浙教版九年级（上）期末数学真题试卷5套（含答案）

2019学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知线段a，b，c，d满足ab＝cd，则把它改写成比例式正确的是（　　）
A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d
2．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣1与坐标轴交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（3分）抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
4．（3分）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们除颜色外其余都相同，随机从袋中摸出1个球，恰好是红球的概率为（　　）
A．12 B．34 C．13 D．23
5．（3分）如图，点F，G分别在直线AB，CE上，AE∥FG∥BC，若AB＝3FB，EG＝6，则GC长为（　　）

A．3 B．52 C．2 D．32
6．（3分）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（　　）
A．45° B．60° C．90° D．135°
7．（3分）在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠a，那么钢管AB的长为（　　）

A．mcosa B．m•sina C．m•cosa D．msina
8．（3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（　　）

A．45° B．60° C．72° D．90°
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，四边形DFGE和四边FBCG的面积分别是S1和S2，则S1：S2为（　　）

A．3：5 B．4：9 C．3：4 D．2：3
10．（3分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（﹣2，0），且满足9a+3b+c＜0．以下结论：①a+b＜0；②4a+c＜0；③对任何的x，都有y≥a4+b2+c；④a2﹣5ab＜bc．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）计算：sin60•tan45°＝　 　．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，DB=13AB，E为AC上一点，∠ADE＝∠ACB，则AE的长为　 　．

13．（4分）⊙O的弦AB长为43cm，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB的弦心距为　 　cm．
14．（4分）如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y2＝mx+n（m≠0）交于点A，B，点A，B的横坐标分别是﹣2，32，则不等式ax2+bx+c＜mx+n的解为　 　．

15．（4分）如图，⊙O的半径为6，MN为直径，AB，CD为弦，且AB∥MN∥CD，AB与CD的度数和为150°，则图中两块阴影部分面积和为　 　．

16．（4分）如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，连结BE，连结DA并延长交CE于点F，交BE于点G，CD＝6，EF＝2，那么EG的长为　 　．

三、解答题（本大题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17．（6分）如图所示，△ABC的各顶点都在8×8的网格中的格点（即各个小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长都为1，△ABC绕点A顺时针旋转90°得后到的△AB1C1．
（1）在图中画出△AB1C1．
（2）求出在△ABC旋转过程中点B经过的路线总长度．

18．（8分）小辉和小聪两人在玩转盘游戏时，把一个可以自由转动的转盘A分成3等份的扇形区域，把转盘B分成2等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），游戏规则：同时转动两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为2的倍数，则小辉获胜；若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，则小聪获胜，如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．在这个游戏中，小辉、小聪两人获胜的概率分别是多少？该游戏规则对双方公平吗？

19．（8分）某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？

20．（10分）如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m在点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABD为30°，∠ACD为45°．求气球A离地面的高度AD（结果保留根号）．

21．（10分）已知：如图OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，连结OD并延长交⊙O于点E，连结AE．
（1）求证：AD＝DB．
（2）若AO＝10，DE＝4，求AE的长．

22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x﹣m）（x+m+1），其中m≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（2，6），求函数y1的函数表达式．
（2）若一次函数y2＝mx+n的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数m，n满足的关系式．
（3）已知点P（x0，a）和Q（﹣1，b）在函数y1的图象上，若a＞b，求x0的取值范围．
23．（12分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）若AD是∠BAC的角平分线，AD交边BC于点D，经过D点作DE⊥AB于点E（如图（1）．请求出BE的长及tan∠BAC2的值．
（2）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B与AC交于点G．若BC＝CF，如图2，请证明：△ABC∽△BGC．
（3）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B与AC交于点G．若A′F＝A′G，如图3，请求出A'GGB的值（可以直接利用第（1）题求得的结论）．

2019学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知线段a，b，c，d满足ab＝cd，则把它改写成比例式正确的是（　　）
A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：A、∵a：d＝c：b，∴ab＝cd，故选项正确；
B、∵a：b＝c：d，∴ad＝bc，故选项错误；
C、∵c：a＝d：b，∴bc＝ad，故选项错误；
D、∵b：c＝a：d，∴ac＝bd，故选项错误．
故选：A．
【点评】考查了比例线段，掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．
2．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣1与坐标轴交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】当x＝0时，求出与y轴的纵坐标；当y＝0时，求出与x轴的交点横坐标，从而求出与坐标轴的交点．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣1，
则与y轴的交点坐标为（0，﹣1）；
当y＝0时，x2﹣2x﹣1＝0，
△＝8＞0．
则与x轴有两个交点；
综上所述，抛物线y＝x2﹣2x﹣1与坐标轴一共有3个交点．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，分别令x＝0，y＝0，将抛物线转化为方程是解题的关键．
3．（3分）抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
【分析】根据题意得新抛物线的顶点（﹣1，2），根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可设新抛物线的解析式为：y＝3（x﹣h）2+k，再把（﹣1，2）点代入即可得新抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，2），
可得新抛物线的解析式为：y＝3（x+1）2+2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
4．（3分）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们除颜色外其余都相同，随机从袋中摸出1个球，恰好是红球的概率为（　　）
A．12 B．34 C．13 D．23
【分析】直接利用概率公式求解；
【解答】解：从袋中摸出一个球是红球的概率=33+1=34；
故选：B．
【点评】考查了概率的公式，解题的关键是牢记概率的简单的求法，难度不大．
5．（3分）如图，点F，G分别在直线AB，CE上，AE∥FG∥BC，若AB＝3FB，EG＝6，则GC长为（　　）

A．3 B．52 C．2 D．32
【分析】先由AB＝3FB，AB＝AF+FB，得出AF＝2FB．再由AE∥FG∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出EGGC=AFFB=2，进而求出GC即可．
【解答】解：∵AB＝3FB，AB＝AF+FB，
∴AF＝2FB．
∵AE∥FG∥BC，
∴EGGC=AFFB=2，
∴GC=12EG，
∵EG＝6，
∴GC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
6．（3分）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（　　）
A．45° B．60° C．90° D．135°
【分析】利用圆内接四边形的对角互补得到∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：2，然后计算∠D的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：2，
而∠B+∠D＝180°，
∴∠D=24×180°＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
7．（3分）在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠a，那么钢管AB的长为（　　）

A．mcosa B．m•sina C．m•cosa D．msina
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∴sin∠ABC=ACAB，
∴AB=msinα，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
8．（3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（　　）

A．45° B．60° C．72° D．90°
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：360°n得到．
【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角＜AOB的度数为360°5=72°，
∴劣弧AB的度数是72°，
故选：C．

【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360°n是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，四边形DFGE和四边FBCG的面积分别是S1和S2，则S1：S2为（　　）

A．3：5 B．4：9 C．3：4 D．2：3
【分析】由题意可知：DE∥FG∥BC，推出△ADE∽△AFG∽△ABC，设△ADE的面积为m．求出S1，S2即可．
【解答】解：∵点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，
∴DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，设△ADE的面积为m．
∴S△ADES△AFD=（ADAF）2=14，
∴S△AFG＝4m，同法可得：S△ABC＝9m，
∴S1＝3m，S2＝5m，
∴S1：S2＝3：5，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
10．（3分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（﹣2，0），且满足9a+3b+c＜0．以下结论：①a+b＜0；②4a+c＜0；③对任何的x，都有y≥a4+b2+c；④a2﹣5ab＜bc．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】点（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得到b＝2a+12c，c＝2b﹣4a，①由9a+3b+c＜0，可得对称轴x=-b2a＞12，所以a+b＜0；②4a+c＝4a+2b﹣4a＝2b＜0；③当x=12时，y=a4+b2+c，对称轴x＞12，a2﹣5ab﹣bc＝a2﹣5ab﹣b（b﹣4a）＝a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b），由a+b＜0，b＜0，可得a2﹣5ab＜bc；
【解答】解：点（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得到b＝2a+12c，c＝2b﹣4a，
①∵9a+3b+c＜0，
∴当x＝3时，y＜0，
∴对称轴x=-b2a＞12，
∴a+ba＜0，
∵a＞0，
∴a+b＜0；
①正确；
②4a+c＝4a+2b﹣4a＝2b＜0，
②正确；
③当x=12时，y=a4+b2+c，
∵对称轴x＞12，
③不正确；
④a2﹣5ab﹣bc＝a2﹣5ab﹣b（2b﹣4a）＝a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b），
∵a+b＜0，b＜0，
∴（a﹣2b）（a+b）＜0，
∴a2﹣5ab＜bc；
④正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，整体代入思想，因式分解是解题主要方法；
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）计算：sin60•tan45°＝　32　．
【分析】根据sin60°=32，tan45°＝1即可求解．
【解答】解：∵sin60°=32，tan45°＝1，
∴sin60°•tan45°=32×1=32．
故答案为32．
【点评】本题主要考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握，比较简单．
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，DB=13AB，E为AC上一点，∠ADE＝∠ACB，则AE的长为　325　．

【分析】由∠ADE＝∠ACB，∠A是公共角，可证得△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝12，DB=13AB，
∴AD=23AB＝8，
∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
∴815=AE12，
∴AE=325，
故答案为：325．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．．
13．（4分）⊙O的弦AB长为43cm，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB的弦心距为　2　cm．
【分析】OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得AC=12AB＝23，再利用∠A＝∠B，∠AOB＝120°，得到∠A＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=33AC＝2．
【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，
∴AC＝BC=12AB＝23cm，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
而∠AOB＝120°，
∴∠A＝30°，
∴OC=33AC=33×23=2，
即AB的弦心距为2cm．
故答案为：2．

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
14．（4分）如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y2＝mx+n（m≠0）交于点A，B，点A，B的横坐标分别是﹣2，32，则不等式ax2+bx+c＜mx+n的解为　﹣2＜x＜32　．

【分析】由图象可知ax2+bx+c＜mx+n的解即为直线在抛物线上方时；
【解答】解：由图象可知ax2+bx+c＜mx+n的解即为直线在抛物线上方时，
∴﹣2＜x＜32；
故答案为﹣2＜x＜32；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数与不等式之间的关系，数形结合是关键．
15．（4分）如图，⊙O的半径为6，MN为直径，AB，CD为弦，且AB∥MN∥CD，AB与CD的度数和为150°，则图中两块阴影部分面积和为　15π　．

【分析】如图，连接OA，OB，OD，OC．设∠AOB＝α，∠DOC＝β．由AB∥MN∥CD，推出S△ODC＝S△CDN，S△AOB＝S△ABN，可得S阴＝S扇形OAB+S扇形ODC=α⋅π⋅62360+β⋅π⋅62360=π10（α+β）解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，OB，OD，OC．设∠AOB＝α，∠DOC＝β．
∵AB∥MN∥CD，
∴S△ODC＝S△CDN，S△AOB＝S△ABN，
∴S阴＝S扇形OAB+S扇形ODC=α⋅π⋅62360+β⋅π⋅62360=π10（α+β）=π10×150＝15π，
故答案为15π．

【点评】本题考查扇形的面积公式，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．（4分）如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，连结BE，连结DA并延长交CE于点F，交BE于点G，CD＝6，EF＝2，那么EG的长为　677　．

【分析】由等边三角形的性质可得BC＝AC，EC＝CD＝6，∠ACB＝∠ECD＝60°，由“SAS”可证△BCE≌△ACD，可得∠CEB＝∠CDA，可证点C，点D，点E，点G四点共圆，可得∠CED＝∠CGD＝60°＝∠EGD＝∠ECD，由角平分线的性质可得EFFC=GEGC=12，可设GE＝x，GC＝2x，由勾股定理可求GE的长．
【解答】解：连接CG，过点E作EM⊥CG，交CG延长线于点M，

∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，EC＝CD＝6，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠BAE＝∠ACD，且BC＝AC，EC＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠CEB＝∠CDA，
∴点C，点D，点E，点G四点共圆，
∴∠CED＝∠CGD＝60°，∠EGD＝∠ECD＝60°，
∴∠EGM＝60°，∠EGD＝∠CGD，
∴GD平分∠EGC，
∴EFFC=GEGC，
∵EC＝6，EF＝2，
∴FC＝4，
∴GEGC=12，
∴设GE＝x，GC＝2x，
∵∠EGM＝60°，EM⊥CG，
∴MG=x2，EM32x，
在Rt△EMC中，CE2＝CM2+ME2，
∴36=254x2+34x2，
∴x=677
∴GE=677
故答案为：677
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17．（6分）如图所示，△ABC的各顶点都在8×8的网格中的格点（即各个小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长都为1，△ABC绕点A顺时针旋转90°得后到的△AB1C1．
（1）在图中画出△AB1C1．
（2）求出在△ABC旋转过程中点B经过的路线总长度．

【分析】（1）分别作出B，C的对应点B1，C1即可．
（2）利用弧长公式即可计算．
【解答】解：（1）△AB1C1即为所求．


（2）∵AB=22+32=13
∴点B经过的路线总长度=90⋅π⋅13180=132π．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（8分）小辉和小聪两人在玩转盘游戏时，把一个可以自由转动的转盘A分成3等份的扇形区域，把转盘B分成2等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），游戏规则：同时转动两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为2的倍数，则小辉获胜；若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，则小聪获胜，如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．在这个游戏中，小辉、小聪两人获胜的概率分别是多少？该游戏规则对双方公平吗？

【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，计算出小辉获胜的概率和小聪两人获胜的概率，然后通过比较概率的大小判断该游戏规则对双方是否公平．
【解答】解：画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中小辉获胜的概率=36=12，小聪两人获胜的概率=26=13，
因为12＞13，
所以该游戏规则对双方不公平．
【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
19．（8分）某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？

【分析】（1）设饲养室长为x（m），则宽为14（60﹣x）m，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长≤40m可得x的范围；
（2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝x⋅14（60﹣x）=-14x2+15x，
自变量的取值范围为：0＜x≤40；
（2）∵y=-14x2+15x=-14（x﹣30）2+225，
∴当x＝30时，三间饲养室占地总面积最大，最大为225（m2）．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题．
20．（10分）如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m在点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABD为30°，∠ACD为45°．求气球A离地面的高度AD（结果保留根号）．

【分析】设AD＝x，由题意得出CD＝AD＝x，BD=3AD=3x，由BC＝BD﹣CD＝20，得出方程3x﹣x＝20，解方程即可．
【解答】解：设AD＝x，
∵AD⊥CD，∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝x，
∵AD⊥BD，∠ABD＝30°，
∴BD=3AD=3x，
∵BC＝BD﹣CD＝20，
∴3x﹣x＝20，
解得：x＝103+10；
答：气球A离地面的高度AD为（103+10）m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角是向上看的视线与水平线的夹角、俯角是向下看的视线与水平线的夹角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．（10分）已知：如图OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，连结OD并延长交⊙O于点E，连结AE．
（1）求证：AD＝DB．
（2）若AO＝10，DE＝4，求AE的长．

【分析】（1）由OA是⊙C的直径知OD⊥AB，在⊙O中依据垂径定理可得；
（2）在Rt△ADO中求得AD＝8，再在Rt△ADE中利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）在⊙C中，∵OA是直径，
∴∠ADO＝90°，即OD⊥AB，
在⊙O中，由OD⊥AB知AD＝BD；

（2）∵AO＝EO＝10，DE＝4，且∠ADO＝90°，
∴OD＝6，AD＝8，
在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2=82+42=45．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理与垂径定理等知识点．
22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x﹣m）（x+m+1），其中m≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（2，6），求函数y1的函数表达式．
（2）若一次函数y2＝mx+n的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数m，n满足的关系式．
（3）已知点P（x0，a）和Q（﹣1，b）在函数y1的图象上，若a＞b，求x0的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；
（3）根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）由函数y1的图象经过点（2，6），得：
（2﹣m）（3+m）＝6，
解得：m＝0或m＝﹣1，
又m≠0，
∴m＝﹣1，
则函数y1的函数表达式为y＝（x+1）x＝x2+x；

（2）当y＝0时，（x﹣m）（x+m+1）＝0，
解得：x1＝m，x2＝﹣m﹣1，
∴y1的图象与x轴的交点为（m，0），（﹣m﹣1，0），
当y2＝mx+n的图象过点（m，0）时，m2+n＝0，即n＝﹣m2；
当y2＝mx+n的图象过点（﹣m﹣1，0）时，﹣m2﹣m+n＝0，即n＝m2+m；
综上，n＝﹣m2或n＝m2+m；

（3）∵抛物线的对称轴为直线x=m+(-m-1)2=-12，
∴点Q（﹣1，b）关于对称轴的对称点为（0，b），
当点P在对称轴左侧时，由a＞b知x0＜﹣1；
当点P在对称轴右侧时，由a＞b知x0＞0；
综上，若a＞b，则x0的取值范围是x0＜﹣1或x0＞0．
【点评】本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
23．（12分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
（1）若AD是∠BAC的角平分线，AD交边BC于点D，经过D点作DE⊥AB于点E（如图（1）．请求出BE的长及tan∠BAC2的值．
（2）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B与AC交于点G．若BC＝CF，如图2，请证明：△ABC∽△BGC．
（3）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B与AC交于点G．若A′F＝A′G，如图3，请求出A'GGB的值（可以直接利用第（1）题求得的结论）．
【分析】（1）证明△ADE≌△ADC（AAS），可得CD＝DE，AE＝AC＝8，推出BE＝AB﹣AE＝2，设CD＝DE＝x，则BD＝6﹣x，再根据勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
（3）如图3中，作A′H⊥AC于H．利用相似三角形的性质求出A′G，GB即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=62+82=10，
∵AD是角平分线，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（AAS），
∴CD＝DE，AE＝AC＝8，
∴BE＝AB﹣AE＝2，设CD＝DE＝x，则BD＝6﹣x，
∵∠DEB＝90°，
∴（6﹣x）2＝22+x2，
∴x=83，
∴tan∠BAC2=tan∠DAC=CDAC=838=13．

（2）如图2中，

∵BC＝CF，∠C＝90°，
∴∠BFC＝∠CBF＝45°，
∴∠A+∠ABF＝∠BFC＝∠CBF＝∠FBG+∠GBC，
由对称的性质可知：∠ABF＝∠GBF，
∴∠GBC＝∠A，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BGC．

（3）如图3中，作A′H⊥AC于H．

∵A′F＝A′G，A′H⊥FG，
∴FH＝GH，∠HA′G=12∠FA′G=12∠A＝∠DAC，
∴tan∠HA′G＝tan∠DAC=13，
∵∠HA′G＝∠C＝90°，又∵∠HGA′＝∠CGB，
∴△HGA′∽△CGB，
∴∠CBG＝∠GA′H=12∠A，且A'GGB=GHGC，tan∠CBG＝tan12∠A=13，
∵BC＝6，∠C＝90°，
∴CG＝2，AG＝6，设FH＝GH＝x，
∵tan∠HA′G=13，
∴A′H＝3x，AF＝A′G=10x，
∴10x+2x＝6，
∴x=10-2，
∴HG＝FH=10-2，BG＝210
∴A′G＝A′B﹣BG＝AB﹣BG＝10﹣210，
∴A'GGB=10-210210=10-22．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2019/12/22 11:24:38；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521













2019学年浙江省杭州市经济开发区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1．（3分）已知a2=b3（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（　　）
A．ba=23 B．2a=3b C．a3=b2 D．a3=2b
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则（　　）
A．sinA=ab B．cosA=ac C．sinB=bc D．tanB=ab
3．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为5
B．任意画一个三角形，它的内角和是178°
C．任意写一个数，这个数大于﹣1
D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行
4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，则（　　）

A．∠AOB＝80°，AB的度数为80°
B．∠AOB＝80°，AB的度数为40°
C．∠AOB＝40°，AB的度数为80°
D．∠AOB＝40°，AB的度数为40°
5．（3分）关于二次函数y＝3x2﹣6，下列叙述正确的是（　　）
A．当x＝3时，y有最大值﹣6 B．当x＝3时，y有最小值﹣6
C．当x＝0时，y有最大值﹣6 D．当x＝0时，y有最小值﹣6
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交l1、l2、l3于点D、E、F，已知BCAC=37，若DE＝3，则DF的长是（　　）

A．94 B．4 C．214 D．7
7．（3分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（　　）
A．18π B．27π C．36π D．54π
8．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC，若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则△DBF与△ADE的面积之比为（　　）

A．12 B．14 C．2-1 D．3-22
9．（3分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，4）、B（2，4），若二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象与线段AB只有一个交点，则（　　）
A．a的值可以是-43 B．a的值可以是35
C．a的值不可能是﹣1.2 D．a的值不可能是1
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF＝1.25DF，则tan∠ABD的值为（　　）

A．23 B．33 C．35 D．54
二、填空题：本題有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被3整除的概率是　 　．
12．（4分）计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝　 　．
13．（4分）铁路道口的栏杆如图所示，AO＝16.5米，CO＝1.25米，当栏杆C端下降的垂直距离（CD）为0.5米时，栏杆A端上升的垂直距离（AB）为　 　米．

14．（4分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示：
①当y＜0时，x的取值范围是　 　；
②方程ax2+bx+c＝3的解是　 　．

15．（4分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB为4.2米，则该隧道最高点距离地面　 　米．

16．（4分）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E、F分别在边AB、AC上，将△AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点D恰好落在边BC上．若△BDE是直角三角形，则CF的长为　 　．

三、解答题本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）已知二次函数y＝2x2+bx+1的图象过点（2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，求点P的坐标．
18．（8分）如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00在点A处测得小岛O在北偏东60°方向的163km处；上午8：30轮船到达B处，测得小岛O在北偏东30°方向．
（1）求轮船从A处到B处的航速；
（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？

19．（8分）把9个只有颜色不同的小球分别装入甲乙丙三个布袋里其中甲布袋里有3个红球，1个白球；乙布袋里有1个红球，2个白球；丙布袋里有1个红球，1个白球．
（1）从甲布袋中随机摸出1个小球，摸出的小球是红球的概率是多少？
（2）用列表法或画树状图，解决下列问题：
①从甲、乙两个布袋中随机各摸出1个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率；
②从甲、乙、丙三个布袋中随机各摸出1个小球，求摸出的三个小球是一红二白的概率．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6．点D在边AB上，AD＝4.5．△ABC的角平分线AE交CD于点F．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）求AFAE的值．

21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．
（1）求∠BOD的度数；
（2）求证：四边形OBCD是菱形；
（3）若⊙O的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．

22．（12分）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．

23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE．
（2）若DE=6，AB＝6，求AE的长．
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的23，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．


2019学年浙江省杭州市经济开发区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1．（3分）已知a2=b3（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（　　）
A．ba=23 B．2a=3b C．a3=b2 D．a3=2b
【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．
【解答】解：A、由ba=23得：2a＝3b，故选项A不正确；
B、由ba=32得：3a＝2b，故选项B正确；
C、由a3=b2得：2a＝3b，故选项C不正确；
D、由a3=2b得：ab＝6，故选项D不正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则（　　）
A．sinA=ab B．cosA=ac C．sinB=bc D．tanB=ab
【分析】根据三角函数的定义解答即可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
∴sinA=ac，cosA=bc，sinB=bc，tanB=ba，
故选：C．

【点评】本题主要考查了正切函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
3．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为5
B．任意画一个三角形，它的内角和是178°
C．任意写一个数，这个数大于﹣1
D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行
【分析】不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，依据定义即可求解．
【解答】解：A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为5是随机事件；
B．任意画一个三角形，它的内角和是178°是不可能事件；
C．任意写一个数，这个数大于﹣1是随机事件；
D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行是随机事件；
故选：B．
【点评】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件，理解定义是关键．
4．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，则（　　）

A．∠AOB＝80°，AB的度数为80°
B．∠AOB＝80°，AB的度数为40°
C．∠AOB＝40°，AB的度数为80°
D．∠AOB＝40°，AB的度数为40°
【分析】利用圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∴AB的度数为80°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，弧的度数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考掌考题型．
5．（3分）关于二次函数y＝3x2﹣6，下列叙述正确的是（　　）
A．当x＝3时，y有最大值﹣6 B．当x＝3时，y有最小值﹣6
C．当x＝0时，y有最大值﹣6 D．当x＝0时，y有最小值﹣6
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【解答】解：∵y＝3x2﹣6，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，﹣6），
∴当x＝0时，y有最小值﹣6；
∴D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF交l1、l2、l3于点D、E、F，已知BCAC=37，若DE＝3，则DF的长是（　　）

A．94 B．4 C．214 D．7
【分析】由直线l1∥l2∥l3可得出BCAB=EFDE，结合BCAC=37，AC＝AB+BC可得出BCAB的值，进而可得出EF=34DE=94，再将其代入DF＝DE+EF中即可求出结论．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴BCAB=EFDE．
∵BCAC=37，AC＝AB+BC，
∴BCAB=37-3=34，
∴EF=34DE=94，
∴DF＝DE+EF=214．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
7．（3分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（　　）
A．18π B．27π C．36π D．54π
【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：设扇形的半径为r．
由题意：120⋅π⋅r180=6π，
∴r＝9，
∴S扇形=120⋅π⋅92360=27π，
故选：B．
【点评】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC，若△ADE与四边形DBCE的面积相等，则△DBF与△ADE的面积之比为（　　）

A．12 B．14 C．2-1 D．3-22
【分析】根据矩形的性质得到DE＝CF，根据相似三角形的性质得到S△ADES△ABC=（DEBC）2=12，求得DEBC=22，设DE=2k，BC＝2k，得到BF＝2k-2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝CF，
∵△ADE与四边形DBCE的面积相等，
∴S△ADES△ABC=12，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=（DEBC）2=12，
∴DEBC=22，
设DE=2k，BC＝2k，
∴BF＝2k-2k，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴△DBF∽△ADE，
∴S△BDFS△ADE=（BFDE）2＝（2k-2k2k）2＝3﹣22，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，4）、B（2，4），若二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象与线段AB只有一个交点，则（　　）
A．a的值可以是-43 B．a的值可以是35
C．a的值不可能是﹣1.2 D．a的值不可能是1
【分析】先把B（2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得a=-43，此时抛物线与线段AB有两个公共点，所以当抛物线与线段AB只有一个交点时，a＜-43；把A（﹣2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得a=45，则当抛物线与线段AB只有一个交点时，a≥45，然后利用a的范围对各选项解析式判断．
【解答】解：把B（2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得4a﹣4a﹣3a＝4，解得a=-43，则当抛物线与线段AB只有一个交点时，a＜-43；
把A（﹣2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得4a+4a﹣3a＝4，解得a=45，则当抛物线与线段AB只有一个交点时，a≥45．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF＝1.25DF，则tan∠ABD的值为（　　）

A．23 B．33 C．35 D．54
【分析】由△ADF∽△BDA，推出AD2＝DF•DB，由BF＝1.25DF，可以假设DF＝4m，则BF＝5m，BD＝9m，可得AD＝6m，根据tan∠ABD=ADBD计算即可解决问题．
【解答】解：∵AD=DC，
∴∠DAF＝∠DBA，
∵∠ADF＝∠ADB，
∴△ADF∽△BDA，
∴ADBD=DFAD，
∴AD2＝DF•DB，
∵BF＝1.25DF，
∴可以假设DF＝4m，则BF＝5m，BD＝9m，
∴AD2＝36m2，
∵AD＞0，
∴AD＝6m，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴tan∠ABD=ADBD=6m9m=23，
故选：A．

【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题：本題有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被3整除的概率是　13　．
【分析】根据概率公式可得．
【解答】解：抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6种可能，
其中所得的点数能被3整除的有3、6这两种，
∴所得的点数能被3整除的概率为26=13，
故答案为：13．
【点评】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12．（4分）计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝　0　．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：cos245°﹣tan30°sin60°=12-33×32=12-12=0，
故答案为：0．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（4分）铁路道口的栏杆如图所示，AO＝16.5米，CO＝1.25米，当栏杆C端下降的垂直距离（CD）为0.5米时，栏杆A端上升的垂直距离（AB）为　6.6　米．

【分析】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，利用相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则AOCO=ABCD，
即16.51.25=AB0.5，
解得：AB＝6.6米，
故答案为：6.6
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
14．（4分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示：
①当y＜0时，x的取值范围是　x＜﹣5或x＞1　；
②方程ax2+bx+c＝3的解是　x1＝﹣4，x2＝0　．

【分析】①利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；
②抛物线与y轴的交点为（0，3），利用抛物线对称性得到抛物线过点（﹣4，0），从而得到方程ax2+bx+c＝3的解．
【解答】解：①∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），
∴当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣5或x＞1；
②方程ax2+bx+c＝3的解为x1＝﹣4，x2＝0．
故答案为x＜﹣5或x＞1；x1＝﹣4，x2＝0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
15．（4分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB为4.2米，则该隧道最高点距离地面　6.3　米．

【分析】连接OA．由垂径定理可知AD＝DB＝2.1，利用勾股定理求出OD即可解决问题．
【解答】解：连接OA．

∵OD⊥AB，
∴AD＝DB＝2.1米，
在Rt△AOD中，OD=OA2-AD2=3．52-2．12=2.8（米），
∴CD＝OC+OD＝6.3（米）
故答案为6.3．
【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（a2）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
16．（4分）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E、F分别在边AB、AC上，将△AEF沿直线EF折叠，使点A的对应点D恰好落在边BC上．若△BDE是直角三角形，则CF的长为　7249或98　．

【分析】分两种情况：①∠BED＝90°，过点F作FM⊥AE，根据折叠性质可知∠AEF＝∠DEF＝45°，设FC＝a，则AF＝3﹣a，在Rt△AMF中用a表示出AE，从而得到BE＝5﹣AE，在Rt△BED中，根据三角函数用a表示BE，则构造出关于a的方程；②∠BDE＝90°，证明∠A＝∠DFC，根据三角函数找到FC和DF关系即可．
【解答】解：①当∠BED＝90°时，过点F作FM⊥AE，
根据折叠性质可知∠AEF＝∠DEF＝45°，
设FC＝a，则AF＝3﹣a，在Rt△AMF中，
sinA=MFAF=45，∴MF=45(3-a)=ME．
cosA=AMAF=35，∴AM=35(3-a)．
∴AE＝AM+MF=75(3-a)=DE．
则BE＝AB﹣AE＝5-75(3-a)．
在Rt△BED中，tanB=DEBE=34，∴BE=2815(3-a)．
∴5-75(3-a)=2815(3-a)，解得a=7249；
②当∠EDB＝90°时，
根据折叠性质可知AF＝FD，∠A＝∠EDF，
∵ED∥AC，∴∠EDF＝∠DFC．
∴∠A＝∠DFC．
∴cosA＝cos∠DFC=35，设FC＝x，则AF＝3﹣x＝DF，
∴x3-x=35，解得x=98．
综上所述CF长为7249或98．

【点评】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，同时还考查了分类讨论的数学思想．
三、解答题本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（6分）已知二次函数y＝2x2+bx+1的图象过点（2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，求点P的坐标．
【分析】（1）把点（2，3）代入二次函数的解析式，解方程即可得到结论；
（2）把点P（m，m2+1）代入函数解析式，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x2+bx+1的图象过点（2，3），
∴3＝8+2b+1，
∴b＝﹣3，
∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣3x+1；
（2）∵点P（m，m2+1）也在该二次函数的图象上，
∴m2+1═2m2﹣3m+1，
解得：m1＝0，m2＝3，
∴点P的坐标为（0，1）或（3，10）．
【点评】本题考查了求二次函数的表达式，二次函数图象上点的坐标特征，正确的求得解析式是解题的关键．
18．（8分）如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00在点A处测得小岛O在北偏东60°方向的163km处；上午8：30轮船到达B处，测得小岛O在北偏东30°方向．
（1）求轮船从A处到B处的航速；
（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？

【分析】（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，构造直角三角形利用特殊角的三角函数值先求出AB，再利用路程、速度和时间间关系求出轮船的航速；
（2）过点O作∠DOE＝45°交AD的延长线与点E．求出BE的长，再求轮船航行的时间．
【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为D．
有题意知：∠OAD＝30°，∠OBD＝60°．
在Rt△OAD中，∵OA＝163，∠OAD＝30°，
∴OD＝83，AD＝24．
在Rt△OBD中，∵OD＝83，∠OBD＝60°．
∴BD=ODtan60°=833=8，
∴AB＝AD﹣BD＝24﹣8＝16（km），
∴v=160.5=32（km/h）
答：轮船从A处到B处的航速为32km/h．
（2）过点O作∠DOE＝45°交AD的延长线与点E．
∵∠DOE＝45°，∠ODE＝90°，
∴DE＝OD＝83km，
BE＝BD+DE＝8+83（km），
∵8+8332=1+34（h），
答：轮船按原速继续向东航行，还需要航行1+34小时才恰好位于小岛的东南方向．


【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数求解是解答此题的关键．
19．（8分）把9个只有颜色不同的小球分别装入甲乙丙三个布袋里其中甲布袋里有3个红球，1个白球；乙布袋里有1个红球，2个白球；丙布袋里有1个红球，1个白球．
（1）从甲布袋中随机摸出1个小球，摸出的小球是红球的概率是多少？
（2）用列表法或画树状图，解决下列问题：
①从甲、乙两个布袋中随机各摸出1个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率；
②从甲、乙、丙三个布袋中随机各摸出1个小球，求摸出的三个小球是一红二白的概率．
【分析】（1）根据概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）从甲布袋中随机摸出1个小球，摸出的小球是红球的概率是34；

（2）①画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中摸出的两个小球都是红球的有3种结果，
∴摸出的两个小球都是红球的概率为312=14；
②画树状图如下：

由树状图知，共有24种等可能结果，其中摸出的三个小球是一红二白的有9种结果，
∴摸出的三个小球是一红二白的概率为924=38．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6．点D在边AB上，AD＝4.5．△ABC的角平分线AE交CD于点F．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）求AFAE的值．

【分析】（1）由AB，AC，AD的长可得出ACAB=ADAC，结合∠CAD＝∠BAC即可证出△ACD∽△ABC；
（2）利用相似三角形的性质可得出∠ACD＝∠B，由AE平分∠BAC可得出∠CAF＝∠BAE，进而可得出△ACF∽△BAE，再利用相似三角形的性质即可求出AFAE的值．
【解答】（1）证明：∵AB＝8，AC＝6，AD＝4.5，
∴ACAB=ADAC=34．
又∵∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAF＝∠BAE，
∴△ACF∽△BAE，
∴AFAE=ACAB=34．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”找出△ACD∽△ABC；（2）利用“两角对应相等，两个三角形相似”找出△ACF∽△BAE．
21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD．
（1）求∠BOD的度数；
（2）求证：四边形OBCD是菱形；
（3）若⊙O的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．

【分析】（1）结合圆的内接四边形对角互补，运用方程思想，再运用圆周角定理求解即可；
（2）连接OC，证明△BOC和△DOC都是等边三角形，进而即可证明结论；
（3）分别计算△BOD，△AOD和△AOB的面积，再求和即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠BAD＝180°，
∵∠C＝2∠BAD，
∴∠C＝120°，∠BAD＝60°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝120°；
（2）如图1连接OC，

∵BC＝CD，
∴∠BOC＝∠DOC＝60°，
∵OB＝OC＝OD，
∴△BOC和△DOC都是等边三角形，
∴OB＝OC＝OD＝BC＝DC，
∴四边形OBCD是菱形，
（3）如图2，连接OA，过点A作BO的垂线交BO的延长线于点N，

∵∠BOD＝120°，OB＝OD，
∴∠ODM＝30°，
∵∠BOM＝∠DOM，
∴OM⊥BD，
∴OM=12r，DM=32r，
∴BD＝2DM=3，
∴S△BOD=34r2，
∵∠ODA＝45°，OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴S△AOD=12r2，
∵∠BOD＝120°，∠AOD＝90°，
∴∠AOB＝150°，
∴∠AON＝30°，
∴AN=12OA=12r，
∴S△AOB=14r2，
∴△ABD的面积为34r2+12r2+14r2＝（34+34）r2．
【点评】此题主要考查圆的综合问题，会运用圆的相关性质进行推理，会进行菱形的判定，会计算三角形的面积是解题的关键．
22．（12分）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．

【分析】（1）①设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；
②列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；
（2）设AB＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法解答．
【解答】解：（1）①设AB的长是x米，则AD＝20﹣3x，
根据题意得，x（20﹣3x）＝25，
解得：x1＝5，x2=53，
当x=53时，AD＝15＞6，
∴x＝5，
∴AD＝5，
答：AD的长是5米；
②设BC的长是x米，矩形花圃的最大面积是y平方米，则AB=13[20﹣x﹣（x﹣6）]=263-23x，
根据题意得，y＝x（263-23x）=-23x2+263x=-23(x-132)2+1696（x＞6），
∴当x=132时，y有最大值为1696．
答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1696平方米；

（2）设BC＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，
按图甲的方案，S＝x×20-x3=-13x2+203x=-13(x-10)2+1003，
∴在x＝a＜10时，S的值随x的增大而增大，
∴当x＝a的最大值n时，S的值最大，为S-13(n-10)2+1003；
按图乙方案，S=13[20﹣x﹣（x﹣a）]x=-23(x-a+204)2+(a+20)224，
∴当x=a+204时，S的值最大为S=(a+20)224，此时a取最大值n时，S的值最大为S=(n+20)224；
∵(n+20)224-[-13（n﹣10）2+1003]=9n2-120n+40024＞0，
∴(n+20)224＞-13(n-10)2+1003，
故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确列出一元二次方程和函数解析式，运用函数的性质解答．
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE．
（2）若DE=6，AB＝6，求AE的长．
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的23，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．

【分析】（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及圆的有关性质即可证明；
（2）先证△CDE∽△CAB得CECB=DEAB，据此求得CE的长，依据AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE可得答案；
（3）由BD＝CD知S△CDE＝S△BDE，证△OBF∽△ABE得S△OBFS△ABE=（OBAB）2=14，据此知S△ABE＝4S△OBF，结合S△CDES△OBF=23知S△ABE＝6S△CDE，S△CAB＝8S△CDE，由△CDE∽△CAB知S△CDES△CAB=（CDCA）2=18，据此得出CDCA=122，结合BD＝CD，AB＝AC知BCAB=12，从而得出答案．
【解答】解：（1）连接AD，

∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD，BD＝CD，
∴BD=ED，
∴OD⊥BE；

（2）∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝26，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴CECB=DEAB，即CE26=66，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝4；

（3）∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∵△OBF∽△ABE，
∴S△OBFS△ABE=（OBAB）2=14，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∵S△CDES△OBF=23，
∴S△ABE＝4S△OBF＝6S△CDE，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝8S△CDE，
∵△CDE∽△CAB，
∴S△CDES△CAB=（CDCA）2=18，
∴CDCA=122，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴BCAB=12，即AC=2BC．
【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质及等底共高三角形的面积关系的问题．









2019学年浙江省湖州市吴兴区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）已知两个相似三角形的对应边之比为1：3，则它们的周长比为（　　）
A．1：9 B．9：1 C．1：6 D．1：3
2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．三角形任意两边之差小于第三边
C．一个三角形三个内角之和大于180°
D．在只有红球的盒子里摸到白球
3．（3分）将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（　　）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
4．（3分）已知圆心角为60°的扇形面积为24π，那么扇形的半径为（　　）
A．12 B．6 C．4π D．2π
5．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF分别与l1，l2，l3相交于点A，B，C和点D，E，F，若ABBC=13，DE＝3，则EF等于（　　）

A．6 B．8 C．9 D．12
6．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，tanA=12，则AB的长是（　　）

A．35 B．65 C．12 D．6
7．（3分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
8．（3分）已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣4x+m上的点，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
9．（3分）如图，在6×8的正方形网格中，共有48个边长为1的小正方形．A，B，C，D，E都是正方形网格上的格点．连接DE、DB交AC于点P、Q，则PQ的值是（　　）

A．43 B．53 C．4033 D．4733
10．（3分）如图，探究：用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则弧HR的弧长为（　　）

A．π2 B．24π C．34π D．52π
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若ab=34，则a+bb=　 　．
12．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是　 　．
13．（4分）一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的5个小球．其中黄球有2个，红球有2个，蓝球有1个，随机摸出一个小球为红球的概率是　 　．
14．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD是斜边AB上的高线，以点C为圆心，2.5为半径作圆，则点D在圆　 　（填“外”，“内”，“上”）．

15．（4分）⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，63），M是圆上一点，∠BMO＝150°．则圆心C的坐标为　 　．

16．（4分）如图，一组抛物线的顶点A1（x1，y1），A2（x2，y2），…An（xn，yn）（n为正整数）依次是反比例函数y=7x图象上的点，第一条抛物线以A1（x1，y1）为顶点且过点O（0，0），B1（2，0），等腰△A1OB1为第一个三角形；第二条抛物线以A2（x2，y2）为顶点且经过点B1（2，0），B2（4，0），等腰△A2B1B2为第二个三角形；…；第n条抛物线以An（xn，yn）为顶点且经过点Bn﹣1（2n﹣2，0），Bn（2n，0），等腰△AnBn﹣1Bn为第n个三角形．
（1）写出满足△AnBn﹣1Bn的面积为整数的n的值　 　．
（2）若第n条抛物线为y＝anx2+bnx+cn满足10an+5bn+cn＝0，称“滑翔抛物线”，试求出满足条件的“滑翔抛物线”解析式为　 　．

三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：4sin45°+3tan230°-8
18．（6分）已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．

19．（6分）每年11月9日为消防宣传日，今年“119”消防宣传月活动的主题是“全民参与，防治火灾”．为响应该主题，吴兴区消防大队到某中学进行消防演习．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为5.2m．当起重臂AC长度为16m，张角∠HAC为130°时，求操作平台C离地面的高度（结果精确到0.1m）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

20．（8分）近年来，吴兴区坚定不移地践行“绿水青山就是金山银山”发展理念，跑出了乡村旅游发展的“吴兴速度”．已成功打造了汇聚文化体验、乡村休闲、养生养老等多元业态的西塞山省级旅游度假区，拥有A﹣菰城景区；B﹣原乡小镇；C﹣丝绸小镇•西山漾；D﹣台湾风情小镇；E﹣古梅花观等高品质景区．吴兴区某中学九年级开展了“我最喜爱的旅游景区”的抽样调查（每人只能选一项）．根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，其中B对应的圆心角为900．请根据图中信息解答下列问题：
（1）此次抽取的九年级学生共　 　人，m＝　 　，并补全条形统计图；
（2）九年级准备在最喜爱原乡小镇的4名优秀学生中任意选择两人去实地考察，这4名学生中有2名男生和2名女生，用树状图或列表法求选出的两名学生都是男生的概率．

21．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．

22．（10分）吴兴区文体中心，位于湖州市吴兴区东部新城，于今年上半年完全竣工，现已投入使用．其中体育馆可容纳四千人同时观看比赛．现C区有座位400个，某赛事试营销阶段发现：当票价为80元时，可售出C区票280张，若每降价1元，可多售出6张票．设降价x元（x取正整数）时，可售出观赛座位票y张．
（1）求出y关于x的函数关系式；
（2）设C区的总票价为W元，求W关于x的函数关系式，并求出W的最大值；
（3）求当票价为多少元时，C区的总共售票收入为23800元．

23．（10分）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）并缩短一半得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β并缩短一半得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋半中线”，点A叫做“旋半中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝　 　BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝4时，则AD长为　 　．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用：
（3）如图4，在平面直角坐标系中，△ABC的坐标分别是A（4，3），B（1，0），C（5，0），△AB′C′是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中线”，连结OD，求OD的最大值是多少？并请直接写出当OD最大时点D的坐标．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-14x2+x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为D，抛物线对称轴与x轴交点为E．
（1）求直线BD的解析式．
（2）点M（m，0），N（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，MM′，NN′分别垂直于x轴交抛物线于M′，N′，交直线BD于点P，Q．试求：当m为何值时，M′P+N′Q的值最大．
（3）在（2）的条件下，作NN′的中垂线l交MM′于点R．现将△RNN′以每秒一个单位的速度向左平移，当点R运动到△ADE的中线AT上时，三角形停止运动．设平移的时间为t秒（t＞1），设△RNN′与△ADE重叠部分的面积为S，试求S关于t的函数解析式．


2019学年浙江省湖州市吴兴区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）已知两个相似三角形的对应边之比为1：3，则它们的周长比为（　　）
A．1：9 B．9：1 C．1：6 D．1：3
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：3，
∴它们对应周长的比为1：3．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．
2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．三角形任意两边之差小于第三边
C．一个三角形三个内角之和大于180°
D．在只有红球的盒子里摸到白球
【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
B、三角形任意两边之差小于第三边，是必然事件，故此选项正确；
C、一个三角形三个内角之和大于180°，是不可能事件，故此选项错误；
D、在只有红球的盒子里摸到白球，是不可能事件，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了随机事件以及必然事件，正确把握相关定义是解题关键．
3．（3分）将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（　　）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2向右平移3个单位，
能得到的抛物线是y＝2（x﹣3）2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．（3分）已知圆心角为60°的扇形面积为24π，那么扇形的半径为（　　）
A．12 B．6 C．4π D．2π
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：设扇形的半径为r．
由题意：60⋅π⋅r2360=24π，
∴r2＝144，
∵r＞0，
∴r＝12，
故选：A．
【点评】本题考查扇形的面积公式，解题的关键是记住扇形的面积公式：S扇形=n⋅π⋅r2360．
5．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF分别与l1，l2，l3相交于点A，B，C和点D，E，F，若ABBC=13，DE＝3，则EF等于（　　）

A．6 B．8 C．9 D．12
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，ABBC=13，
∴ABBC=DEEF，
即13=3EF，
解得：EF＝9，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
6．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，tanA=12，则AB的长是（　　）

A．35 B．65 C．12 D．6
【分析】由BC＝ACtanA求出BC的长，再根据勾股定理计算可得．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵tanA=BCAC，
∴BC＝ACtanA＝6×12=3，
则AB=AC2+BC2=62+32=35，
故选：A．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义和勾股定理．
7．（3分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC＝5cm，弦DE＝8cm，则直尺的宽度为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长
【解答】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，
∵OF过圆心，
∵DE＝8cm，
∴EF=12DE＝4cm，
∵OC＝5cm，
∴OE＝5cm，
∴OF=OE2-EF2=52-42=3cm．
故选：C．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再根据垂径定理及勾股定理进行解答．
8．（3分）已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣4x+m上的点，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断出y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵物线y＝﹣x2﹣4x+m＝﹣（x+2）2+4+m，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，开口向下，
∵（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣4x+m上的点，1﹣（﹣2）＝3，（﹣2）﹣（﹣2）＝0，（﹣2）﹣（﹣4）＝2，
∴y1＜y3＜y2，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．（3分）如图，在6×8的正方形网格中，共有48个边长为1的小正方形．A，B，C，D，E都是正方形网格上的格点．连接DE、DB交AC于点P、Q，则PQ的值是（　　）

A．43 B．53 C．4033 D．4733
【分析】根据勾股定理求出AC，根据相似三角形的性质分别求出AQ、AP，计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AC=62+82=10，
∵AB∥CD，
∴△AQB∽△CQD，△APE∽△CPD，
∴AQQC=ABCD，APPC=AECD，
即AQ10-AQ=56，AP10-AP=12，
解得，AQ=5011，AP=103，
则PQ＝AQ﹣AP=4033，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10．（3分）如图，探究：用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则弧HR的弧长为（　　）

A．π2 B．24π C．34π D．52π
【分析】连接AM，MH，MR．首先证明△AMH是等腰直角三角形，利用弧长公式计算机可解决问题．
【解答】解：连接AM，MH，MR．

∵AM＝MH＝25，AH＝210，
∴AM2+MH2＝AH2，
∴∠AMH＝90°，
∴△AMH是等腰直角三角形，
∵∠MPH＝90°，
∴MH是圆的直径，
∴∠MRH＝90°，
∴MR⊥AH，
∴∠RMH＝∠RMA＝45°，
∴弧RH所对的圆心角为90°，
∴HR的长=90⋅π⋅5180=5π2．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是弧长的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若ab=34，则a+bb=　74　．
【分析】设a＝3k，b＝4k，则代入计算即可．
【解答】解：∵ab=34，
∴设a＝3k，b＝4k，
∴a+bb=3k+4k4k=74．
故答案为：74．
【点评】本题是基础题，考查了比例的性质，比较简单．设出a＝3k，b＝4k是解此题的关键．
12．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是　（2，3）　．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）
【点评】考查将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．
13．（4分）一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的5个小球．其中黄球有2个，红球有2个，蓝球有1个，随机摸出一个小球为红球的概率是　25　．
【分析】利用红球的个数÷球的总个数可得红球的概率．
【解答】解：∵一个口袋里有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个黄球，1个蓝球，2个红球，
∴摸到红球的概率是25；
故答案为：25．
【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD是斜边AB上的高线，以点C为圆心，2.5为半径作圆，则点D在圆　内　（填“外”，“内”，“上”）．

【分析】直角三角形中根据勾股定理可以计算AB的长度，CD为AB边上的高，根据面积法AC×BC＝AB×DC可以求得CD的长，与半径比较后即可得到点D与圆的位置关系．
【解答】解：直角△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
AC＝4，BC＝3，
∴AB=AC2+BC2=5，
△ABC的面积S=12•AC•BC=12•AB•CD
CD=AC⋅BCAB=125．
∵125＜2.5，
∴点D在⊙C内，
故答案为：内．
【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用及点与圆的位置关系，根据勾股定理计算斜边长是解题的关键．
15．（4分）⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，63），M是圆上一点，∠BMO＝150°．则圆心C的坐标为　（﹣3，33）　．

【分析】由于∠AOB是直角，根据圆周角定理可知AB必为⊙C的直径，即C是AB的中点，已知A点坐标，关键是求出B点的坐标．由图知：四边形ABMO是圆的内接四边形，因此内对角∠BAO、∠BMO互补，由此求得∠BAO的度数，进而可在Rt△BAO中，根据直角三角形的性质得到OB的长，从而确定点B的坐标，由此得解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙C的直径，C是线段AB的中点；
由于四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠BAO＝180°﹣∠BMO＝30°．
在Rt△ABO中，OA＝63，∠BAO＝30°，则OB＝6．
所以B（﹣6，0），
∵A（0，63），B（﹣6，0），
∴C（﹣3，33）
故答案为：（﹣3，33）．
【点评】此题综合考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的性质以及坐标与图形性质等知识．
16．（4分）如图，一组抛物线的顶点A1（x1，y1），A2（x2，y2），…An（xn，yn）（n为正整数）依次是反比例函数y=7x图象上的点，第一条抛物线以A1（x1，y1）为顶点且过点O（0，0），B1（2，0），等腰△A1OB1为第一个三角形；第二条抛物线以A2（x2，y2）为顶点且经过点B1（2，0），B2（4，0），等腰△A2B1B2为第二个三角形；…；第n条抛物线以An（xn，yn）为顶点且经过点Bn﹣1（2n﹣2，0），Bn（2n，0），等腰△AnBn﹣1Bn为第n个三角形．
（1）写出满足△AnBn﹣1Bn的面积为整数的n的值　1或4　．
（2）若第n条抛物线为y＝anx2+bnx+cn满足10an+5bn+cn＝0，称“滑翔抛物线”，试求出满足条件的“滑翔抛物线”解析式为　y＝﹣7x2+14x或y=-79x2+14x-5609　．

【分析】（1）由题意，第n条抛物线的对称轴为：x＝2n﹣1，因为点An（xn，yn）（n为正整数）在反比例函数y=7x图象上，所以An的坐标为（2n﹣1，72n-1），所以
△AnBn﹣1Bn的面积=12×2×72n-1=72n-1，当△AnBn﹣1Bn的面积为整数时，即可得出n的值；
（2）设第n条抛物线为y＝a（x﹣2n+2）（x﹣2n），将顶点坐标代入，可得a=-72n-1，所以第n条抛物线为y=-72n-1（x﹣2n+2）（x﹣2n）=-72n-1x2+14x-28n(n-1)2n-1，根据10an+5bn+cn＝0列出方程，解方程求得n的值，即可得出满足条件的“滑翔抛物线”解析式．
【解答】解：（1）∵第n条抛物线以An（xn，yn）为顶点且经过点Bn﹣1（2n﹣2，0），Bn（2n，0），等腰△AnBn﹣1Bn为第n个三角形．
∴抛物线的对称轴为：x＝2n﹣1，
∵点An（xn，yn）（n为正整数）在反比例函数y=7x图象上，
∴An的坐标为（2n﹣1，72n-1），
∴△AnBn﹣1Bn的面积=12×2×72n-1=72n-1，
∴△AnBn﹣1Bn的面积为整数的n的值1或4；
（2）设第n条抛物线为y＝a（x﹣2n+2）（x﹣2n），
∴72n-1=a×1×（﹣1），a=-72n-1，
∴第n条抛物线为y=-72n-1（x﹣2n+2）（x﹣2n）=-72n-1x2+14x-28n(n-1)2n-1，
∵10an+5bn+cn＝0，
∴-72n-1×10+5×14-28n(n-1)2n-1=0，
解得：n＝1或n＝5，
当n＝1时，y＝﹣7x2+14x
当n＝5时，或y=-79x2+14x-5609．
故答案为：y＝﹣7x2+14x或y=-79x2+14x-5609．
【点评】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解一元二次方程，三角形的面积公式．解决（2）问的关键是用待定系数法得出第n条抛物线的解析式．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）计算：4sin45°+3tan230°-8
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4×22+3×（33）2﹣22
＝22+1﹣22
＝1．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18．（6分）已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．

【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，得到∠PCA＝∠PDB＝120°，根据已知条件得到ACPC=PDBD，于是得到结论．
【解答】证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，
∴∠PCA＝∠PDB＝120°，
∵AC＝1，BD＝4，
∴ACPC=12，PDBD=12，
∴ACPC=PDBD，
∴△ACP∽△PDB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
19．（6分）每年11月9日为消防宣传日，今年“119”消防宣传月活动的主题是“全民参与，防治火灾”．为响应该主题，吴兴区消防大队到某中学进行消防演习．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为5.2m．当起重臂AC长度为16m，张角∠HAC为130°时，求操作平台C离地面的高度（结果精确到0.1m）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【分析】作AF⊥AH于F，CE⊥BD，则根据直角三角形中利用正弦可计算出CG，然后计算CG+GE即可．
【解答】解：作AF⊥AH于F，CE⊥BD交于点G，
∵∠CAH＝130°，
∴∠CAG＝40°，
∴CG＝ACsin40°＝16sin40°≈16×0.64≈10.2，
∴CE＝CG+GE＝15.4（米），
操作平台C离地面的高度为15.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行计算．
20．（8分）近年来，吴兴区坚定不移地践行“绿水青山就是金山银山”发展理念，跑出了乡村旅游发展的“吴兴速度”．已成功打造了汇聚文化体验、乡村休闲、养生养老等多元业态的西塞山省级旅游度假区，拥有A﹣菰城景区；B﹣原乡小镇；C﹣丝绸小镇•西山漾；D﹣台湾风情小镇；E﹣古梅花观等高品质景区．吴兴区某中学九年级开展了“我最喜爱的旅游景区”的抽样调查（每人只能选一项）．根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，其中B对应的圆心角为900．请根据图中信息解答下列问题：
（1）此次抽取的九年级学生共　200　人，m＝　20　，并补全条形统计图；
（2）九年级准备在最喜爱原乡小镇的4名优秀学生中任意选择两人去实地考察，这4名学生中有2名男生和2名女生，用树状图或列表法求选出的两名学生都是男生的概率．

【分析】（1）先根据B对应的圆心角为90°，B的人数是50，求出此次抽取的总人数，再根据E的人数是40人求出所占的百分比，即可求出m的值，再求出C对应的人数，补全条形统计图即可；
（2）根据题意画出树状图，再求出所有的情况和两名学生都是男生的情况，最后再根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）∵B对应的圆心角为90°，B的人数是50，
∴此次抽取的九年级学生共50÷90360=200（人），
∵E所占的百分比为40200×100%＝20%，
∴m＝20，
C对应的人数是：200﹣60﹣50﹣20﹣40＝30，
补图如下：

故答案为：200，20．

（2）根据题意画图如下：

∵共有12种情况，两名学生都是男生的情况有2种，
∴两名学生都是男生的概率是212=16．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可．
（2）根据S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO计算即可．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED；

（2）连接CD，OD，

∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，
∵∠COD＝2∠CBD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO=120⋅π⋅42360-12•43×2=16π3-43
【点评】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（10分）吴兴区文体中心，位于湖州市吴兴区东部新城，于今年上半年完全竣工，现已投入使用．其中体育馆可容纳四千人同时观看比赛．现C区有座位400个，某赛事试营销阶段发现：当票价为80元时，可售出C区票280张，若每降价1元，可多售出6张票．设降价x元（x取正整数）时，可售出观赛座位票y张．
（1）求出y关于x的函数关系式；
（2）设C区的总票价为W元，求W关于x的函数关系式，并求出W的最大值；
（3）求当票价为多少元时，C区的总共售票收入为23800元．

【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可；
（2）根据题意列出函数解析式，并根据二次函数的性质求出函数的最大值即可；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝280+6x；
（2）根据题意得，W＝（80﹣x）（280+6x），
即W＝﹣6x2+200x+22400＝﹣6（x-503）2+722003
当x=503时，W有最大值，
∵x取正整数，
∴当x＝17时，W最大＝24066元；
（3）当W＝23800时，
即﹣6x2+200x+22400＝23800，
解得：x1＝10，x2=703（不合题意，舍去），
∴票价为80﹣10＝70元，
答：当票价为70元时，C区的总共售票收入为23800元．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，二次函数的性质的运用，解答时根据条件建立方程是解答本题的关键．
23．（10分）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）并缩短一半得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β并缩短一半得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋半中线”，点A叫做“旋半中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝　14　BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝4时，则AD长为　1　．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用：
（3）如图4，在平面直角坐标系中，△ABC的坐标分别是A（4，3），B（1，0），C（5，0），△AB′C′是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中线”，连结OD，求OD的最大值是多少？并请直接写出当OD最大时点D的坐标．

【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=12AB′即可解决问题；
②首先证明△BAC∽△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；
（2）结论：AD＝BC．如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC∽△AB′M，即可解决问题；
（3）如图4中，先确定OD最大值时，D的位置，D在以A为圆心，以1为半径的圆上，则当D运动到直线OA与半圆相交时OD最大，求此时OD的长并确定其坐标．
【解答】解：（1）①如图2中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2AB′＝2AC′，
∵DB′＝DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，
∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴AD=12AB′=14BC，
故答案为：14．

②如图3中，

∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，
∵AB=12AB′，AC=12AC′，
∴△BAC∽△B′AC′，
∴BC＝2B′C′，
∵B′D＝DC′，
∴AD=12B′C′=14BC=14×4=1，
故答案为：1；

（2）结论：AD=14BC．
理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M

∵B′D＝DC′，AD＝DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，
∴AC′＝B′M=12AC，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，
∴∠BAC＝∠MB′A，
∵AB=12AB′，
∴△BAC∽△AB′M，
∴BC＝2AM，
∴AD=14BC．

（3）如图4，

∵AD=14BC，BC＝4，
∴AD＝1，
∴D在以A为圆心，以1为半径的圆上，
∴当D运动到直线OA与半圆相交时OD最大，
∵A（4，3），
∴OA＝5，
∵AD＝1，
∴OD的最大值是6．
过A作AE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，
∴AE∥DF，
∴△AOE∽△DOF，
∴OAOD=OEOF=56=AEDF，
∵OE＝4，AE＝3，
∴OF=245，DF=185，
∴D（245，185）．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了新定义“旋半三角形”和“旋半中线”、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-14x2+x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为D，抛物线对称轴与x轴交点为E．
（1）求直线BD的解析式．
（2）点M（m，0），N（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，MM′，NN′分别垂直于x轴交抛物线于M′，N′，交直线BD于点P，Q．试求：当m为何值时，M′P+N′Q的值最大．
（3）在（2）的条件下，作NN′的中垂线l交MM′于点R．现将△RNN′以每秒一个单位的速度向左平移，当点R运动到△ADE的中线AT上时，三角形停止运动．设平移的时间为t秒（t＞1），设△RNN′与△ADE重叠部分的面积为S，试求S关于t的函数解析式．

【分析】（1）令y＝0，解得：x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，即可求解；
（2）则M′P+N′Q＝（-14m2+m+3）﹣（﹣m+6）+[-14（m+2）2+m+5]﹣（﹣m+4）=-12（m﹣3）2+32，即可求解；
（3）分当1＜t≤3、3＜t＜134两种情况，求解即可．
【解答】解：（1）令y＝0，解得：x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，
则以下各点的坐标为：C（0，3）、B（6，0）、A（﹣2，0）D（2，4），
将点B、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：0=6k+b4=2k+b，解得：k=-1b=6，
故直线BD的表达式为：y＝﹣x+6，
（2）M（m，0），N（m+2，0），则点M′（m，-14m2+m+3）、点N′[m+2，-14（m+2）2+m+5]、点Q（m+2，﹣m+4）、点P（m，﹣m+6），
则M′P+N′Q＝（-14m2+m+3）﹣（﹣m+6）+[-14（m+2）2+m+5]﹣（﹣m+4）=-12（m﹣3）2+32，
当m＝3时，M′P+N′Q的最大值为32；
（3）由（2）得：NN′=74，
S△RNN′=12×MN×NN′=12×74×2=74，
点T的坐标为（2，2），则直线AT的表达式为：y=12x+1，
设AT与直线l交于点G，则G的纵坐标为78，则点G（-14，78），
当R、G重合时，t＝3﹣（-14）=134；
①当1＜t≤3时，
重叠部分与△RNN′相似，则由形似比等于高的比为t-12，
S=74×（t-12）2=716（t﹣1）2，
②当3＜t＜134时，
此时，重叠部分即为△RNN′的面积，即：s=74，
故：S=716(t-1)2(1＜t≤3)74(3＜t＜134)．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

2019学年浙江省嘉兴市秀洲区三校教研共同体九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）三校教研共同体2018学年第一学期教学调研（三）九年级数学试题卷
1．（3分）已知ba=13，则a-ba的值为（　　）
A．2 B．12 C．32 D．23
2．（3分）下列事件中，不可能事件是（　　）
A．今年的除夕夜会下雪
B．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．任意掷一枚硬币，正面朝上
3．（3分）已知⊙O的半径r＝3，PO=10，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
4．（3分）对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点．
5．（3分）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（　　）
①DGGB=12；②AEAB=EDBC；③△EDG∽△CBG；④S△EGDS△BGC=14．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
7．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数解析式为（　　）
A．y＝x2﹣3x﹣7 B．y＝x2﹣x﹣7 C．y＝x2﹣3x+1 D．y＝x2﹣4x﹣4
8．（3分）如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，则草皮的总面积为（　　）平方米．

A．313 B．9 C．12 D．24
9．（3分）给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y=1x的图象．（如图所示）①如果1a＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果a2＞a＞1a，那么a＞1；③如果a2＞1a＞a，那么a＜﹣1．则真命题的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
10．（3分）如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（　　）

A．4+233πa B．8+433πa C．4+33πa D．4+236πa
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）已知线段a＝4，线段b＝9，则a，b的比例中项是　 　．
12．（3分）正五边形的一个内角的度数是　 　度．
13．（3分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为　 　cm．

14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝65°，则∠BAC等于　 　度．

15．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是　 　（只需写出一个）．

16．（3分）在线段、等边三角形、平行四边形、圆中任意抽取两个图形，抽到的既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是　 　．
17．（3分）王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为　 　m．

18．（3分）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120cm，高AD＝80cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．设PQ＝xcm，矩形PQMN的面积为ycm2，请写出y关于x的函数表达式（并注明x的取值范围）　 　．

19．（3分）如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，AB上，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，则图中阴影部分的面积等于　 　．

20．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将DE绕点D按逆时针旋转90°，得到DF，连接AF，则AF的最小值是　 　．

三、解答题（21～24题每题6分，25～26题每题8分．共40分）
21．（6分）已知二次函数y＝x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）
（1）求m的值；
（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．
22．（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率．

23．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D在弧AB上，连CD交AB于点E，B是弧CD的中点，求证：∠B＝∠BEC．

24．（6分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．
（1）求证：△BC1F∽△AGC1；
（2）若C1是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AG的长．

25．（8分）2015年12月16﹣18日，第二届互联网大会在浙江乌镇胜利举行，这说明我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务．据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）关于销售单价x（元）的函数解析式；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）

26．（8分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知点F（0，12），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．


2019学年浙江省嘉兴市秀洲区三校教研共同体九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）三校教研共同体2018学年第一学期教学调研（三）九年级数学试题卷
1．（3分）已知ba=13，则a-ba的值为（　　）
A．2 B．12 C．32 D．23
【分析】直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案．
【解答】解：∵ba=13，
设b＝x，a＝3x，
∴a-ba=3x-x3x=23，
故选：D．
【点评】此题主要考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键．
2．（3分）下列事件中，不可能事件是（　　）
A．今年的除夕夜会下雪
B．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．任意掷一枚硬币，正面朝上
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A、今年的除夕夜会下雪是随机事件，故A错误；
B、在只装有红球的袋子里摸出一个黑球是不可能事件，故B正确；
C、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件，故C错误；
D、任意掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3分）已知⊙O的半径r＝3，PO=10，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OP=10＞3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
4．（3分）对于二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点．
【分析】根据抛物线的性质由a＝2得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
5．（3分）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（　　）
①DGGB=12；②AEAB=EDBC；③△EDG∽△CBG；④S△EGDS△BGC=14．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的重心的概念和性质得到CE，BD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=12BC，根据相似三角形的性质定理判断即可．
【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴CE，BD是△ABC的中线，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∴△DGE∽△BGC，
∴DGGB=12，①正确；
AEAB=EDBC，②正确；
△EDG∽△CBG，③正确；
S△EGDS△BGC=（DEBC）2=14，④正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
6．（3分）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．
【解答】解：由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC＝a为半径画弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故选：B．
【点评】本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键．
7．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数解析式为（　　）
A．y＝x2﹣3x﹣7 B．y＝x2﹣x﹣7 C．y＝x2﹣3x+1 D．y＝x2﹣4x﹣4
【分析】利用配方法求得抛物线顶点式方程，然后由平移规律写出新函数解析式．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴将抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数y＝（x﹣1﹣1）2﹣4﹣4，即y＝（x﹣2）2﹣8＝x2﹣4x﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．（3分）如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，则草皮的总面积为（　　）平方米．

A．313 B．9 C．12 D．24
【分析】先根据相似三角形的判定定理得出△AMB∽△CBE，故可得出MBBE=ABCE的值，设CE＝x，则BC＝2x，在Rt△CBE中根据勾股定理求出x的值，故可得出CE，AB＝BC，AM＝2AB的值，再根据S草皮＝S△CBE+S△AMB，即可得出结论．
【解答】解：∵△MDE是直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠MAB＝∠BCE＝90°，∠M+∠ABM＝90°，∠ABM+∠CBE＝90°，
∴∠M＝∠CBE，
∴△AMB∽△CBE，
∴MBBE=ABCE，
∵MB＝6，BE＝4，
∴MBBE=ABCE=64=32，
∵AB＝BC，
∴BCCE=32，
设CE＝2x，则BC＝3x，在Rt△CBE中，
BE2＝BC2+CE2，即42＝（3x）2+（2x）2，解得x=41313，
∴CE=81313，AB＝BC=121313，AM=32AB=181313，
∴S草皮＝S△CBE+S△AMB=12×81313×121313+12×121313×181313
＝12．
故选：C．

【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
9．（3分）给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y=1x的图象．（如图所示）①如果1a＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果a2＞a＞1a，那么a＞1；③如果a2＞1a＞a，那么a＜﹣1．则真命题的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1），再根据二次函数与不等式组的关系求解即可．
【解答】解：当x＝1时，三个函数的函数值都是1，
所以，交点坐标为（1，1），
根据对称性，y＝x和y=1x在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1），
①如果1a＞a＞a2，那么0＜a＜1，故①正确；
②如果a2＞a＞1a，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故②错误；
③如果a2＞1a＞a时，那么a＜﹣1，故③正确．
综上所述，真命题是①③．
故选：C．

【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标并准确识图是解题的关键．
10．（3分）如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（　　）

A．4+233πa B．8+433πa C．4+33πa D．4+236πa
【分析】连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，利用正六边形的性质分别计算出A1A4＝2a，A1A5＝A1A3=3a，而当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a，3a，2a，3a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，

∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4＝2a，∠A1A6A5＝120°，
∴∠CA1A6＝30°，
∴A6C=12a，A1C=32a，
∴A1A5＝A1A3=3a，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，
以a，3a，2a，3a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长=60⋅π⋅a180+60⋅π⋅3a180+60⋅π⋅2a180+60⋅π⋅3a180+60⋅π⋅a180，
=4+233πa．
故选：A．
【点评】本题考查了弧长公式：l=n⋅π⋅R180；也考查了正六边形的性质以及旋转的性质．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）已知线段a＝4，线段b＝9，则a，b的比例中项是　6　．
【分析】根据已知线段a＝4，b＝9，设线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
【解答】解：∵a＝4，b＝9，设线段x是a，b的比例中项，
∴ax=xb，
∴x2＝ab＝4×9＝36，
∴x＝6，x＝﹣6（舍去）．
故答案为：6
【点评】此题主要考查比例线段问题，关键是利用两内项之积等于两外项之积解答．
12．（3分）正五边形的一个内角的度数是　108　度．
【分析】因为n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而代入公式就可以求出内角和，再用内角和除以内角的个数就是一个内角的度数．
【解答】解：（5﹣2）•180＝540°，540÷5＝108°，所以正五边形的一个内角的度数是108度．
【点评】本题考查正多边形的基本性质，解题时应先算出正n边形的内角和再除以n即可得到答案．
13．（3分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为　（55-5）　cm．

【分析】利用黄金分割的定义计算出AP即可．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP=5-12AB=5-12×10＝55-5（cm），
故答案为：（55-5）
【点评】此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D＝65°，则∠BAC等于　25　度．

【分析】由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB的度数，又由∠D＝65°，即可求得∠B的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BAC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝65°，∠B与∠D是AC对的圆周角，
∴∠D＝∠B＝65°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝25°．
故答案为：25．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．
15．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是　∠ABD＝∠C（答案不唯一）　（只需写出一个）．

【分析】两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可
【解答】解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC等．
故答案为：∠ABD＝∠C（答案不唯一）．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
16．（3分）在线段、等边三角形、平行四边形、圆中任意抽取两个图形，抽到的既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是　16　．
【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：将线段、等边三角形、平行四边形、圆分别记为A，B，C，D，
根据题意画出树状图如下：

一共有12种情况，抽到的既是中心对称图形又是轴对称图形的是A，D，共有2种情况，
∴抽到的既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为212=16．
【点评】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
17．（3分）王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为　5　m．

【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD=12AB＝3，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即OC2＝（9﹣OC）2+32，
解得，OC＝5，
故答案为：5．

【点评】本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
18．（3分）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120cm，高AD＝80cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．设PQ＝xcm，矩形PQMN的面积为ycm2，请写出y关于x的函数表达式（并注明x的取值范围）　y=-32x2+120x（0＜x＜80）　．

【分析】利用DE＝PQ＝x得到AE＝80﹣x，证明△APN∽△ABC，利用相似比表示出PN=-32x+120，然后根据矩形的面积用x表示y即可．
【解答】解：易得四边形PQDE为矩形，则DE＝PQ＝x，
∴AE＝AD﹣AE＝80﹣x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴AEAD=PNBC，即80-x80=PN120，
∴PN=-32x+120，
∴y＝x（-32x+120）=-32x2+120x（0＜x＜80）．
故答案为y=-32x2+120x（0＜x＜80）．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的高的比等于相似比进行相应线段的长．也考查了矩形的性质．
19．（3分）如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，AB上，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，则图中阴影部分的面积等于　2-1　．

【分析】根据题意可得出两个矩形全等，则阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积．
【解答】解：连接OD，
∵正方形的边长为1，即OC＝CD＝1，
∴OD=OC2+CD2=2，
∴AC＝OA﹣OC=2-1，
∵DE＝DC，BE＝AC，弧BD＝弧AD
∴S阴＝长方形ACDF的面积＝AC•CD=2-1．，
故答案为：2-1
【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质以及勾股定理，是基础知识比较简单．
20．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将DE绕点D按逆时针旋转90°，得到DF，连接AF，则AF的最小值是　32-1　．

【分析】根据题意先证明△ADE≌△CDF，则CF＝AE＝1，根据三角形三边关系得：AF＞AC﹣CF，即AF＞AC﹣1，可知：当F在AC上时，AF最小，所以由勾股定理可得AC的长，可求得AF的最小值．
【解答】解：如图1，连接FC，AF，
∵ED⊥DF，
∴∠EDF＝∠EDA+∠ADF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠EDA＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵AD=CD∠EDA=∠FDCED=DF，
∴△ADE≌△CDF，
∴CF＝AE＝1，
∴AF＞AC﹣CF，即AF＞AC﹣1，
∴当F在AC上时，AF最小，如图2，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AC＝32，
∴AF的最小值是32-1；
故答案为：32-1．


【点评】此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是确定AF最小时，F在线段AC上，是一道中等难度的试题．
三、解答题（21～24题每题6分，25～26题每题8分．共40分）
21．（6分）已知二次函数y＝x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）
（1）求m的值；
（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．
【分析】（1）将A点坐标（﹣4，0）代入y＝x2+3x+m，即可求解；
（2）令x＝0时，则：y＝﹣4，令y＝0，则x2+3x﹣4＝0，即可求解．
【解答】解：（1）将A点坐标（﹣4，0）代入y＝x2+3x+m得：16﹣12+m＝0，
解得：m＝﹣4；
（2）当x＝0时，则：y＝﹣4，
∴函数图象与y轴的交点为（0，﹣4），
令y＝0，则x2+3x﹣4＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣4
∴函数图象与x轴的另一个交点为（1，0）．
【点评】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，是二次函数基础类题目．
22．（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率．

【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）将有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾分别记为A，B，C，D，
∵小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：14；

（2）画树状图如下：

由树状图知，小丽投放的垃圾共有16种等可能结果，其中小丽投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，
所以小丽投放的两袋垃圾不同类的概率为1216=34．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．
23．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D在弧AB上，连CD交AB于点E，B是弧CD的中点，求证：∠B＝∠BEC．

【分析】由B是弧CD的中点，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BCE＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论．
【解答】证明：∵B是弧CD的中点，
∴BC=BD，
∴∠BCE＝∠BAC，
∵∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠BCE，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B，
∴∠BEC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠BEC．
【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（6分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．
（1）求证：△BC1F∽△AGC1；
（2）若C1是AB的中点，AB＝6，BC＝9，求AG的长．

【分析】（1）根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；
（2）根据勾股定理和（1）中的结论可以求得AG的长．
【解答】证明：（1）由题意可知∠A＝∠B＝∠GC1F＝90°，
∴∠BFC1+∠BC1F＝90°，∠AC1G+∠BC1F＝90°，
∴∠BFC1＝∠AC1G，
∴△BC1F∽△AGC1．
（2）∵C1是AB的中点，AB＝6，
∴AC1＝BC1＝3．
∵∠B＝90°，
∴BF2+32＝（9﹣BF）2，
∴BF＝4，
由（1）得△AGC1∽△BC1F，
∴AGBC1=AC1BF，
∴AG3=34，
解得，AG=94．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．
25．（8分）2015年12月16﹣18日，第二届互联网大会在浙江乌镇胜利举行，这说明我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务．据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）关于销售单价x（元）的函数解析式；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）

【分析】（1）设y＝kx+b，把（40，600），（75，250）代入，列方程组即可．
（2）根据利润＝每件的利润×销售量，列出式子即可．
（3）思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S，构建一次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，把（40，600），（75，250）代入可得40k+b=60075k+b=250，
交点k=-10b=1000，
∴y＝﹣10x+1000，
当x＝50时，y＝﹣10×50+1000＝500件．

（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000．

（3）由题意x≤75-10x2+1400x-40000≥8000，
解得60≤x≤75，
设成本为S，
∴S＝40（﹣10x+1000）＝﹣400x+40000，
∵﹣400＜0，
∴S随x增大而减小，
∴x＝75时，S有最小值＝10000元．
【点评】本题考查二次函数．一次函数的应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（8分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知点F（0，12），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．

【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）利用△BOD∽△QBM得DOOB=MBBQ=12，再证△MBQ∽△BPQ得BMBQ=BPPQ，即12=4-m-12m2+32m+2，解之即可得此时m的值．
（3）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=12x﹣2，则Q（m，-12m2+32m+2）、M（m，12m﹣2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM＝DF，据此列出关于m的方程，解之可得．
【解答】解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C（0，2）代入，得：﹣4a＝2，
解得：a=-12，
则抛物线解析式为y=-12（x+1）（x﹣4）=-12x2+32x+2；

（2）如图所示：

∵当△BOD∽△QBM时，
则DOOB=MBBQ=12，
∵∠MBQ＝90°，
∴∠MBP+∠PBQ＝90°，
∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，
∴∠MBP+∠BMP＝90°，
∴∠BMP＝∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴BMBQ=BPPQ，
∴12=4-m-12m2+32m+2，
解得：m1＝3、m2＝4，
当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m＝3，点Q的坐标为（3，2）；

（3）由题意知点D坐标为（0，﹣2），
设直线BD解析式为y＝kx+b，
将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：4k+b=0b=-2，
解得：k=12b=-2，
∴直线BD解析式为y=12x﹣2，
∵QM⊥x轴，P（m，0），
∴Q（m，-12m2+32m+2）、M（m，12m﹣2），
则QM=-12m2+32m+2﹣（12m﹣2）=-12m2+m+4，
∵F（0，12）、D（0，﹣2），
∴DF=52，
∵QM∥DF，
∴当-12m2+m+4=52时，四边形DMQF是平行四边形，
解得：m＝﹣1或m＝3，
即m＝﹣1或m＝3时，四边形DMQF是平行四边形．
当四边形FDQM是平行四边形时，12m2﹣m﹣4=52，
解得m1=14+1，m1＝1-14．
综上所述，当m的值为﹣1或3或14+1或1-14．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．






















2019学年浙江省温州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选错选均不给分）
1．（3分）下列选项中的事件，属于随机事件的是（　　）
A．在一个只装有黑球的袋中，摸出红球
B．两个正数相加，和是正数
C．一打开电视机，正在播新闻
D．在一个只装有黑球的袋中，摸出黑球
2．（3分）抛物线y＝x2﹣9与y轴的交点坐标是（　　）
A．（﹣9，0） B．（0，﹣9） C．（3，0） D．（0，3）
3．（3分）如图，在2×3的方格中，画有格点△ABC，下列选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为2的⊙D，则下列选项中的点在⊙D外的是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点E
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC．若AD＝3BD，△ADE的周长为3，则△ABC的周长为（　　）

A．4 B．6 C．9 D．12
6．（3分）如图，在3×3的方格中，已有两个小正方形被涂黑，若在其余空白小正方形中任选一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是（　　）

A．17 B．27 C．37 D．47
7．（3分）已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c
8．（3分）如图，圆上有两点A，B，连接AB，分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，CD交AB于点E，交AB于点F．若EF＝1，AB＝6，则该圆的半径长是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．10
9．（3分）如图，P是矩形ABCD内一点，连结P与矩形ABCD各顶点，矩形EFGH各顶点分别在边AP，BP，CP，DP上，已知AE＝2EP，EF∥AB，图中两块阴影部分的面积和为S．则矩形ABCD的面积为（　　）

A．4S B．6S C．12S D．18S
10．（3分）如图，在坐标系网格中，过点B的抛物线顶点为A，且点A，B，C，D，E，F，O都在格点上，则该抛物线还经过下列选项中的（　　）

A．点C B．点D C．点E D．点F
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）已知xy=43，则x-yy=　 　．
12．（3分）将抛物线y＝x2+2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为　 　．
13．（3分）如图，AB∥CD∥EF，点E，F分别在线段AD，BC上，已知BF＝4，CF＝6，AE＝5，则DE的长为　 　．

14．（3分）如图，在一个半径为3的圆中，若圆周角∠ABC为30°，则AC的长为　 　．

15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点D，E在半圆上，∠DOE＝100°，点C在DE上，连接CD，CE，则∠DCE等于　 　度．

16．（3分）如图，两个完全相同的正五边形ABCDE，AFGHM的边DE，MH在同一直线上，且有一个公共顶点A，若正五边形ABCDE绕点A旋转x度与正五边形AFGHM重合，则x的最小值为　 　．

17．（3分）如图1，G为△ABC纸片的重心，DG∥AC交BC于点D，连结BG，剪去△BGD纸片，剩余部分纸片如图2所示，若原△ABC纸片面积为5，则图2纸片的面积为　 　．

18．（3分）如图，四边形ABDC内接于半圆O，AB为直径，AD平分∠CAB，AB﹣AC＝4，AD＝37，作DE⊥AB于点E，则BE的长为　 　，AC的长为　 　．

三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（6分）有4张卡片，正面分别写上1，2，3，4，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，先从中任意摸出一张，卡片不放回，再任意摸出一张．
（1）请用树状图或列表法表示出所有可能的结果．
（2）求摸出的两张卡片上的数之和大于5的概率．
20．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中画出一个圆心角，所作角的度数是∠ACB的2倍．
（2）在图2中画出一个圆周角，所作角的度数是∠ACB的2倍．

21．（6分）已知抛物线y＝x2﹣4x+a+1．
（1）若抛物线经过点（3，5），求该抛物线的表达式．
（2）若该抛物线与x轴有且只有一个交点，求a的值．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＞AB，在BC边上取点D，使AB＝BD，构造正方形ABDE，DE交AC于点F，作EG⊥AC交AC于点G，BC于点H．
（1）求证：△AEF≌△EDH．
（2）若AB＝3，DH＝2DF，求BC的长．

23．（8分）小张准备给长方形客厅铺设瓷砖，已知客厅长AB＝8m，宽BC＝6m，现将其划分成一个长方形EFGH区域I和环形区域Ⅱ，区域Ⅰ用甲、乙瓷砖铺设，其中甲瓷砖铺设成的是两个全等的菱形图案，区域Ⅱ用丙瓷砖铺设，如图所示，已知N是GH中点，点M在边HE上，HN＝3HM，设HM＝x（m）．
（1）用含x的代数式表示以下数量．
铺设甲瓷砖的面积为　 　m2．
铺设丙瓷砖的面积为　 　m2．
（2）若甲、乙、丙瓷砖单价分别为300元/m2，200元/m2，100元/m2，且EF≥FG+2，铺设好整个客厅，三种瓷砖总价至少需要多少钱？

24．（12分）如图，在矩形BCD中，AB＝3，AD＝8，O为AD中点，P是线段AO上一动点，以O为圆心，OP为半径作⊙O分别交BO及BO延长线于点E，F，延长AE交BC于点H．
（1）当OP＝2时，求BH的长．
（2）当AH交⊙O于另一点G时，连接FG，DF，作DM⊥BF于点M，求证：△EFG∽△FDM．
（3）连结HO，当△EHO是直角三角形时，求OP的长．


2019学年浙江省温州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选错选均不给分）
1．（3分）下列选项中的事件，属于随机事件的是（　　）
A．在一个只装有黑球的袋中，摸出红球
B．两个正数相加，和是正数
C．一打开电视机，正在播新闻
D．在一个只装有黑球的袋中，摸出黑球
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A、在一个只装有黑球的袋中，摸出红球是不可能事件，错误；
B、两个正数相加，和是正数是必然事件，错误；
C、一打开电视机，正在播新闻是随机事件，正确；
D、在一个只装有黑球的袋中，摸出黑球是必然事件，错误；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（3分）抛物线y＝x2﹣9与y轴的交点坐标是（　　）
A．（﹣9，0） B．（0，﹣9） C．（3，0） D．（0，3）
【分析】令x＝0，求出y的值，然后写出交点坐标即可．
【解答】解：x＝0时，y＝﹣9，
所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣9）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键．
3．（3分）如图，在2×3的方格中，画有格点△ABC，下列选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断．
【解答】解：∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，AC：BC＝2，
A选项中，三条线段的长为2，22，10，因为（2）2+（22）2＝（10）2，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为1：1．
故选：A．

【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为2的⊙D，则下列选项中的点在⊙D外的是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点E
【分析】分别求出AD、CD、BD、ED的长，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，
∵且点D，E分别是AC，AB的中点，
∴CD＝AD＝2，BE＝AE=52，DE=12BC=32，
∴BD=22+32=13，
∵半径为2，
∴点B在⊙C外，
∴点E在⊙C内，
∴点A，C在⊙C上，
故选：B．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC．若AD＝3BD，△ADE的周长为3，则△ABC的周长为（　　）

A．4 B．6 C．9 D．12
【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【解答】解：∵AD＝3BD，
∴ADAB=34，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的周长△ABC的周长=34，
∵△ADE的周长为3，
∴△ABC的周长＝4，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
6．（3分）如图，在3×3的方格中，已有两个小正方形被涂黑，若在其余空白小正方形中任选一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是（　　）

A．17 B．27 C．37 D．47
【分析】在7个空白处分别涂黑，再根据轴对称图形的对应进行判断，然后根据概率公式求解．
【解答】解：在其余空白小正方形中任选一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率=37．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了轴对称图形．
7．（3分）已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝﹣2（x+1）2+3上，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值a、b、c的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而B（﹣1，b）直线x＝﹣1上，C（3，c）点离直线x＝﹣1最远，A（﹣2，a）离直线x＝﹣1的距离较近，
∴c＜a＜b．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
8．（3分）如图，圆上有两点A，B，连接AB，分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，CD交AB于点E，交AB于点F．若EF＝1，AB＝6，则该圆的半径长是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．10
【分析】先根据作图知AB⊥CD，再根据垂径定理知AE＝BE=12AB＝3，设该圆的半径为r，根据r2＝（r﹣1）2+32求解可得．
【解答】解：由作图知AB⊥CD且AB平分CD，
∴AE＝BE=12AB＝3，
设该圆的半径为r，
则r2＝（r﹣1）2+32，
解得：r＝5，即该圆的半径长是5，
故选：B．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握线段中垂线的尺规作图和垂径定理及勾股定理等知识点．
9．（3分）如图，P是矩形ABCD内一点，连结P与矩形ABCD各顶点，矩形EFGH各顶点分别在边AP，BP，CP，DP上，已知AE＝2EP，EF∥AB，图中两块阴影部分的面积和为S．则矩形ABCD的面积为（　　）

A．4S B．6S C．12S D．18S
【分析】根据矩形的性质得到∠DAB＝∠HEF＝90°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠PAB，求得∠PEH＝∠PAD，推出EH∥AD，同理，FG∥BC，根据相似三角形的性质得到S△PEHS△PAD=（PEPA）2=19，同理，S△PFGS△PBC=19，于是得到结论．
【解答】解：∵AE＝2EP，
∴PEPA=13，
∵四边形ABCD与四边形EFGH是矩形，
∴∠DAB＝∠HEF＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠PEF＝∠PAB，
∴∠PEH＝∠PAD，
∴EH∥AD，
同理，FG∥BC，
∵EF∥AB，
∴△PEF∽△PAB，
∴PEPA=PFPB=13，
∴S△PEHS△PAD=（PEPA）2=19，
同理，S△PFGS△PBC=19，
∵S△PAD+S△PBC=12S矩形ABCD，
∴S=19（S△PAD+S△PBC）=19×12S矩形ABCD，
∴矩形ABCD的面积＝18S．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在坐标系网格中，过点B的抛物线顶点为A，且点A，B，C，D，E，F，O都在格点上，则该抛物线还经过下列选项中的（　　）

A．点C B．点D C．点E D．点F
【分析】根据二次函数的性质和图象，可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
该抛物线经过点A、B、F，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）已知xy=43，则x-yy=　13　．
【分析】由xy=43，得x=43y，再代入所求的式子化简即可．
【解答】解：xy=43，得x=43y，
把x=43y，代入x-yy=13．
故答案为：13．
【点评】考查了比例的性质，找出x、y的关系，代入所求式进行约分．
12．（3分）将抛物线y＝x2+2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为　y＝x2+3　．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2+2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y＝x2+2+1，即y＝x2+3．
故答案是：y＝x2+3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）如图，AB∥CD∥EF，点E，F分别在线段AD，BC上，已知BF＝4，CF＝6，AE＝5，则DE的长为　152　．

【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理可得结论．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴AEDE=BFCF，即5DE=46，
∴DE=152，
故答案为：152．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
14．（3分）如图，在一个半径为3的圆中，若圆周角∠ABC为30°，则AC的长为　π　．

【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理求出∠AOC，利用弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OA，OC，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∴AC的长=60π×3180=π，
故答案为：π．

【点评】本题考查的是弧长的计算，圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．
15．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点D，E在半圆上，∠DOE＝100°，点C在DE上，连接CD，CE，则∠DCE等于　130　度．

【分析】补全⊙O，在⊙O上AB的下方取一点M，连接DM，EM．根据圆周角定理，圆内接四边形的性质即可解决问题．
【解答】解：补全⊙O，在⊙O上AB的下方取一点M，连接DM，EM．

∵∠M=12∠DOE＝50°，∠M+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝130°，
故答案为130
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，两个完全相同的正五边形ABCDE，AFGHM的边DE，MH在同一直线上，且有一个公共顶点A，若正五边形ABCDE绕点A旋转x度与正五边形AFGHM重合，则x的最小值为　144°　．

【分析】根据多边形的内角和，可求出∠BAE＝∠AED＝∠FAM＝∠AMH=180×(5-2)5=108°，即可求出∠EAM的度数，根据旋转的性质，可得x的最小值．
【解答】解：∵五边形ABCDE，AFGHM是正五边形
∴∠BAE＝∠AED＝∠FAM＝∠AMH=180×(5-2)5=108°，
∴∠AEM＝∠AME＝72°，
∴∠EAM＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∵正五边形ABCDE绕点A旋转x度与正五边形AFGHM重合，
顺时针旋转最小需144°，逆时针旋转最小需216°，
∴x的最小值为36+108＝144°
故答案为：144°
【点评】本题考查了旋转的性质，多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．
17．（3分）如图1，G为△ABC纸片的重心，DG∥AC交BC于点D，连结BG，剪去△BGD纸片，剩余部分纸片如图2所示，若原△ABC纸片面积为5，则图2纸片的面积为　359　．

【分析】连接AG，延长AG交BD于E，如图1，设△DGE的面积为S，利用三角形重心的性质得到BE＝CE，AG＝2EG，根据平行线分线段成比例定理得到ED：DC＝EG：AG＝1：2，
根据三角形的面积公式得到S△DGC＝2S，最后表示出S△ABC＝18S，即18S＝5，解得S=518，然后计算图2纸片的面积．
【解答】解：连接AG，延长AG交BD于E，如图1，设△DGE的面积为S，
∵G为△ABC纸片的重心，
∴BE＝CE，AG＝2EG，
∵DG∥AC，
∴ED：DC＝EG：AG＝1：2，
∴S△DGC＝2S△DEG＝2S，
∴S△BEG＝S△CEG＝3S，
∴S△ABG＝2S△BEG＝6S，
∵S△ABE＝3S+6S＝9S，
∴S△ABC＝2S△ABE＝18S，
即18S＝5，解得S=518，
∴S△BDG＝4S=109，
∴图2纸片的面积＝5-109=359．
故答案为359．

【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了三角形面积公式．
18．（3分）如图，四边形ABDC内接于半圆O，AB为直径，AD平分∠CAB，AB﹣AC＝4，AD＝37，作DE⊥AB于点E，则BE的长为　2　，AC的长为　5　．

【分析】如图，作DF⊥AC交AC的延长线于F．由Rt△DFC≌Rt△DEB（HL），推出CF＝BE，由Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），推出AF＝AE，由AB﹣AC＝AE+EB﹣（AF﹣CF）＝2BE＝4，推出BE＝2，由△ADE∽△ABD，推出ADAB=AEAD，可得AD2＝AE•AB，设AE＝x，由此构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，作DF⊥AC交AC的延长线于F．

∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵∠DAC＝∠DAB，
∴CD=BD，
∴CD＝DB，
∵∠F＝∠DEB＝90°，
∴Rt△DFC≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝BE，
∵∠F＝∠AED＝90°，AD＝AD．DF＝DE，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF＝AE，
∵AB﹣AC＝AE+EB﹣（AF﹣CF）＝2BE＝4，
∴BE＝2，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，
∴△ADE∽△ABD，
∴ADAB=AEAD，
∴AD2＝AE•AB，设AE＝x，
则有：63＝x（x+2），
解得x＝7或﹣9（舍弃），
∴AE＝7，
∴AB＝AE+BE＝9，
∵AB﹣AC＝4，
∴AC＝5，
故答案为2，5．
【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（6分）有4张卡片，正面分别写上1，2，3，4，它们的背面都相同．现将它们背面朝上，先从中任意摸出一张，卡片不放回，再任意摸出一张．
（1）请用树状图或列表法表示出所有可能的结果．
（2）求摸出的两张卡片上的数之和大于5的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数；
（2）根据（1）得出所有等可能的结果数和两张卡片的数字之和大于5的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：

共有12种等情况数；

（2）根据（1）可得：共有12种等情况数，摸出的两张卡片上的数之和大于5的有4种，
则摸出的两张卡片上的数之和大于5的概率是412=13．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验．
20．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，请用直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中画出一个圆心角，所作角的度数是∠ACB的2倍．
（2）在图2中画出一个圆周角，所作角的度数是∠ACB的2倍．

【分析】（1）根据同圆中，同弧所对圆心角等于圆周角的2倍连接OA＝OB即可得；
（2）作直线BO，再过点A作BO的垂线，交⊙O于点D，连接CD，则∠ACD即为所求．
【解答】解：（1）如图1，∠AOB＝2∠ACB；


（2）如图2，∠ACD＝2∠ACB．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦的关系及过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图．
21．（6分）已知抛物线y＝x2﹣4x+a+1．
（1）若抛物线经过点（3，5），求该抛物线的表达式．
（2）若该抛物线与x轴有且只有一个交点，求a的值．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式；
（2）利用抛物线与一元二次方程的关系以及根的判别式解答．
【解答】解：（1）把（3，5）代入y＝x2﹣4x+a+1，得
32﹣4×3+a+1＝5，
解得a＝7，
故该抛物线解析式是y＝x2﹣4x+8；

（2）∵抛物线y＝x2﹣4x+a+1与x轴有且只有一个交点，
∴△＝（﹣4）2﹣4（a+1）＝0，
解得a＝3．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数解析式，难度不大．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＞AB，在BC边上取点D，使AB＝BD，构造正方形ABDE，DE交AC于点F，作EG⊥AC交AC于点G，BC于点H．
（1）求证：△AEF≌△EDH．
（2）若AB＝3，DH＝2DF，求BC的长．

【分析】（1）根据ASA证明：△AEF≌△EDH；
（2）设DF＝x，则DH＝2x，根据正方形的性质得：AB∥DF，得△DFC∽△BAC，列比例式可得DC的长，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABDE是正方形，
∴AE＝DE，∠AED＝∠EDH＝90°，
∵EG⊥AC，
∴∠AGE＝90°，
∴∠GAE+∠AEG＝∠AEG+∠DEH＝90°，
∴∠GAE＝∠DEH，
在△AEF和△EDH中，
∵∠GAE=∠DEHAE=ED∠AEF=∠EDH，
∴△AEF≌△EDH（ASA）；
（2）设DF＝x，则DH＝2x，
∵△AEF≌△EDH．
∴EF＝DH＝2x，
∴ED＝EF+DF＝3x＝AB，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB∥DF，
∴△DFC∽△BAC，
∴DFAB=DCBC=x3x，
∵BD＝3，
∴DC=32，
∴BC＝BD+CD＝3+32=4.5．
【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、正方形的性质、三角形相似的判定和性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定是关键．
23．（8分）小张准备给长方形客厅铺设瓷砖，已知客厅长AB＝8m，宽BC＝6m，现将其划分成一个长方形EFGH区域I和环形区域Ⅱ，区域Ⅰ用甲、乙瓷砖铺设，其中甲瓷砖铺设成的是两个全等的菱形图案，区域Ⅱ用丙瓷砖铺设，如图所示，已知N是GH中点，点M在边HE上，HN＝3HM，设HM＝x（m）．
（1）用含x的代数式表示以下数量．
铺设甲瓷砖的面积为　12x2　m2．
铺设丙瓷砖的面积为　48﹣24x2　m2．
（2）若甲、乙、丙瓷砖单价分别为300元/m2，200元/m2，100元/m2，且EF≥FG+2，铺设好整个客厅，三种瓷砖总价至少需要多少钱？

【分析】（1）由HM＝x（m）得出HN＝3x（m），则EF＝GH＝6x（m），再根据菱形的面积、三角形的面积、矩形的面积计算方法即可得出结果；
（2）由已知条件EF≥FG+2，得出x≥1，求出三种瓷砖总价，即可得出结果．
【解答】解：（1）设HM＝x（m），则HN＝3x（m），
根据题意得：EF＝GH＝6x（m），FG＝4x（m），
∴铺设甲瓷砖的面积为2×12×6x×2x＝12x2（m2），
铺设乙瓷砖的面积为8×12×3x×x＝12x2（m2），
∴铺设丙瓷砖的面积为8×6﹣12x2﹣12x2＝48﹣24x2（m2）；
故答案为12x2，48﹣24x2；
（2）∵EF≥FG+2，
∴6x≥4x+2，
解得：x≥1，
∴铺设好整个客厅，三种瓷砖总价为300×12x2+200×12x2+100（48﹣24x2）＝3600x2+4800≥3600+4800＝8400（元），
即铺设好整个客厅，三种瓷砖总价至少需要8400元．
【点评】本题考查了菱形、矩形的性质，菱形、矩形和三角形面积的计算以及列代数式；熟练掌握菱形和矩形的性质，列出各种瓷砖的面积是解题关键．
24．（12分）如图，在矩形BCD中，AB＝3，AD＝8，O为AD中点，P是线段AO上一动点，以O为圆心，OP为半径作⊙O分别交BO及BO延长线于点E，F，延长AE交BC于点H．
（1）当OP＝2时，求BH的长．
（2）当AH交⊙O于另一点G时，连接FG，DF，作DM⊥BF于点M，求证：△EFG∽△FDM．
（3）连结HO，当△EHO是直角三角形时，求OP的长．

【分析】（1）在Rt△ABO中，利用勾股定理求出OB，由BH∥OA，推出BHOA=BEEO，由此即可解决问题；
（2）利用两角对应相等两三角形相似即可证明；
（3）分两种情形画出图形分别求解即可；
【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，
∵AB＝3，AO＝OD＝4，
∴OB=32+42=5，
∵OP＝OE＝2，
∴BE＝3，
∵BH∥OA，
∴BHOA=BEEO，
∴BH4=32，
∴BH＝6．

（2）如图2中，

∵EF是直径，
∴∠EGF＝90°，
∵OA＝OD，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，
∴△AOE≌△DOF（SAS），
∴∠EAO＝∠ODF，
∴AH∥DF，
∴∠DFG＝∠EGF＝90°，
∵DM⊥BF，
∴∠DMF＝∠EGF＝90°，
∵∠GFE+∠DFM＝90°，∠DFM+∠FDM＝90°，
∴∠EFG＝∠FDM，
∴△EFG∽△FDM．


（3）如图3﹣1中，当∠HEO＝90°时，

∵12•AB•AO=12•OB•AE，
∴AE=125，
∴OE=OA2-AE2=165，
∴OP＝OE=165．

如图3﹣2中，当∠EOH＝90°时，

∵BC∥AD，
∴∠BOA＝∠OBH，
∵∠BAO＝∠BOH＝90°，
∴△ABO∽△OHB，
∴OBBH=OAOB，
∴5BH=45，∴BH=254，
∵OA∥BH，
∴OEEB=OABH=4254=1625，
∴OE=1641•OB=8041，
∴OP＝OE=8041，
综上所述，OP的值为165或8041．
【点评】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．有，未经书面同意，不得复制发布