠D（ASA）或∠BCA＝∠DBC（AAS）时，
∴△ABC≌△DCB．
故填AB＝DC或∠A＝∠D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
14．（4分）不等式2x﹣1≤3的正整数解是　1、2　．
【分析】首先移项，合并同类项，把x的系数化为1，解出不等式的解集，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
【解答】解：2x﹣1≤3，
移项得：2x≤3+1，
合并同类项得：2x≤4，
把x的系数化为1得：x≤2，
∵x是正整数，
∴x＝1、2．
故答案为：1、2．
【点评】此题主要考查了求不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质，同学们要注意在不等式两边同时除以同一个负数时，不等号一定要改变．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，AB＝4，BC=1007，则在△BDC中，BD边上的高为　607　．

【分析】首先过D作DE⊥BC，CH⊥BD交BD的延长线于H．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得AD＝DE＝3，再利用面积法构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，作DE⊥BC于E，CH⊥BD交BD的延长线于H．

在Rt△ABD中，∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，
∴BD=32+42=5，
∵BD平分∠ABC，DA⊥BA，DE⊥BC，
∴DA＝DE＝3，
∵12•BC•DE=12•BD•CH，
∴CH=1007×35=607，
故答案为607．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
16．（4分）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（8，0），B（2，6），C（4，0），点P，Q是△ABO边上的两个动点（点P不与点C重合），以P，O，Q为顶点的三角形与△COQ全等，则满足条件的点P的坐标为　（103，10）或（1，3）　．

【分析】①如图1所示，当△POQ≌△COQ时，即OP＝OC＝1，过P作PE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，则PE∥BF，根据勾股定理得到OB=22+62=210，根据相似三角形的性质得到PE，OE，于是得到点P的坐标；②如图2，当△POQ≌△CQO时，即QP＝OC＝4，OP＝CQ，点的四边PQCO是平行四边形，求得PQ∥OA，过P作PE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，则PE∥BF，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：以P，O，Q为顶点的三角形与△COQ全等，
①如图1所示，当△POQ≌△COQ时，
即OP＝OC＝4，
过P作PE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，
则PE∥BF，
∵B（2，6），
∴OF＝2，BF＝6，
∴OB=22+62=210，
∵PE∥BF，
∴△POE∽△BOF，
∴OPOB=PEBF=OEOF，
∴4210=PE6=OE2，
∴PE=6105，OE=2105，
∴点P的坐标为（6105，2105）；
②如图2，当△POQ≌△CQO时，
即QP＝OC＝4，OP＝CQ，
∴四边形PQCO是平行四边形，
∴PQ∥OA，
过P作PE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，
则PE∥BF，
∵B（2，6），
∴OF＝2，BF＝6，
∴OB=22+62=210，
∵PQ∥OA，
∴PBOB=PQOA，
∴PB=10，
∴PE=10，
∴点P是OB的中点，
∵PE∥BF，
∴PE=12BF＝3，OE=12EF＝1，
∴点P的坐标为（1，3），
综上所述，点P的坐标为（103，10）或（1，3）．
故答案为：（103，10）或（1，3）．


【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）解不等式组x+4≤3x1+2x3＞x-1
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：x+4≤3x①1+2x3＞x-1②，
解不等式①，得x≥2，
解不等式②，得x＜4，
所以，不等式组的解集为2≤x＜4．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
18．（6分）如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，CD＝AB．求证：∠A＝∠C．

【分析】根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠DCA，根据全等三角形的判定得出△DAC≌△BCA，根据三角形的性质得出∠D＝∠B，根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】证明：连接AC，
∵AE＝CE，
∴∠BAC＝∠DCA，
在△DAC和△BCA中
AC=AC∠DCA=∠BACCD=AB
∴△DAC≌△BCA（SAS），
∴∠D＝∠B，
∵∠D+∠DAE+∠DEA＝180°，∠B+∠BCE+∠BEC＝180°，∠DEA＝∠BEC，
∴∠DAE＝∠BCE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理，能求出△DAC≌△BCA是解此题的关键．
19．（6分）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠CAD、∠EAD的度数．

【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠CAD＝90°﹣∠C，再利用三角形的内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠CAE，然后根据∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD计算即可得解．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠C＝60°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°；
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=12∠BAC=12×80°＝40°，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
20．（8分）某批服装进价为每件200元，商店标价每件300元，现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于5%，问售价最低可按标价的几折？（要求通过列不等式进行解答）
【分析】设售价可以按标价打x折，根据“保证毛利润不低于5%”列出不等式，解之可得．
【解答】解：设售价可以按标价打x折，
根据题意，得：200+200×5%≤300×x10，
解得：x≥7，
答：售价最低可按标价的7折．
【点评】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的不等关系，并据此列出不等式．
21．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的网格图．
（1）请在网格图中建立平面直角坐标系xOy，使点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（1，0）；
（2）若点C的坐标为（4，1），△ABC关于y轴对称三角形为△A1B1C1，则点C的对应点C1坐标为　（﹣4，1）　；
（3）已知点D为y轴上的动点，求△ABD周长的最小值．

【分析】（1）根据题意建立如图所示的平面直角坐标系即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可得到结论；
（3）连接AB1交y轴于D，根据勾股定理函数三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；点C1坐标为（﹣4，1），
故答案为：（﹣4，1）；
（3）连接AB1交y轴于D，
则此时，△ABD周长的值最小，
即△ABD周长的最小值＝AB+AB1，
∵AB=32+22=13，AB1=42+32=5，
∴△ABD周长的最小值＝5+13．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，关于坐标轴对称的点的坐标特征，正确的作出图形是解题的关键．
22．（10分）甲、乙两车都从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶．甲车比乙车早行驶，甲车途中休息了0.5h．设甲车行驶时间为x（h），下图是甲乙两车行驶的距离y（Mm）与x（h）的函数图象，根据题中信息回答问题：
（1）填空：m＝　1　，a＝　40　；
（2）当乙车出发后，求乙车行驶路程y（km）与x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；
（3）当甲车行驶多长时间时，两车恰好相距50km？请直接写出答案．

【分析】（1）用休息后出发时间减去0.5即为m的值；根据甲匀速行驶即可求出a的值；
（2）设乙行驶路程y＝kx+b，找出图象上（2，0）和（3.5，120）代入即可求出k，b值，从而求出解析式；
（3）用待定系数法求出甲路程y与时间x的关系，由“两车相距50km”得到|列出方程求出x即为答案．
【解答】解：（1）m＝1.5﹣0.5＝1．
∵甲车匀速行驶，
∴a=1203.5-0.5=40．
（2）设乙行驶路程y＝kx+b，依题意得，
2k+b=03.5k+b=120
解得，k=80b=-160．
∴乙行驶路程y＝80x﹣160．
当y＝260km时，80x﹣160＝260，解得，x＝5.25．
∴自变量取值范围为2≤x≤5.25．
（3）设甲在后一段路程y＝mx+n，依题意得，
1.5m+n=403.5m+n=120，解得m=40n=-20．
∴甲路程y＝40x﹣20（1.5≤x≤7）．
①当1≤x≤2时，由两车相距50km得，40x﹣20＝50
解得，x=74．
②当2＜x≤5.25时，若两车相距50km，则|40x﹣20﹣（80x﹣160）|＝50
解得，x=94或194．
③当5.25＜x≤7时，乙车已到达目的地，两车相距50km，则260﹣（40x﹣20）＝50
解得，x=234．
故答案为74，94，194，234．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意找出所求问题需要的条件，第三问需要分三种情况进行讨论是本题的难点．
23．（10分）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”
（1）判断下列两个命题是真命题还是假命题（填“真”或“假”）
①等边三角形必存在“和谐分割线”
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”．
命题①是　假　命题，命题②是　真　命题；
（2）如图2，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，△ABC中，∠A＝42°，若线段CD是△ABC的“和谐分割线”，且△BCD是等腰三角形，求出所有符合条件的∠B的度数．

【分析】（1）根据“和谐分割线”的定义即可判断；
（2）如图作∠CAB的平分线，只要证明线段AD是“和谐分割线”即可，并根据三角函数或相似求AD的长；
（3）分2种情形讨论即可；
【解答】解：（1）①等边三角形不存在“和谐分割线”，不正确，是假命题；
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”，正确，是真命题，
故答案为：假，真；

（2）Rt△ABC存在“和谐分割线”，理由是：
如图作∠CAB的平分线，

∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴DA＝DB，
∴△ADB是等腰三角形，且△ACD∽△BCA，
∴线段AD是△ABC的“和谐分割线”，
AD=ACcos30°=232=433．

（3）如图3中，分2种情形：

①当DC＝DB，△ACD∽△ABC时，∠B＝∠ACD＝∠DCB
设∠B＝x，则∠ADC＝2x
∴x+2x+42＝180
x＝46°
可得∠B＝46°．
②当BC＝BD，△ACD∽△ABC时，
设∠B＝x，则∠BDC＝∠BCD＝42+x
∴42+x+42+x+x＝180
x＝32°
可得∠B＝32°．
综上所述，满足条件的∠B的值为46°或32°．
【点评】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、“和谐分割线”的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）求k、b的值；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法直接求出；
（2）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP＝O'P＝AO'＝42-4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论；
（3）分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：
①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算对应点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，
∴4k+b=0b=4，
解得：k＝﹣1，b＝4；

（2）存在两种情况：
①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝42，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，
∴AO'＝42-4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝42-4＝OP，
∴S△BOP=12OB•OP=12×4×(42-4)=82-8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，

由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，
∴PO'＝PO＝AO'＝42+4，
∴S△BOP=12OB•OP=12×4×(42+4)=82+8；

（3）分4种情况：
①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）；
②当BP＝PQ时，如图3，

∵∠BPC＝45°，
∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，
∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝42，
∴OP＝4+42，
∴P（4+42，0）；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，
△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP＝42，
∴OP＝42-4，
∴P（4﹣42，0）；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时P（﹣4，0）；
综上，点P的坐标是（0，0）或（4+42，0）或（4﹣42，0）或（﹣4，0）．




【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式及等腰三角形的判定，并注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题．

2019学年浙江省绍兴市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．7，8，9 B．5，6，7 C．3，4，5 D．1，2，3
2．（3分）满足﹣1≤x≤2的数在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．75° B．65° C．55° D．45°
4．（3分）已知正比例函数的图象经过点（﹣2，1），则这个正比例函数的表达式为（　　）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y=12x D．y=-12x
5．（3分）如图AE∥DF，CE∥BF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　）

A．∠A＝∠D B．∠E＝∠F C．AB＝BC D．AB＝CD
6．（3分）一次函数y＝﹣x+3的图象经过坐标系的（　　）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
7．（3分）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（　　）

A．当x＜1时，y随x的增大而增大
B．当x＜1时，y随x的增大而减小
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
8．（3分）如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，﹣1）、B（2，﹣3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，则点P的坐标为（　　）
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（-14，0） D．（-52，0）
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△ABO，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E，点E的坐标是（　　）

A．点E的坐标随着点C位置的变化而变化
B．（0，3）
C．（0，2）
D．（0，3）
二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　 　．
12．（3分）等腰三角形ABC中顶角∠A＝40°，底角∠B的度数是　 　．
13．（3分）不等式4x+1≤5x+3的负整数解为　 　．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，3）到x轴的距离是　 　．
15．（3分）如图是一次函数的y＝kx+b图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为　 　．

16．（3分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的Y（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经Y（1，180°）变换后所得的图形，则点A1的坐标是　 　．

17．（3分）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是20，小正方形的面积是8，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为　 　．

18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E为AB中点，AD、CE相交于F，AD＝DB．若∠B＝35°，则∠DFE等于　 　°．

三、解答题（本题共有6小题，共46分）
19．（8分）解不等式（组）
（1）4x﹣7≤3（x﹣1）
（2）2x+1≥-13x-12＜x+1
20．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC中点，AD＝4．求BC的长．

21．（6分）一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；
（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．

22．（8分）“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如表所示：

路程（千米）
甲仓库
乙仓库
A果园
15
25
B果园
20
20
设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元，
（1）根据题意，填写下表．

运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A果园
x
110﹣x
2×15x
2×25（110﹣x）
B果园
　 　
　 　
　 　
　 　
（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
23．（8分）小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，四边形ABCD中∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°，AB＝AD．点P，Q分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ．
（1）∠APC+∠AQC＝　 　；
（2）小敏进行探索，如图2，将点P，Q的位置特殊化，使AE⊥BC，∠EAF＝∠B，点E，F分别在边BC，CD上，此时她证明了AE＝AF．请你证明此时结论；
（3）受以上（1）（2）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，请你继续完成原题的证明．

24．（10分）点O为平面直角坐标系的坐标原点，直线y=-23x+2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）若∠BAO＝∠AOC，求直线OC的函数表达式；
（3）点D是直线x＝2上的一点，把线段BD绕点D旋转90°，点B的对应点为点E．若点E恰好落在直线AB上，则称这样的点D为“好点”，求出所有“好点”D的坐标．

2019学年浙江省绍兴市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各组数不可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．7，8，9 B．5，6，7 C．3，4，5 D．1，2，3
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：A、7+8＞9，能构成三角形；
B、5+6＞7，能构成三角形；
C、3+4＞5，能构成三角形；
D、1+2＝3，不能构成三角形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
2．（3分）满足﹣1≤x≤2的数在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】﹣1≤x≤2表示不等式x≥﹣1与不等式x≤2的公共部分．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：由于x≥﹣1，所以表示﹣1的点应该是实心点，折线的方向应该是向右．
由于x≤2，所以表示2的点应该是实心点，折线的方向应该是向左．
所以数轴表示的解集为
故选：C．
【点评】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集，有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．（3分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．75° B．65° C．55° D．45°
【分析】根据直角三角形两锐角互余，列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，
∴另一个锐角的度数是90°﹣35°＝55°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
4．（3分）已知正比例函数的图象经过点（﹣2，1），则这个正比例函数的表达式为（　　）
A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y=12x D．y=-12x
【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，然后把已知点的坐标代入求出k即可．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx，
把（﹣2，1）代入得﹣2k＝1，解得k=-12，
所以正比例函数解析式为y=-12x．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：设正比例函数解析式为y＝kx，然后把一个已知点的坐标代入求出k即可得到正比例函数解析式．
5．（3分）如图AE∥DF，CE∥BF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　）

A．∠A＝∠D B．∠E＝∠F C．AB＝BC D．AB＝CD
【分析】依据AE∥DF，CE∥BF，即可得到∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF，根据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，即可得出结论．
【解答】解：∵AE∥DF，CE∥BF，
∴∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF，
∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD，
∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．（3分）一次函数y＝﹣x+3的图象经过坐标系的（　　）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【分析】由直线的解析式得到k＜0，b＞0，利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．
【解答】解：∵y＝﹣x+3，
∴k＜0，b＞0，
故直线经过第一、二、四象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由k，b的符号来确定．
7．（3分）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（　　）

A．当x＜1时，y随x的增大而增大
B．当x＜1时，y随x的增大而减小
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【分析】根据函数图象和题目中的条件，可以写出各段中函数图象的变化情况，从而可以解答本题．
【解答】解：由函数图象可得，
当x＜1时，y随x的增大而增大，故选项A正确，选项B错误，
当1＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项C、D错误，
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3分）如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵，△ABC≌△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC＝180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，
∴∠ADC＝∠E+20°，
∵∠ACE＝90°，AC＝CE
∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，
即45°+70°+∠ADC＝180°，
解得：∠ADC＝65°，
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形内角和解答．
9．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，﹣1）、B（2，﹣3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，则点P的坐标为（　　）
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（-14，0） D．（-52，0）
【分析】找到其中一点关于x轴的对称点的坐标，然后确定和另一个点组成的一次函数的解析式，求得与x轴的交点坐标即可．
【解答】解：点B（2，﹣3）关于x轴的对称点的坐标为B′（2，3），
设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则-k+b=-12k+b=3
解得：k=43b=13，
直线AB′的解析式为y=43x+13，
∴当y＝0时，x=-14，即P（-14，0）．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△ABO，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E，点E的坐标是（　　）

A．点E的坐标随着点C位置的变化而变化
B．（0，3）
C．（0，2）
D．（0，3）
【分析】由等边三角形的性质可得AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°，可证△OBC≌△ABD，可得∠BAD＝∠BOC＝60°，可求∠EAO＝60°，即可求OE=3，可求点E坐标．
【解答】解：∵△AOB，△BCD是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB＝1，BC＝BD＝CD，∠OBA＝∠CBD＝60°
∴∠OBC＝∠ABD，且OB＝AB，BC＝BD，
∴△OBC≌△ABD（SAS）
∴∠BAD＝∠BOC＝60°
∴∠EAO＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°
在Rt△AOE中，AO＝1，∠EAO＝60°
∴OE=3OA=3
∴点E坐标（0，3）
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　同位角相等，两直线平行　．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．（3分）等腰三角形ABC中顶角∠A＝40°，底角∠B的度数是　70°　．
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵等腰三角形ABC中顶角∠A＝40°，
∴底角∠B的度数=12（180°﹣40°）＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
13．（3分）不等式4x+1≤5x+3的负整数解为　﹣1，﹣2　．
【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可．
【解答】解：∵不等式式4x+1≤5x+3的解集是：
﹣x≤2，
∴x≥﹣2，
∴不等式4x+1≤5x+3的负整数解为﹣1，﹣2，
故答案为﹣1，﹣2．
【点评】此题主要考查了解不等式，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
14．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，3）到x轴的距离是　3　．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度解答．
【解答】解：点（2，3）到x轴的距离是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度是解题的关键．
15．（3分）如图是一次函数的y＝kx+b图象，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为　x＞﹣2　．

【分析】一次函数的y＝kx+b图象经过点（﹣2，0），由函数表达式可得，kx+b＞0其实就是一次函数的函数值y＞0，结合图象可以看出答案．
【解答】解：由图可知：当x＞﹣2时，y＞0，即kx+b＞0；
因此kx+b＞0的解集为：x＞﹣2．
【点评】本题考查了数形结合的数学思想，即学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．易错易混点：学生往往由于不理解不等式与一次函数的关系或者不会应用数形结合，盲目答题，造成错误．
16．（3分）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的Y（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经Y（1，180°）变换后所得的图形，则点A1的坐标是　（-32，-32）　．

【分析】作AD⊥x轴，先根据等边三角形的性质得出点A坐标为（12，32），继而知向右平移1个单位后对应点的坐标为（32，32），根据经Y（1，180°）变换后所得的图形与原图形关于原点对称，据此可得答案．
【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵△ABC是等边三角形，且AB＝BC＝1，
∴BD=12，AD＝BDtan∠ABC=12×3=32，
∴点A坐标为（12，32），
则向右平移1个单位后对应点的坐标为（32，32），
∴△ABC经Y（1，180°）变换后所得的△A1B1C1的顶点A1的坐标为（-32，-32），
故答案为：（-32，-32）．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及等边三角形的性质．
17．（3分）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是20，小正方形的面积是8，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为　6　．

【分析】根据大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，可得直角三角形的面积，即可求得ab的值．
【解答】解：如图，∵大正方形的面积是20，小正方形的面积是8，
∴直角三角形的面积是（20﹣8）÷4＝3，
又∵直角三角形的面积是12ab＝3，
∴ab＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了勾股定理，赵爽弦图等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E为AB中点，AD、CE相交于F，AD＝DB．若∠B＝35°，则∠DFE等于　105　°．

【分析】根据∠EFD＝∠ADC+∠DCF，只要求出∠ADC，∠DCF即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°AE＝EB，
∴CE＝EB＝AE，
∴∠B＝∠ECB＝35°，
∵DB＝DA，
∴∠B＝∠DAB＝35°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝70°，
∴∠EFD＝∠ADC+∠ECB＝105°，
故答案为105．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共有6小题，共46分）
19．（8分）解不等式（组）
（1）4x﹣7≤3（x﹣1）
（2）2x+1≥-13x-12＜x+1
【分析】（1）先去括号，再移项，最后合并，从而得出不等式的解集；
（2）先解两个不等式，再求公共部分即可．
【解答】解：（1）去括号，得4x﹣7≤3x﹣3，
移项，得4x﹣3x≤7﹣3，
合并同类项得，x≤4；

（2）2x+1≥-1①3x-12＜x+1②，
解①得，x≥﹣1，
解②得x＜3，
∴不等式组的解集﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC中点，AD＝4．求BC的长．

【分析】先判断出AD⊥BC，再用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，点D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴BD=AB2-AD2=52-42=3，
∵点D是BC中点，
∴BC＝2BD＝6．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练正确掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
21．（6分）一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；
（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．

【分析】（1）由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，行驶时的耗油量为0.1升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1＝40（升），故加满油时油箱的油量是40+30＝70升．
（2）设y＝kx+b（k≠0），把（0，70），（400，300）坐标代入可得：k＝﹣0.1，b＝70，求出解析式，当y＝5 时，可得x＝650．
【解答】解：（1）由图象可知：汽车行驶400千米，剩余油量30升，
∵行驶时的耗油量为0.1升/千米，则汽车行驶400千米，耗油400×0.1＝40（升）
∴加满油时油箱的油量是40+30＝70升．
（2）设y＝kx+b（k≠0），
把（0，70），（400，30）坐标代入可得：k＝﹣0.1，b＝70
∴y＝﹣0.1x+70，
当y＝5 时，x＝650
即已行驶的路程的为650千米．
【点评】该题是根据题意和函数图象来解决问题，考查学生的审题识图能力和待定系数法求解析式以及根根解析式求值．
22．（8分）“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如表所示：

路程（千米）
甲仓库
乙仓库
A果园
15
25
B果园
20
20
设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元，
（1）根据题意，填写下表．

运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A果园
x
110﹣x
2×15x
2×25（110﹣x）
B果园
　80﹣x　
　x﹣10　
　2×20×（80﹣x）　
　2×20×（x﹣10）　
（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
【分析】（1）设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，根据题意求得甲仓库运往B果园（80﹣x）吨，乙仓库运往A果园（110﹣x）吨，乙仓库运往B果园（x﹣10）吨，然后根据两个仓库到A，B两个果园的路程完成表格；
（2）根据（1）中的表格求得总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式，根据一次函数的增减性结合自变量的取值范围，可知当x＝80时，总运费y最省，然后代入求解即可求得最省的总运费．
【解答】解：（1）填表如下：

运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A果园
x
110﹣x
2×15x
2×25（110﹣x）
B果园
80﹣x
x﹣10
2×20×（80﹣x）
2×20×（x﹣10）
故答案为80﹣x，x﹣10，2×20×（80﹣x），2×20×（x﹣10）；

（2）y＝2×15x+2×25×（110﹣x）+2×20×（80﹣x）+2×20×（x﹣10），
即y关于x的函数表达式为y＝﹣20x+8300，
∵﹣20＜0，且10≤x≤80，
∴当x＝80时，总运费y最省，此时y最小＝﹣20×80+8300＝6700．
故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．
【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．
23．（8分）小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，四边形ABCD中∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°，AB＝AD．点P，Q分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ．
（1）∠APC+∠AQC＝　180°　；
（2）小敏进行探索，如图2，将点P，Q的位置特殊化，使AE⊥BC，∠EAF＝∠B，点E，F分别在边BC，CD上，此时她证明了AE＝AF．请你证明此时结论；
（3）受以上（1）（2）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，请你继续完成原题的证明．

【分析】（1）先根据等量代换得：∠PAQ+∠C＝180°，由四边形的内角和为360°可得结论；（2）由（1）的结论得到∠EAP＝∠FAQ，证明△AEP≌△AFQ，根据全等三角形的性质证明；
（2）根据菱形的面积公式、结合（2）的结论解答．
（3）证明△APE≌△AQF，可得结论．
【解答】解：（1）如图1，∵∠B+∠C＝180°，∠PAQ＝∠B，
∴∠PAQ+∠C＝180°，
∴∠APC+∠AQC＝180°，
故答案为：180°；
（2）如图2，∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵∠EAF＝∠B，∠B+∠C＝180°，
∴∠EAF+∠C＝180°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵∠B＝∠D，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF；
（3）由（2）得AE＝AF，
∵∠PAQ＝∠EAF＝∠B，
∴∠PAE＝∠QAF，
∵∠AEP＝∠AFQ＝90°，
∴△APE≌△AQF（ASA），
∴AP＝AQ．
【点评】本题是四边形的综合题，考查的是四边形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（10分）点O为平面直角坐标系的坐标原点，直线y=-23x+2与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）若∠BAO＝∠AOC，求直线OC的函数表达式；
（3）点D是直线x＝2上的一点，把线段BD绕点D旋转90°，点B的对应点为点E．若点E恰好落在直线AB上，则称这样的点D为“好点”，求出所有“好点”D的坐标．
【分析】（1）把x＝0，y＝0分别代入解析式解答即可；
（2）根据一次函数的性质解答即可；
（3）设点D的坐标，进而得出E的坐标，列出方程解答即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，
所以点B的坐标为（0，2），
当y＝0时，x＝3，
所以点A的坐标为（3，0）；
（2）当OC在二、四象限时，OC∥AB，y=-23x，
当OC在一、三象限时，OC经过点（3，2），y=23x；
（3）设点D的坐标为（2，m），则E的坐标为（2+2﹣m，m+2），或（2﹣2+m，m﹣2），
所以可得：-23(4-m)+2=m+2或-23m+2=m-2，
解得：m＝8或m=125，
所以E的坐标为（2，﹣8）或（2，125）
【点评】本题考查一次函数的综合题，解题的关键是根据一次函数的图象中点的特点解答．