1有理数及计算精讲精练-2020-2021学年七年级数学上学期期末复习【人教版】.docx

专题1.1有理数及其计算精讲精练
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【知识梳理】
1.正数和负数
(1) 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
(2) 0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
(3) 用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2.有理数分类

3.数轴
(1) 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
(2) 数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
(3) 用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
4.相反数
(1) 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
(2) 相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
5.绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
6.有理数的加法
(1) 有理数加法法则：
(2) ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
(3) 相关运算律
交换律：a+b=b+a；  结合律（a+b）+c=a+（b+c）．
7.有理数的减法
(1) 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a-b=a+（-b）  
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
8.有理数的乘法
(1) 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 
(2) 任何数同零相乘，都得0．   
(3) 多个有理数相乘的法则：
① 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
② 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
9.有理数的除法
(1) 倒数：乘积是1的两数互为倒数． 
(2) 注意：0没有倒数．
(3) 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
(4) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
10.乘方
(1) 有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 
(2) 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．
(3) 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
11.有理数的混合运算
(1) 有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
(2) 进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
12.科学计数法
科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
13.近似数
(1) 有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 
(2) 近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
【典例剖析】
【考点1】正数和负数
【例1】（2020秋•南通期中）如果“盈利10%”记作+10%，那么﹣3%表示（　　）
A．盈利2% B．亏损3% C．亏损8% D．少赚2%
【变式1.1】（2020秋•杏花岭区校级期中）如表列出了国外两个城市与北京的时差，如果现在是北京时间是上午10：00，那么现在的巴黎时间是　 　．
城市
时差/h
巴黎
﹣7
东京
+1
【变式1.2】（2020秋•朝阳区校级期中）排球的标准重量是260g，在检测排球质量时，将重量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数．下面是检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果．最接近标准重量的排球的实际重量是　 　g．

【变式1.3】（2020秋•叙州区校级月考）某公司生产的一种小零食的包装袋上印有（70±2）g的字样，质检局随机抽查了5袋该产品，质量分别为67g、69g、70g、71g、74g，合格的共有 袋．
【变式1.4】（2020秋•和平区期中）下面是一页账单，但是有一部分破损了，请你根据上面残余的数字算出2011年8月12日的结余是　8821　元．
日期
支出或存入
结余
备注
2011/5/26
﹣120
9546

2011/6/12
﹣150

2011/6/25
280
2011/7/5
﹣315
2011/8/12
﹣540
【考点2】有理数的分类
【例2】（2020秋•东台市期中）下列各数中是分数的有（　　）
﹣4，0，227，π2，2013，3.7，﹣0.1010010001…，2.38383838…．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2.1】（2020秋•武汉期中）下面说法正确的是（　　）
A．有理数包括整数和分数
B．有理数是整数
C．整数一定是正数
D．有理数是正数和负数的统称
【变式2.2】（2020秋•徐汇区校级月考）一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是正整数中最小的偶数，个位上的数既不是素数也不是合数，这个数是　 ．
【变式2.3】（2020秋•克拉玛依校级期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
﹣5，|-34|，0，﹣3.14，227，2006，+1.99，﹣（﹣6），0.010010001…，15%，-42
（1）整数集合：{ …}；
（2）分数集合：{ …}；
（3）非负整数集合：{ …}；
（4）有理数集合：{ …}．
【变式2.4】（2020秋•锡山区校级期中）把下列各数填入相应的大括号里：
3π，﹣2，-12，3.020020002…，0，227，﹣（﹣2），2012．
整数集合：{　 　…}
分数集合：{　 　…}
负有理数集合：{ 　 …}
无理数集合：{　 ，　…}．
【变式2.5】（2018秋•长春期中）（1）如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里；
2016，﹣15%，﹣0.618，712，﹣9，-23，0，3.14，﹣72

（2）上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？
（3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和．
【考点3】数轴
【例3】（2018秋•蓝山县校内期末模拟）如图，数轴的单位长度为1．
（1）如果点A，D表示的数互为相反数，那么点B表示的数是多少？
（2）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中表示的四个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什么？
（3）当点B为原点时，若存在一点M到A的距离是点M到D的距离的2倍，则点M所表示的数是　 　．

【变式3.1】（2020秋•天宁区校级月考）如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A放在数轴上表示1的点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数　 　．

【变式3.2】（2019秋•宁德期末）如图，在数轴上点A所表示的数是﹣5，点B在点A的右侧，AB＝6；点C在AB之间，AC＝2BC．
（1）在数轴上描出点B；
（2）求点C所表示的数，并在数轴上描出点C；

【变式3.3】（2019秋•曹县期末）出租车司机小明某天下午的营运全是在东西走向的长江路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车路程（单位：千米）如下：﹣13，﹣2，+6，+8，﹣3，﹣5，+4，﹣6，+7，若小明家位于距离出车地点的西边15千米处，送完最后一名乘客，小明还要行驶多少千米才能到家？
【考点4】相反数与绝对值
【例4】（2019秋•东湖区校级期中）若a，b满足|a|＜|b|≤3，且a，b为整数．
（1）直接写出a，b的最大值；
（2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？
【变式4.1】（2018秋•江岸区校级月考）下列各对数中，不是相反数的是（　　）
A．+（﹣3）与（﹣3） B．（﹣1）与|﹣1|
C．8与﹣|﹣8| D．﹣5.2与﹣（﹣5.2）
【变式4.2】（2019秋•平山区校级月考）化简：
（1）﹣{+[﹣（+3）]}；
（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．
【变式4.3】（2020秋•商水县校级月考）①已知x的相反数是﹣2，且2x+3a＝5，求a的值．
②已知﹣[﹣（﹣a）]＝8，求a的相反数．
【变式4.4】（2019秋•霸州市校级月考）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为　 　；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为　 　；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．

【变式4.5】（2019秋•碑林区校级月考）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b+c|﹣|a﹣b|．

【考点5】有理数的大小比较
【例5】（2020秋•聊城期中）下列各组有理数的大小比较中，错误的是（　　）
A．-(-325)＞3.4 B．-334＜-|+(-3.14)|
C．+（﹣0.01）＜0 D．-(-34)＞-34
【变式5.1】下列各组有理数的大小比较中，不正确的是（　　）
A．﹣（﹣8）＞﹣8 B．4.5＞-(-92)
C．+(-179)＜0 D．﹣（﹣1.414）＞0
【变式5.2】（2017秋•双流区校级期中）下列有理数的大小比较，正确的是（　　）
A．﹣2.1＞1.9 B．﹣7.3＜﹣1.4 C．0＜﹣20 D．0＞1.2
【变式5.3】（2019秋•利辛县期中）阅读材料：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b，运用此方法可进行有理数的大小比较，如比较5与3的大小，因为5﹣3＝2＞0，所以5＞3，我们把这种比较大小的方法叫作“求差法”．
（1）请用“求差法”比较大小：-34与-23；
（2）请运用不同于（1）的方法比较-34与-23的大小．
【考点6】科学记数法与近似数
【例6】（2019秋•恩阳区 期中）北京大兴国际机场被誉为“世界第七大奇迹”．其旅客航站楼及停车楼是目前国内单体面积最大的绿色建筑，每年可减少二氧化碳排放约2.2万吨，相当于种植119万棵树．其中2.2万精确到是（　　）位．
A．万位 B．千位 C．十分位 D．百分位
【变式6.1】（2018秋•浦东新区期中）计算：（6×102）2×（13×105）（用科学记数法表示）．
【变式6.2】．小亮和肖晓共同测量一本新华字典的厚度，由于选择的测量工具不同，小亮测得的数据是2.62厘米，肖晓测得的数据是2.621厘米，在小亮测得的数据中，最后一位的“2”是　 　（填“精确的”或“估计的”）；在肖晓测得的数据中，　 　是精确的，　 　是估计的．
【变式6.3】有一个到火星旅行的计划，来回的行程大约需要2个地球年（其中包括在火星上停留582个地球天），已知这个旅行的平均速度是44000km/h．那么火星和地球之间的距离约为多少千米？（用科学记数法表示，注：地球年、地球天是指地球上的一年或一天，即一年为365天，一天为24小时）
【考点7】有理数的加减运算
【例7】（1）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13；
（2）25-|﹣112|﹣（+214）﹣（﹣2.75）；
（3）0.35+（﹣0.6）+0.25﹣（+5.4）；
（4）113-115+53-（﹣0.6）﹣（﹣335）；
（5）（+1.125）﹣（+334）﹣（+18）+（﹣0.25）．
【变式7.1】（1）﹣27+（﹣32）+（﹣8）+72；
（2）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）；
（3）(-3.5)+(-43)+(-43)-(-72)+0.75-(+73)；
（4）(-112)+(+114)+(-212)-(-314)-(+114)．
【变式7.2】．在建筑工地上，一台升降机先上升3.5m，再下降2.2m，然后上升5.1m，最后下降6.6m，此时该升降机的位置比开始的位置高　 　m．
【变式7.3】已知a＝﹣4，b＝﹣17，c＝11，求：
（1）a﹣b+c；
（2）a﹣b﹣c；
（3）a﹣（b﹣c）．
【变式7.4】（2020秋•郫都区期中）若|m|＝7，n2＝36，且n＞m，求m+n的值．
【考点8】有理数的乘除运算
【例8】（1）（﹣5）×2+20÷（﹣4）
（2）（12-3+56-712）÷（-1.36）
（3）-34×（-12）÷（﹣214）
（4）﹣3.5÷78×（-34）
（5）[212-（79-1112+16）×36]÷5
（6）（23-112-415）×（﹣60）
（7）（34-16-58）×（﹣24）
【变式8.1】计算题
（1）（﹣5）×2+20÷（﹣4）
（2）（12-3+56-712）÷（-1.36）
（3）-34×（-12）÷（﹣214）
（4）﹣3.5÷78×（-34）
（5）[212-（79-1112+16）×36]÷5
（6）（23-112-415）×（﹣60）
（7）（34-16-58）×（﹣24）
【变式8.2】（1）375÷（-23）÷（-23）；
（2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7；
（2）42×（-23）+（-34）÷（﹣0.25）；
（4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]．
【变式8.3】桌子上放有7只茶杯，杯口全部朝上，每次翻转其中的4只茶杯，能否经过若干次翻转，把它们翻成杯口全部朝下？
【变式8.4】某班举办数学知识比赛，共分五个小组，其中四个小组的成绩如表所示，请问：
小组
第一组
第二组
第三组
第四组
人数
15
13
14
12
小组平均分与全班平均分的差值
4
﹣3
﹣2
1
（1）这四个小组的总平均分比全班的平均分高还是低？为什么？
（2）据（1）你能否判断第五组的成绩比全班平均分高，还是低？
【考点9】有理数的乘方运算
【例9】计算：
（1）﹣14-16×[2﹣（﹣3）2]；
（2）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）×13×[2﹣（﹣2）2]；
（3）（﹣2）2﹣22﹣|-14|×（﹣1）2；
（4）（﹣212）×（﹣0.5）3×（﹣2）2×（﹣8）．
【变式9.1】计算：
（1）（﹣18）÷214×49÷（﹣16）；
（2）﹣3.5÷78×（-87）；
（3）23÷49×（-23）2．
【变式9.2】（2019秋•楚州区校级月考）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，反复多次，就能拉成许多细面条．如图所示：

（1）经过第3次捏合后，可以拉出 根细面条；
（2）到第　 　次捏合后可拉出32根细面条．
【变式9.3】（2019秋•镜湖区校级期中）阅读下列计算公式：2n+1﹣2n＝2n（2﹣1）＝2n．请你根据以上规律，计算：220﹣219﹣218﹣…﹣23﹣22+2．
【变式9.4】（2019秋•武侯区校级期中）若n为整数，则(-1)n+(-1)n+12= 　．
【考点10】有理数的有关新定义运算
【例10】（2019秋•通州区期末）在数轴上，我们把表示数2的点定为核点，记作点C，对于两个不同的点A和B，若点A，B到点C的距离相等，则称点A与点B互为核等距点．如图，点A表示数﹣1，点B表示数5，它们与核点C的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为核等距点．

（1）已知点M表示数3，如果点M与点N互为核等距点，那么点N表示的数是　 　；
（2）已知点M表示数m，点M与点N互为核等距点，
①如果点N表示数m+8，求m的值；
②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以2，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动5个单位长度得到点N，求m的值．
【变式10.1】（2020•白云区一模）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种键盘密码，每个字母与所在按键的数字序号对应（如图），如字母Q与数字序号0对应，当明文中的字母对应的序号为a时，将a+7除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“X”对应密文“W”．
按上述规定，将密文“TKGDFY”解密成明文后是（　　）

A．DAISHU B．TUXING C．BAIYUN D．SHUXUE
【变式10.2】（2020秋•凌河区校级期中）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：
（1）验证：（4×0.25）100＝　 ；4100×0.25100＝　 　．
（2）通过上述验证，归纳得出：（ab）n＝　 　；（abc）n＝　 　．
（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
【变式10.3】（2020秋•沙坪坝区校级月考）我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标”．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10．所以10的“完美指标”是：[（1+5﹣（2+10）]÷10=-35，我们规定．若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例知，因为8的“完美指标”是[（1+3）﹣（2+6）]÷6=-23，7没有正偶数因数，7的“完美指标”是（1+7）÷7=87，且|-23|＜|87|，所以6比7更“完美”．
根据上述材料，求出18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数．
【变式10.4】（2019秋•曲靖期末）阅读理解：李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”例如：①24×11＝264．计算过程：24两数拉开，中间相加，即2+4＝6，最后结果264；②68×11＝748．计算过程：68两数分开，中间相加，即6+8＝14，满十进一，最后结果748．
（1）计算：①32×11＝　 　，②78×11＝　 ；
（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（a+b＜10），将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是　 ，十位数字是 ，个位数字是 ；（用含a、b的代数式表示）
（3）请你结合（2）利用所学的知识解释其中原理．
【考点11】有理数的实际问题
【例11】（2020秋•兰州期中）某班学生的平均身高是160厘米，下表给出了该班6名同学的身高情况（单位：厘米）
（1）完成下表：
姓名
小明
小彬
小丽
小亮
小颖
小山
身高
159
　 　
　
152
162
168
身高与平均身高的差
﹣1
+1
0
　 　
+2
　 　
（2）谁最高？谁最矮？
（3）列式计算最高与最矮的学生身高相差多少？
【变式11.1】（2020秋•市中区期中）某学校准备印刷一批证书，现有两个印刷厂可供选择：
甲厂收费方式：收制版费1000元，每本印刷费0.5元；
乙厂收费方式：不超过2000本时，每本收印刷费1.5元；超过2000本时，超过部分每本收印刷费0.25元．若该校印制证书x本．
（1）若x不超过2000时，甲厂的收费为　 　元，乙厂的收费为 　元；
（2）若x超过2000时，甲厂的收费为　 　元，乙厂的收费为　 　元；
（3）当印制证书8000本时应该选择哪个印刷厂更节省费用？节省了多少？
【变式11.2】（2020秋•江岸区期中）居民生活用水阶梯式计量水价，用户每月用水量在22立方米及以内的为第一级基数，按一级用水价格收取；超过22立方米且不超过30立方米的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30立方米的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的2倍收取．为节约用水，小张记录了1﹣7月份他家每月1号的水表读数．

1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
水表止码（立方米）
234
244
253
262
273
283
294
（1）直接写出小张家1﹣6月平均每月用水量为　 ．
（2）已知小张家2月份的水费为18元，试求他家6月份需交水费多少元？
（3）由于小张家7月份装修，比6月份多用水20立方米，试求小张家7月份需交纳水费多少元？
【变式11.3】（2020秋•魏都区期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，这四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．
下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：

（1）列式，并计算：
①﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？
②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？
（2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是77，a是多少？
【变式11.4】（2020秋•合肥期中）魔术师为大家表演魔术．他请观众想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：

魔术师立刻说出观众想的那个数．
（1）如果小明想的数是﹣2，那么他告诉魔术师的结果应该是　 　．
（2）如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为105，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是　 　．
（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你通过计算说出其中的奥妙．
【考点12】以数轴为背景的综合问题
【例12】（2019秋•中山市期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．
（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为　 　，　 ，m的值为　 　；
（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．

【变式12.1】（2020秋•江阴市期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进4步后退3步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为一个单位长度，xn表示第n秒时机器人在数轴上位置所对应的数．则下列结论中正确的有　 　．（只需填入正确的序号）
①x3＝3；②x5＝3；③x101＜x102；④x2019＜x2020．
【变式12.2】（2019秋•新宾县期末）某巡警骑摩托车在一条东西大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向东方向为正，向西方向为负，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：+10，﹣8，+6，﹣14，+4，﹣2．
（1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？
（2）若摩托车每行驶1千米耗油0.5升，这一天共耗油多少升？
【变式12.3】（2020秋•鄞州区期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2．

（1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是　 　．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？

【变式12.4】（2019秋•丰城市期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）MN的长为　 　；
（2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是　 　；
（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由．
（4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值．

【变式12.5】（2019秋•海淀区校级期中）设A、B、C是数轴上的三个点，且点C在A、B之间，它们对应的数分别为xA、xB、xC．
（1）若AC＝CB，则点C叫做线段AB的中点，已知C是AB的中点．
①若xA＝1，xB＝5，则xc＝　 　；
②若xA＝﹣1，xB＝﹣5，则xC＝　 　；
③一般的，将xC用xA和xB表示出来为xC＝　 　；
④若xC＝1，将点A向右平移5个单位，恰好与点B重合，则xA＝ 　；
（2）若AC＝λCB（其中λ＞0）．
①当xA＝﹣2，xB＝4，λ=13时，xC＝　 　．
②一般的，将xC用xA、xB和λ表示出来为xC＝ 　．





【典例剖析】
【考点1】正数和负数
【例1】（2020秋•南通期中）如果“盈利10%”记作+10%，那么﹣3%表示（　　）
A．盈利2% B．亏损3% C．亏损8% D．少赚2%
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，如果“盈利10%”记作+10%，那么﹣3%表示亏损3%．
【解析】∵“盈利10%”记作+10%，
∴“﹣3%表示亏损3%，
故选：B．
【变式1.1】（2020秋•杏花岭区校级期中）如表列出了国外两个城市与北京的时差，如果现在是北京时间是上午10：00，那么现在的巴黎时间是　凌晨3：00　．
城市
时差/h
巴黎
﹣7
东京
+1
【分析】此题中正数表示在北京时间向后推几个小时，即加上这个正数；负数表示向前扒几个小时，即加上这个负数．
【解析】由表可知，巴黎时间比北京时间晚7小时，
∴10+（﹣7）＝3，
故答案为：凌晨3：00．
【变式1.2】（2020秋•朝阳区校级期中）排球的标准重量是260g，在检测排球质量时，将重量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数．下面是检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果．最接近标准重量的排球的实际重量是　260.2　g．

【分析】计算各个数的绝对值，绝对值最小的排球最接近标准质量．
【解析】|﹣0.6|＝0.6，|+0.5|＝0.5，|﹣0.3|＝0.3，|+0.2|＝0.2，
∵0.2＜0.3＜0.5＜0.6，
∴最接近标准重量的排球的实际重量是：260+0.2＝260.2（g），
故答案为：260.2．
【变式1.3】（2020秋•叙州区校级月考）某公司生产的一种小零食的包装袋上印有（70±2）g的字样，质检局随机抽查了5袋该产品，质量分别为67g、69g、70g、71g、74g，合格的共有　3　袋．
【分析】根据有理数的加法，可得合格范围，根据合格范围，可得答案．
【解析】“70±2（g）”是70g是标准质量，
70﹣2＝68，70+2＝72，
68g至72g是合格范围，
67g、69g、70g、71g、74g，合格的有69g、70g、71g，合格的共有3袋．
故答案为：3．
【变式1.4】（2020秋•和平区期中）下面是一页账单，但是有一部分破损了，请你根据上面残余的数字算出2011年8月12日的结余是　8821　元．
日期
支出或存入
结余
备注
2011/5/26
﹣120
9546

2011/6/12
﹣150

2011/6/25
280
2011/7/5
﹣315
2011/8/12
﹣540
【分析】根据有理数加减法法则，可得：把9546+（﹣150）+280+（﹣315）+（﹣540）写成省略加号和括号的和的形式，正确的是：9546﹣150+280﹣315﹣540＝8821．
【解析】9546+（﹣150）+280+（﹣315）+（﹣540）＝9546﹣150+280﹣315﹣540＝8821．
故答案为：8821．
【考点2】有理数的分类
【例2】（2020秋•东台市期中）下列各数中是分数的有（　　）
﹣4，0，227，π2，2013，3.7，﹣0.1010010001…，2.38383838…．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据分子分母都是整数，且分母的整数不是一的数是分数，有限小数和无限循环小数可以化为分数，也属于分数，由此即可作答．
【解析】﹣4，0，2013是整数，
π2，﹣0.1010010001…不是有理数，所以不是分数；
分数的有227，3.7，2.38383838…共3个．
故选：B．
【变式2.1】（2020秋•武汉期中）下面说法正确的是（　　）
A．有理数包括整数和分数
B．有理数是整数
C．整数一定是正数
D．有理数是正数和负数的统称
【分析】根据有理数的分类，利用排除法求解即可．
【解析】整数和分数统称为有理数，故选项A正确；
整数和分数统称有理数，故选项B错误；
整数中也含有负整数和零，故选项C错误；
有理数是整数、分数的统称，故选项D错误．
故选：A．
【变式2.2】（2020秋•徐汇区校级月考）一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是正整数中最小的偶数，个位上的数既不是素数也不是合数，这个数是　421　．
【分析】正整数中最小的合数是4，最小的偶数是2，既不是素数又不是合数的数是1，进而根据整数写法写出这个三位数即可．
【解析】有一个三位数，百位上是最小的合数，即是4，十位上是正整数中最小的偶数，即是2，个位上的数既不是素数也不是合数，即是1，这个三位数是421．
故答案为：421．
【变式2.3】（2020秋•克拉玛依校级期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
﹣5，|-34|，0，﹣3.14，227，2006，+1.99，﹣（﹣6），0.010010001…，15%，-42
（1）整数集合：{ …}；
（2）分数集合：{ …}；
（3）非负整数集合：{ …}；
（4）有理数集合：{ …}．
【分析】根据题目中的数据可以直接将所属的数写在相应的集合中．
【解析】在﹣5，|-34|，0，﹣3.14，227，2006，+1.99，﹣（﹣6），0.010010001…，15%，-42中
（1）整数集合是：﹣5，0，2006，﹣（﹣6），-42；
（2）分数集合是：|-34|，﹣3.14，227，+1.99，15%；
（3）非负整数集合是：0，2006，﹣（﹣6）；
（4）有理数集合是：﹣5，|-34|，0，﹣3.14，227，2006，+1.99，﹣（﹣6），15%，-42．
【变式2.4】（2020秋•锡山区校级期中）把下列各数填入相应的大括号里：
3π，﹣2，-12，3.020020002…，0，227，﹣（﹣2），2012．
整数集合：{　﹣2，0，﹣（﹣2），2012，　…}
分数集合：{　-12，227，　…}
负有理数集合：{　﹣2，-12，　 …}
无理数集合：{　3π，3.020020002…，　…}．
【分析】整数（包括正整数、0、负整数）的意义，分数的定义，负有理数的意义，无理数的意义选出填上即可．
【解析】整数集合：{﹣2，0，﹣（﹣2），2012…}；
分数集合：{-12，227，…}；
负有理数集合：{﹣2，-12，…}；
无理数集合：{ 3π，3.020020002…，…}，
故答案为：﹣2，0，﹣（﹣2），2012，-12，227，﹣2，-12，3π，3.020020002…．
【变式2.5】（2018秋•长春期中）（1）如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填入它所在的数集的圈里；
2016，﹣15%，﹣0.618，712，﹣9，-23，0，3.14，﹣72

（2）上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？
（3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和．
【分析】（1）根据负数集和整数集填表即可，
（2）根据负分数的定义即可得出答案；
（3）先找出这组数据中的最大数和最小数，再把这两个数进行相加即可得出答案．
【解析】（1）根据题意如图：

（2）这两个圈的重叠部分表示负分数集合；
（3）∵最大数是2016，最小数是﹣72，
∴最大的数与最小的数之和2016+（﹣72）＝1944．
【考点3】数轴
【例3】（2018秋•蓝山县校内期末模拟）如图，数轴的单位长度为1．
（1）如果点A，D表示的数互为相反数，那么点B表示的数是多少？
（2）如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中表示的四个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？为什么？
（3）当点B为原点时，若存在一点M到A的距离是点M到D的距离的2倍，则点M所表示的数是　 　．

【分析】根据数轴上点位置，确定相应的数值即可．
【解析】（1）从数轴看，点A、B、C三点分别为：﹣4，﹣2，3，
故答案为：﹣4，﹣2，3；
（2）将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是﹣5，
故答案为﹣5；
（3）将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数为0，
故答案为：0．
【变式3.1】（2020秋•天宁区校级月考）如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A放在数轴上表示1的点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数　1﹣2π或1+2π　．

【分析】先求出圆的周长，再根据数轴的特点进行解答即可．
【解析】∵圆的半径为1个单位长度，
∴此圆的周长＝2π，
∴当圆向左滚动时点A′表示的数是1﹣2π；
当圆向右滚动时点A′表示的数是1+2π．
故答案为：1﹣2π或1+2π．
【变式3.2】（2019秋•宁德期末）如图，在数轴上点A所表示的数是﹣5，点B在点A的右侧，AB＝6；点C在AB之间，AC＝2BC．
（1）在数轴上描出点B；
（2）求点C所表示的数，并在数轴上描出点C；

【分析】（1）利用两点间的距离表示即可；
（2）介绍三种解法：解法一：利用线段的和与差可得结论；
解法二：设BC＝x，则AC＝2x．列方程可得结论；
解法三：利用数轴上两点距离表示方法可得结论；
【解析】（1）点B在数轴上的位置如图1所示．

（2）解法一：因为AC＝2BC，点C在AB之间，
所以AB＝AC+BC＝3BC．
因为AB＝1﹣（﹣5）＝6，
所以BC＝2．
因为点B所表示的数是1，
1﹣2＝﹣1
所以点C所表示的数是﹣1．
解法二：设BC＝x，则AC＝2x．
因为AB＝1﹣（﹣5）＝6，
所以x+2x＝6．
解得x＝2．
因为点B所表示的数是1，
1﹣2＝﹣1，
所以点C所表示的数是﹣1．
解法三：设点C所表示的数为x．
因为点C在AB之间，
所以BC＝1﹣x，AC＝x﹣（﹣5）＝x+5．
因为AC＝2BC，
所以x+5＝2（1﹣x）．
解得x＝﹣1，
点C在数轴上的位置，如图2所示．

【变式3.3】（2019秋•曹县期末）出租车司机小明某天下午的营运全是在东西走向的长江路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车路程（单位：千米）如下：﹣13，﹣2，+6，+8，﹣3，﹣5，+4，﹣6，+7，若小明家位于距离出车地点的西边15千米处，送完最后一名乘客，小明还要行驶多少千米才能到家？
【分析】求出这些数据的和，根据和的符号、绝对值判断出送完最后一名乘客后的位置，进而求出距家的距离．
【解析】﹣13﹣2+6+8﹣3﹣5+4﹣6+7＝﹣4（千米），
15﹣|﹣4|＝11（千米），
小明还要行使11千米才能到家．

【考点4】相反数与绝对值
【例4】（2019秋•东湖区校级期中）若a，b满足|a|＜|b|≤3，且a，b为整数．
（1）直接写出a，b的最大值；
（2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？
【分析】（1）直接利用绝对值的性质得出a，b的最大值；
（2）直接利用绝对值的性质结合a，b的取值范围得出答案．
【解析】（1）∵a，b满足|a|＜|b|≤3，且a，b为整数，
∴﹣3＜a＜3，﹣3≤b≤3，
∴a，b的最大值分别是：2，3；
（2）∵|a|+b有最小值，
∴b＝﹣3，|a|＝0，
则a＝0，
故最小值是﹣3．
【变式4.1】（2018秋•江岸区校级月考）下列各对数中，不是相反数的是（　　）
A．+（﹣3）与（﹣3） B．（﹣1）与|﹣1|
C．8与﹣|﹣8| D．﹣5.2与﹣（﹣5.2）
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解析】∵+（﹣3）＝﹣3，与﹣3相同，故A不是相反数，
故选：A．
【变式4.2】（2019秋•平山区校级月考）化简：
（1）﹣{+[﹣（+3）]}；
（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解析】（1）原式＝﹣{+[﹣3]}＝﹣{﹣3}＝3；
（2）原式＝﹣{﹣[﹣（﹣3）]}＝﹣{﹣[+3]}＝﹣{﹣3}＝3．
【变式4.3】（2020秋•商水县校级月考）①已知x的相反数是﹣2，且2x+3a＝5，求a的值．
②已知﹣[﹣（﹣a）]＝8，求a的相反数．
【分析】①直接利用相反数的定义得出x的值，进而得出a的值；
②直接去括号得出a的值，进而得出答案．
【解析】①∵x的相反数是﹣2，且2x+3a＝5，
∴x＝2，
故4+3a＝5，
解得：a=13；

②∵﹣[﹣（﹣a）]＝8，
∴a＝﹣8，
∴a的相反数是8．
【变式4.4】（2019秋•霸州市校级月考）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为　 　；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为　 　；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．

【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点；
（3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O的位置即可．
【解析】（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C；
（3）如图所示：

故答案为：B；C．
【变式4.5】（2019秋•碑林区校级月考）已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b+c|﹣|a﹣b|．

【分析】根据数轴和绝对值化简解答即可．
【解析】由图可知：b＜a＜0＜c，
可得：a+c＞0，b+c＜0，a﹣b＞0，
所以|a+c|+|b+c|﹣|a﹣b|＝a+c﹣b﹣c﹣a+b＝0．
【考点5】有理数的大小比较
【例5】（2020秋•聊城期中）下列各组有理数的大小比较中，错误的是（　　）
A．-(-325)＞3.4 B．-334＜-|+(-3.14)|
C．+（﹣0.01）＜0 D．-(-34)＞-34
【分析】根据有理数大小比较的法则解答．
【解析】A、-(-325)=325=3.4，故本选项符合题意；
B、∵|+（﹣3.14）|＝3.14，
∴-334＜|+(-3.14)|，故本选项不合题意；
C、+（﹣0.01）＝﹣0.01＜0，故本选项不合题意；
D、∵-(-34)=34，
∴-(-34)＞-34，故本选项不合题意；
故选：A．
【变式5.1】下列各组有理数的大小比较中，不正确的是（　　）
A．﹣（﹣8）＞﹣8 B．4.5＞-(-92)
C．+(-179)＜0 D．﹣（﹣1.414）＞0
【分析】首先化简有理数，然后根据有理数大小比较法则即可得出答案．
【解析】A、﹣（﹣8）＝8，8＞﹣8，正确；
B、﹣（-92）＝4.5，4.5＝4.5，不正确；
C、+（﹣179）＝﹣179，﹣179正确；
D、﹣（﹣1.414）＝1.414，1.414＞0，正确；
不正确的是B；
故选：B．
【变式5.2】（2017秋•双流区校级期中）下列有理数的大小比较，正确的是（　　）
A．﹣2.1＞1.9 B．﹣7.3＜﹣1.4 C．0＜﹣20 D．0＞1.2
【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③两个负数绝对值大的反而小进行分析即可．
【解析】﹣2.1＜1.9，故选项A不合题意；
∵|﹣7.3|＞|﹣1.4|，∴﹣7.3＜﹣1.4，故选项B符合题意；
0＞﹣20，故选项C不合题意；
0＜1.2，故选项D不合题意．
故选：B．
【变式5.3】（2019秋•利辛县期中）阅读材料：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b，运用此方法可进行有理数的大小比较，如比较5与3的大小，因为5﹣3＝2＞0，所以5＞3，我们把这种比较大小的方法叫作“求差法”．
（1）请用“求差法”比较大小：-34与-23；
（2）请运用不同于（1）的方法比较-34与-23的大小．
【分析】（1）利用作差法比较两个有理数的大小；
（2）比较两个负数的绝对值，绝对值大的反而小．
【解析】（1）∵（-34）﹣（23）=-34+23=-912+812=-112＜0，
∴-34＜-23；
（2）∵|-34|=34=912，
|-23|=23=812，且912＞812，
∴-34＜-23．
【考点6】科学记数法与近似数
【例6】（2019秋•恩阳区 期中）北京大兴国际机场被誉为“世界第七大奇迹”．其旅客航站楼及停车楼是目前国内单体面积最大的绿色建筑，每年可减少二氧化碳排放约2.2万吨，相当于种植119万棵树．其中2.2万精确到是（　　）位．
A．万位 B．千位 C．十分位 D．百分位
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【解析】2.2万的最后一位2在千位上，因而精确到千位．
故选：B．
【变式6.1】（2018秋•浦东新区期中）计算：（6×102）2×（13×105）（用科学记数法表示）．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】（6×102）2×（13×105）=36×104×13×105=(36×13)×(104×105)=12×109=1.2×1010．
【变式6.2】．小亮和肖晓共同测量一本新华字典的厚度，由于选择的测量工具不同，小亮测得的数据是2.62厘米，肖晓测得的数据是2.621厘米，在小亮测得的数据中，最后一位的“2”是　 　（填“精确的”或“估计的”）；在肖晓测得的数据中，　 　是精确的，　 　是估计的．
【分析】本题主要考查利用刻度尺测量长度的方法，所用刻度尺的最小刻度不同，那么所得到的数精确程度就不同．
【解析】2.62厘米最后一位的“2”是估计的，数据2.621厘米中2.62是精确的，1是估计的．
【变式6.3】有一个到火星旅行的计划，来回的行程大约需要2个地球年（其中包括在火星上停留582个地球天），已知这个旅行的平均速度是44000km/h．那么火星和地球之间的距离约为多少千米？（用科学记数法表示，注：地球年、地球天是指地球上的一年或一天，即一年为365天，一天为24小时）
【分析】用行程的时间的一半的小时数乘速度，再根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数解答．
【解析】24×（365×2﹣582）×12×4400＝7.8×106（千米），
答：火星和地球之间的距离约为7.8×106千米．
【考点7】有理数的加减运算
【例7】（1）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13；
（2）25-|﹣112|﹣（+214）﹣（﹣2.75）；
（3）0.35+（﹣0.6）+0.25﹣（+5.4）；
（4）113-115+53-（﹣0.6）﹣（﹣335）；
（5）（+1.125）﹣（+334）﹣（+18）+（﹣0.25）．
【分析】（1）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（2）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（3）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（4）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（5）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得．
解析（1）原式＝﹣20+18﹣14+13
＝﹣34+31
＝﹣3；
（2）原式＝0.4﹣1.5﹣2.25+2.75
＝0.4﹣1.5+0.5
＝0.9﹣1.5
＝﹣0.6；
（3）原式＝0.35﹣0.6+0.25﹣5.4
＝﹣5.4；
（4）原式=43-65+53+35+185
=(43+53)+(-65+185+35)
＝3+3
＝6；
（5）原式＝1.125﹣3.75﹣0.125﹣0.25
＝（1.125﹣0.125）+（﹣3.75﹣0.25）
＝1﹣4
＝﹣3．
【变式7.1】（1）﹣27+（﹣32）+（﹣8）+72；
（2）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）；
（3）(-3.5)+(-43)+(-43)-(-72)+0.75-(+73)；
（4）(-112)+(+114)+(-212)-(-314)-(+114)．
【分析】（1）（2）从左向右依次计算即可．
（3）（4）根据加法交换律、加法结合律计算即可．
解析（1）﹣27+（﹣32）+（﹣8）+72
＝﹣59﹣8+72
＝5．

（2）（+4.3）﹣（﹣4）+（﹣2.3）﹣（+4）
＝8.3﹣2.3﹣4
＝2．

（3）(-3.5)+(-43)+(-43)-(-72)+0.75-(+73)
＝[（﹣3.5）﹣（-72）]+[（-43）+（-43）﹣（+73）]+0.75
＝0+（﹣5）+0.75
＝﹣4.25．

（4）(-112)+(+114)+(-212)-(-314)-(+114)
＝[（﹣112）+（﹣212）]+[（+114）﹣（﹣314）﹣（+114）]
＝﹣4+314
=-34．
【变式7.2】．在建筑工地上，一台升降机先上升3.5m，再下降2.2m，然后上升5.1m，最后下降6.6m，此时该升降机的位置比开始的位置高　﹣0.2　m．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
解析3.5﹣2.2+5.1﹣6.6
＝8.6﹣8.8
＝﹣0.2（m）．
答：此时该升降机的位置比开始的位置高﹣0.2m．
故答案为：﹣0.2．
【变式7.3】已知a＝﹣4，b＝﹣17，c＝11，求：
（1）a﹣b+c；
（2）a﹣b﹣c；
（3）a﹣（b﹣c）．
【分析】把a＝﹣4，b＝﹣17，c＝11分别代入各个算式，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可．
解析a＝﹣4，b＝﹣17，c＝11，
（1）a﹣b+c
＝﹣4﹣（﹣17）+11
＝﹣4+17+11
＝24；

（2）a﹣b﹣c
＝﹣4﹣（﹣17）﹣11
＝﹣4+17﹣11
＝2；

（3）a﹣（b﹣c）
＝﹣4﹣（﹣17﹣11）
＝﹣4﹣（﹣28）
＝﹣4+28
＝24．
【变式7.4】（2020秋•郫都区期中）若|m|＝7，n2＝36，且n＞m，求m+n的值．
【分析】根据条件先确定m和n的值，m+n的值应该是四种情况，但n＞m时，有两种情况符合，分别计算即可．
【解析】∵|m|＝7，
∴m＝±7，
∵n2＝36，
∴n＝±6，
∵n＞m，
∴①当m＝﹣7时，n＝﹣6，m+n＝﹣7﹣6＝﹣13；
②当m＝﹣7时，n＝6，m+n＝﹣7+6＝﹣1．
∴m+n＝﹣13或﹣1．
【考点8】有理数的乘除运算
【例8】（1）（﹣5）×2+20÷（﹣4）
（2）（12-3+56-712）÷（-1.36）
（3）-34×（-12）÷（﹣214）
（4）﹣3.5÷78×（-34）
（5）[212-（79-1112+16）×36]÷5
（6）（23-112-415）×（﹣60）
（7）（34-16-58）×（﹣24）
【分析】（1）根据有理数的乘法和除法运算法则进行计算即可得解；
（2）先根据除以一个数等于乘以这个数的倒数转化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可得解；
（3）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后计算即可得解；
（4）根据有理数的除法和乘法运算法则进行计算即可得解；
（5）先把括号内的利用乘法分配律进行计算，在根据有理数的减法和除法运算法则进行计算即可得解；
（6）利用乘法分配律进行计算即可得解；
（7）利用乘法分配律进行计算即可得解．
解析（1））（﹣5）×2+20÷（﹣4），
＝﹣10﹣5，
＝﹣15；

（2）（12-3+56-712）÷（-1.36），
＝（12-3+56-712）×（﹣36），
=12×（﹣36）﹣3×（﹣36）+56×（﹣36）-712×（﹣36），
＝﹣18+108﹣30+21，
＝129﹣48，
＝81；

（3）-34×（-12）÷（﹣214），
=-34×12×49，
=-16；

（4）﹣3.5÷78×（-34），
=72×87×34，
＝3；

（5）[212-（79-1112+16）×36]÷5，
＝[212-（79×36-1112×36+16×36）]÷5，
＝[212-（28﹣33+6）]÷5，
＝（212-1）÷5，
=310；

（6）（23-112-415）×（﹣60），
=23×（﹣60）-112×（﹣60）-415×（﹣60），
＝﹣40+5+16，
＝﹣40+21，
＝﹣19；

（7）（34-16-58）×（﹣24），
=34×（﹣24）-16×（﹣24）-58×（﹣24），
＝﹣18+4+15，
＝﹣18+19，
＝1．
【变式8.1】计算题
（1）（﹣5）×2+20÷（﹣4）
（2）（12-3+56-712）÷（-1.36）
（3）-34×（-12）÷（﹣214）
（4）﹣3.5÷78×（-34）
（5）[212-（79-1112+16）×36]÷5
（6）（23-112-415）×（﹣60）
（7）（34-16-58）×（﹣24）
【分析】（1）根据有理数的乘法和除法运算法则进行计算即可得解；
（2）先根据除以一个数等于乘以这个数的倒数转化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可得解；
（3）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后计算即可得解；
（4）根据有理数的除法和乘法运算法则进行计算即可得解；
（5）先把括号内的利用乘法分配律进行计算，在根据有理数的减法和除法运算法则进行计算即可得解；
（6）利用乘法分配律进行计算即可得解；
（7）利用乘法分配律进行计算即可得解．
解析（1））（﹣5）×2+20÷（﹣4），
＝﹣10﹣5，
＝﹣15；

（2）（12-3+56-712）÷（-1.36），
＝（12-3+56-712）×（﹣36），
=12×（﹣36）﹣3×（﹣36）+56×（﹣36）-712×（﹣36），
＝﹣18+108﹣30+21，
＝129﹣48，
＝81；

（3）-34×（-12）÷（﹣214），
=-34×12×49，
=-16；

（4）﹣3.5÷78×（-34），
=72×87×34，
＝3；

（5）[212-（79-1112+16）×36]÷5，
＝[212-（79×36-1112×36+16×36）]÷5，
＝[212-（28﹣33+6）]÷5，
＝（212-1）÷5，
=310；

（6）（23-112-415）×（﹣60），
=23×（﹣60）-112×（﹣60）-415×（﹣60），
＝﹣40+5+16，
＝﹣40+21，
＝﹣19；

（7）（34-16-58）×（﹣24），
=34×（﹣24）-16×（﹣24）-58×（﹣24），
＝﹣18+4+15，
＝﹣18+19，
＝1．
【变式8.2】（1）375÷（-23）÷（-23）；
（2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7；
（2）42×（-23）+（-34）÷（﹣0.25）；
（4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]．
【分析】（1）将除法运算化为乘法运算，计算即可得到结果；
（2）先计算乘除运算，再计算加法运算，即可得到结果；
（3）先计算乘除运算，再计算加减运算，即可得到结果；
（4）先计算括号中的运算，再计算除法运算，即可得到结果．
解析（1）原式＝375×（-32）×（-32）=33754；
（2）原式＝﹣12﹣4＝﹣16；
（3）原式＝﹣28+3＝﹣25；
（4）原式＝﹣1155÷165＝﹣7．
【变式8.3】桌子上放有7只茶杯，杯口全部朝上，每次翻转其中的4只茶杯，能否经过若干次翻转，把它们翻成杯口全部朝下？
【分析】根据有理数的乘法运算，同号得正，同时改变四个杯子的开口方向，乘积符号不变．
解析把茶杯口朝上的状态记为+1，口朝下的状态记为﹣1．
根据题意，开始时7 个茶杯的状态都是+1，它们的乘积也为+1，
每次操作翻转4只茶杯，相当于把7个数中的4个改变符号，但把一个乘积的偶数个因数改变符号时，并不能改变乘积的符号．
因此，不管你进行多少次操作都不能使乘积变为﹣1．
当7只茶杯都口朝下时，所有的状态都是﹣1，它们的积是﹣1，
所以不可能通过操作把7只茶杯都变得口朝下．
【变式8.4】某班举办数学知识比赛，共分五个小组，其中四个小组的成绩如表所示，请问：
小组
第一组
第二组
第三组
第四组
人数
15
13
14
12
小组平均分与全班平均分的差值
4
﹣3
﹣2
1
（1）这四个小组的总平均分比全班的平均分高还是低？为什么？
（2）据（1）你能否判断第五组的成绩比全班平均分高，还是低？
【分析】（1）这四个小组的总平均分比全班的平均分高，理由为：根据表示求出四个小组的总平均分与全班的平均分之差，判断即可得到结果；
（2）
解析（1）高，因为4×15+12×1﹣13×3﹣14×2＝5＞0；
（2）据（1）可判断第五组的成绩比全班平均分低．
【考点9】有理数的乘方运算
【例9】计算：
（1）﹣14-16×[2﹣（﹣3）2]；
（2）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）×13×[2﹣（﹣2）2]；
（3）（﹣2）2﹣22﹣|-14|×（﹣1）2；
（4）（﹣212）×（﹣0.5）3×（﹣2）2×（﹣8）．
【分析】分别根据有理数的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的进行计算即可得解．
解析（1）﹣14-16×[2﹣（﹣3）2]，
＝﹣1-16×（2﹣9），
＝﹣1+76，
=16；

（2）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）×13×[2﹣（﹣2）2]，
＝1-12×13×（2﹣4），
＝1+13，
=43；

（3）（﹣2）2﹣22﹣|-14|×（﹣1）2，
＝4﹣4-14×1，
=-14；

（4）（﹣212）×（﹣0.5）3×（﹣2）2×（﹣8），
=-52×（-18）×4×（﹣8），
=-52×18×4×8，
＝﹣10．
【变式9.1】计算：
（1）（﹣18）÷214×49÷（﹣16）；
（2）﹣3.5÷78×（-87）；
（3）23÷49×（-23）2．
【分析】根据有理数的混合运算的顺序和运算法则进行计算便可．
解析（1）（﹣18）÷214×49÷（﹣16）=+18×49×49×116=29；
（2）﹣3.5÷78×（-87）=+72×87×87=327；
（3）23÷49×（-23）2=8×94×49=8．
【变式9.2】（2019秋•楚州区校级月考）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合、拉伸，反复多次，就能拉成许多细面条．如图所示：

（1）经过第3次捏合后，可以拉出　8　根细面条；
（2）到第　5　次捏合后可拉出32根细面条．
【分析】（1）根据图形得出经过第一次捏合后，可以拉出2根细面条，即2＝21经过第二次捏合后，可以拉出4根细面条，即4＝22，推出经过第三次捏合后，可以拉出8（4+4）根细面条，即可得出答案；
（2）分别求出第一次、第二次、第三次、第四次、第五次的面条的根数，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵经过第一次捏合后，可以拉出2根细面条，即2＝21，
经过第二次捏合后，可以拉出4根细面条，即4＝22，
∴经过第三次捏合后，可以拉出8根细面条，即8＝23，
故答案为：8；
（2）解：∵经过第一次捏合后，可以拉出2根细面条，即2＝21，
经过第二次捏合后，可以拉出4根细面条，即4＝22，
经过第三次捏合后，可以拉出8根细面条，即8＝23，
经过第四次捏合后，可以拉出16根细面条，即16＝24
∴经过第五次捏合后，可以拉出32根细面条，即32＝25，
故答案为：5．
【变式9.3】（2019秋•镜湖区校级期中）阅读下列计算公式：2n+1﹣2n＝2n（2﹣1）＝2n．请你根据以上规律，计算：220﹣219﹣218﹣…﹣23﹣22+2．
【分析】根据公式2n+1﹣2n＝2n（2﹣1）＝2n可知220﹣219＝219，以此类推可得出：220﹣219﹣218﹣…﹣23﹣22+2的值．
【解析】∵2n+1﹣2n＝2n（2﹣1）＝2n
∴220﹣219﹣218﹣…﹣23﹣22+2
＝219﹣218﹣…﹣23﹣22+2
＝218﹣…﹣23﹣22+2
＝22+2
＝6
【变式9.4】（2019秋•武侯区校级期中）若n为整数，则(-1)n+(-1)n+12=　0　．
【分析】把分子提公因式（﹣1）n，得出分子是（﹣1）n×0＝0，即可得出答案．
【解析】(-1)n+(-1)n+12
=(-1)n[1+(-1)]2
=(-1)n×02
＝0．
故答案为：0．
【考点10】有理数的有关新定义运算
【例10】（2019秋•通州区期末）在数轴上，我们把表示数2的点定为核点，记作点C，对于两个不同的点A和B，若点A，B到点C的距离相等，则称点A与点B互为核等距点．如图，点A表示数﹣1，点B表示数5，它们与核点C的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为核等距点．

（1）已知点M表示数3，如果点M与点N互为核等距点，那么点N表示的数是　1　；
（2）已知点M表示数m，点M与点N互为核等距点，
①如果点N表示数m+8，求m的值；
②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以2，再把所得数表示的点沿着数轴向左移动5个单位长度得到点N，求m的值．
【分析】（1）由已知可求MC＝1，根据核等距点的定义，可求N表示的数是1；
（2）①由已知可求MN＝8所以核点C到点M与点N的距离都是4个单位长度．点M在点N左侧，m＝﹣2；
②根据题意得2m﹣5＝4﹣m，解得m＝3．
【解析】（1）∵点M表示数3，
∴MC＝1，
∵点M与点N互为核等距点，
∴N表示的数是1，
故答案为1；
（2）①因为点M表示数m，点N表示数m+8，
∴MN＝8．
∴核点C到点M与点N的距离都是4个单位长度．
∵点M在点N左侧，
∴m＝﹣2．
②根据题意得2m﹣5＝4﹣m，
解得m＝3．
【变式10.1】（2020•白云区一模）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知有一种键盘密码，每个字母与所在按键的数字序号对应（如图），如字母Q与数字序号0对应，当明文中的字母对应的序号为a时，将a+7除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“X”对应密文“W”．
按上述规定，将密文“TKGDFY”解密成明文后是（　　）

A．DAISHU B．TUXING C．BAIYUN D．SHUXUE
【分析】根据“明文”与“密文”的转化规则，由“明文”得出“密文”，反之亦然．
【解析】由“明文”与“密文”的转换规则可得：

故选：C．
【变式10.2】（2020秋•凌河区校级期中）阅读计算：
阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三个问题：
（1）验证：（4×0.25）100＝　1　；4100×0.25100＝　1　．
（2）通过上述验证，归纳得出：（ab）n＝　anbn　；（abc）n＝　anbncn　．
（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
【分析】①先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．
②根据有理数乘方的定义求出即可；
③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．
【解析】①：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，
故答案为：1，1．
②（a•b）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，
故答案为：anbn，（abc）n＝anbncn．
③原式＝（﹣0.125）2012×22012×42012×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×2×4）2012×（﹣0.125）
＝（﹣1）2012×（﹣0.125）
＝1×（﹣0.125）
＝﹣0.125．
【变式10.3】（2020秋•沙坪坝区校级月考）我们知道，每个自然数都有因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标”．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10．所以10的“完美指标”是：[（1+5﹣（2+10）]÷10=-35，我们规定．若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例知，因为8的“完美指标”是[（1+3）﹣（2+6）]÷6=-23，7没有正偶数因数，7的“完美指标”是（1+7）÷7=87，且|-23|＜|87|，所以6比7更“完美”．
根据上述材料，求出18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数．
【分析】先求出各数的正因数，再根据题目中求“完美指标“的方法计算各数的”完美指标”，即可得出答案．
【解答】18的正因数有1，2，3，6，9，18，
正奇因数有1，3，9，正偶因数有2，6，18，
18的“完美指标”是[（1+3+9）﹣（2+6+18）]÷18=-1318；
19的正因数有1，19，
正奇因数有1，19，无正偶因数，
19的“完美指标”是（1+19）÷19=2019；
20的正因数有1，2，4，5，10，20，
正奇因数有1，5，正偶因数有2，4，10，20，
20的“完美指标”是[（1+5）﹣（2+4+10+20）]÷20=-32；
21的正因数有1，3，7，21，
正奇因数有1，3，7，21，无正偶因数，
21的“完美指标”是（1+3+7+21）÷21=3221；
因为|-1318|＜2019＜|-32|＜3221，
所以18是18，19，20，21这四个自然数中最“完美”的数．
【变式10.4】（2019秋•曲靖期末）阅读理解：李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是：“头尾一拉，中间相加，满十进一”例如：①24×11＝264．计算过程：24两数拉开，中间相加，即2+4＝6，最后结果264；②68×11＝748．计算过程：68两数分开，中间相加，即6+8＝14，满十进一，最后结果748．
（1）计算：①32×11＝　352　，②78×11＝　858　；
（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（a+b＜10），将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是　a　，十位数字是　a+b　，个位数字是　b　；（用含a、b的代数式表示）
（3）请你结合（2）利用所学的知识解释其中原理．
【分析】（1）根据口诀：“头尾一拉，中间相加，满十进一”即可求解；
（2）由（1）两位数十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数乘11，得到一个三位数即可得结果；
（3）结合（2）可得11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b．
【解析】（1）①∵3+2＝5
∴32×11＝352
②∵7+8＝15
∴78×11＝858
故答案为352，858．
（2）两位数十位数字是a，个位数字是b，这个两位数乘11，
∴三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b．
故答案为：a，a+b，b．
（3）两位数乘以11可以看成这个两位数乘以10再加上这个两位数，
若两位数十位数为a，个位数为b，
则11（10a+b）
＝10（10a+b）+（10a+b）
＝100a+10b+10a+b
＝100a+10（a+b）+b
根据上述代数式，可以总结出规律口诀为：
“头尾一拉，中间相加，满十进一”．
【考点11】有理数的实际问题
【例11】（2020秋•兰州期中）某班学生的平均身高是160厘米，下表给出了该班6名同学的身高情况（单位：厘米）
（1）完成下表：
姓名
小明
小彬
小丽
小亮
小颖
小山
身高
159
　161　
　160　
152
162
168
身高与平均身高的差
﹣1
+1
0
　﹣8　
+2
　+8　
（2）谁最高？谁最矮？
（3）列式计算最高与最矮的学生身高相差多少？
【分析】（1）根据身高与平均身高的差值分别得出答案；
（2）利用（1）中所求得出答案；
（3）利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解析】（1）完成表：161，160，﹣8，+8；
故答案为：161，160，﹣8，+8；

（2）小山最高，最矮；小亮最矮；

（3）168﹣152＝16（厘米），
答：最高与最矮的学生身高相差16cm．
【变式11.1】（2020秋•市中区期中）某学校准备印刷一批证书，现有两个印刷厂可供选择：
甲厂收费方式：收制版费1000元，每本印刷费0.5元；
乙厂收费方式：不超过2000本时，每本收印刷费1.5元；超过2000本时，超过部分每本收印刷费0.25元．若该校印制证书x本．
（1）若x不超过2000时，甲厂的收费为　（1000+0.5x）　元，乙厂的收费为　1.5x　元；
（2）若x超过2000时，甲厂的收费为　（1000+0.5x）　元，乙厂的收费为　（0.25x+2500）　元；
（3）当印制证书8000本时应该选择哪个印刷厂更节省费用？节省了多少？
【分析】（1）根据印刷费用＝数量×单价可分别求得；
（2）根据甲厂印刷费用＝制版费+数量×单价、乙厂印刷费用＝2000×1.5+超出部分的费用可得；
（3）分别计算出x＝8000时，甲、乙两厂的费用即可得
【解析】（1）若x 不超过2000时，甲厂的收费为（1000+0.5x）元，乙厂的收费为1.5x元．
故答案为：（1000+0.5x），1.5x；

（2）若x 超过2000时，甲厂的收费为（1000+0.5x）元，乙厂的收费为2000×1.5+0.25（x﹣2000）＝（0.25x+2500）元．
故答案为：（1000+0.5x），（0.25x+2500）；

（3）当x＝8000时，甲厂费用为1000+0.5×8000＝5000（元），
乙厂费用为：0.25×8000+2500＝4500（元），
5000﹣4500＝500（元）．
故当印制证书8000本时应该选择乙印刷厂更节省费用，节省了500元．
【变式11.2】（2020秋•江岸区期中）居民生活用水阶梯式计量水价，用户每月用水量在22立方米及以内的为第一级基数，按一级用水价格收取；超过22立方米且不超过30立方米的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30立方米的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的2倍收取．为节约用水，小张记录了1﹣7月份他家每月1号的水表读数．

1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
水表止码（立方米）
234
244
253
262
273
283
294
（1）直接写出小张家1﹣6月平均每月用水量为　10立方米　．
（2）已知小张家2月份的水费为18元，试求他家6月份需交水费多少元？
（3）由于小张家7月份装修，比6月份多用水20立方米，试求小张家7月份需交纳水费多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出小张家1﹣6月平均每月用水量；
（2）根据小张家2月份的水费为18元，可以计算出第一级收费标准，从而可以计算出他家6月份需交水费多少元；
（3）根据题意，可以计算出张家7月份需交纳水费多少元．
【解析】（1）由表格数据可得，
小张家1﹣6月平均每月用水量为（294﹣234）÷6＝60÷6＝10（立方米），
故答案为：10立方米；
（2）∵2月份用水：253﹣244＝9（立方米）＜22立方米，
∴一级收费标准为：18÷9＝2（元/立方米），
∵6月份用水：294﹣283＝11（立方米）＜22立方米，
∴6月份需交水费：11×2＝22（元），
答：他家6月需交水费22元；
（3）∵6月份用水：294﹣283＝11（立方米），
∴7月份用水：11+20＝31（立方米），
∴小张家7月份需交纳水费：22×2+（30﹣22）×2×1.5+（31﹣30）×2×2＝72（元），
答：小张家7月份需交纳水费72元．
【变式11.3】（2020秋•魏都区期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，这四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．
下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：

（1）列式，并计算：
①﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？
②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？
（2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是77，a是多少？
【分析】（1）①根据题意和图形，可以计算出﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后的结果；
②根据题意和图形，可以计算出5经过B，C，A，D的顺序运算后的结果；
（2）根据题意，可以列出关于a的方程，从而可以求得a的值．
【解析】（1）①由题意可得，
[（﹣3）×2﹣（﹣5）]2+6
＝（﹣6+5）2+6
＝（﹣1）2+6
＝1+6
＝7；
②[5﹣（﹣5）]2×2+6
＝（5+5）2×2+6
＝102×2+6
＝100×2+6
＝200+6
＝206；
（2）由题意知，（a+6）2×2﹣（﹣5）＝77，
∴a+6）2×2+5＝77，
∴（a+6）2×2＝72，
∴（a+6）2＝36，
∴a+6＝6或﹣6，
∴a＝0或﹣12．
【变式11.4】（2020秋•合肥期中）魔术师为大家表演魔术．他请观众想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：

魔术师立刻说出观众想的那个数．
（1）如果小明想的数是﹣2，那么他告诉魔术师的结果应该是　3　．
（2）如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为105，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是　100　．
（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你通过计算说出其中的奥妙．
【分析】（1）按运算步骤可以得到，结果是[（﹣2）×3﹣6]÷3+7，即可求解；
（2）设小聪想到的数是x，则根据题意得：（3x﹣6）÷3+7＝105，从而求解；
（3）根据给出的运算表，即可列出代数式，再将式子进行化简，即可求得想到的数与结果的关系．
【解析】（1）[（﹣2）×3﹣6]÷3+7
＝（﹣6﹣6）÷3+7
＝（﹣12）÷3+7
＝﹣4+7
＝3，
故答案为：3．
（2）设小聪想到的数是x，则根据题意得：（3x﹣6）÷3+7＝105，
解得：x＝100；
∴小聪想的那个数是100，
故答案为：100；
（3）设观众想的数为a．变换之后的结果为（3a﹣6）÷3+7＝a+5，
∴魔术师用结果减去5就是观众想的数．
【考点12】以数轴为背景的综合问题
【例12】（2019秋•中山市期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．
（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为　﹣3　，　﹣1　，m的值为　﹣4　；
（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．

【分析】（1）根据数轴上的点对应的数即可求解；
（2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解；
（3）根据原点在点C的右边先确定点C对应的数，进而确定点B、点A所表示的数即可求解．
【解析】（1）∵点C为原点，BC＝1，
∴B所对应的数为﹣1，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2，
∴点A所对应的数为﹣3，
∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；
故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；
（2）∵点B为原点，AC＝6，AB＝2BC，
∴点A所对应的数为﹣4，点C所对应的数为2，
∴m＝﹣4+2+0＝﹣2；
（3）∵原点O到点C的距离为8，
∴点C所对应的数为±8，
∵OC＝AB，
∴AB＝8，
当点C对应的数为8，
∵AB＝8，AB＝2BC，
∴BC＝4，
∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为﹣4，
∴m＝4﹣4+8＝8；
当点C所对应的数为﹣8，
∵AB＝8，AB＝2BC，
∴BC＝4，
∴点B所对应的数为﹣12，点A所对应的数为﹣20，
∴m＝﹣20﹣12﹣8＝﹣40
综上所述 m＝8或﹣40．
【变式12.1】（2020秋•江阴市期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进4步后退3步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为一个单位长度，xn表示第n秒时机器人在数轴上位置所对应的数．则下列结论中正确的有　①②③④　．（只需填入正确的序号）
①x3＝3；②x5＝3；③x101＜x102；④x2019＜x2020．
【分析】“前进4步后退3步”这7秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节末位的数即x7＝1，第二个循环节末位的数即x14＝2，第三个循环节末位的数即x21＝3，…，即第m个循环节末位的数即x7m＝m，然后再根据“前进4步后退3步”的运动规律来求取对应的数值．
【解析】根据题意可知：
x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝3，x6＝2，x7＝1，x8＝2，x9＝3，x10＝4，x11＝5，x12＝4，x13＝3，x14＝2，x15＝3…
由上可知：第一个循环节末位的数即x7＝1，第二个循环节末位的数即x14＝2，第三个循环节末位的数即x21＝3，…，即第m个循环节末位的数即x7m＝m．
∵x98＝14，
∴x99＝15，x100＝16，x101＝17，x102＝18，
故x102＞x101，
∵x2016＝288，
∴x2017＝289，x2018＝290，x2019＝291，x2020＝292，
故x2019＜x2020，
所以正确的结论是①②③④，
故答案为：①②③④．
【变式12.2】（2019秋•新宾县期末）某巡警骑摩托车在一条东西大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向东方向为正，向西方向为负，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：+10，﹣8，+6，﹣14，+4，﹣2．
（1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？
（2）若摩托车每行驶1千米耗油0.5升，这一天共耗油多少升？
【分析】（1）求出这几个数的和，通过和的符号和绝对值判断位置和距离；
（2）计算所有行驶路程的和，即这些数的绝对值的和，再求耗油量．
【解析】（1）+10﹣8+6﹣14+4﹣2＝﹣4（千米），
答：A处在岗亭西方，距离岗亭4千米；
（2）|+10|+|﹣8|+|+6|+|﹣14|+|4|+|﹣2|＝10+8+6+14+4+2＝44（千米）
44×0.5＝22（升）
答：这一天共耗油22升．
【变式12.3】（2020秋•鄞州区期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2．

（1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是　G　；写出【N，M】美好点H所表示的数是　﹣4或﹣16　．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？

【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【解析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，
故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定﹣4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是﹣16．
故答案是﹣4或﹣16．
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，

当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2﹣3＝﹣1，因此t＝1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，

当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2﹣6＝﹣4，因此t＝3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，

当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2﹣18＝﹣16，因此t＝9秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，

当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2﹣27＝﹣25，因此t＝13.5秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，

当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2﹣13.5＝﹣11.5，因此t＝6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，

当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；

第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，

当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，
第八种情况，

N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，
当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．
【变式12.4】（2019秋•丰城市期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）MN的长为　4　；
（2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是　1　；
（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由．
（4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值．

【分析】（1）MN的长为3﹣（﹣1）＝4，即可解答；
（2）根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；
（3）可分为点P在点M的左侧和点P在点N的右侧，点P在点M和点N之间三种情况计算；
（4）分别根据①当点M和点N在点P同侧时；②当点M和点N在点P异侧时，进行解答即可．
【解析】（1）MN的长为3﹣（﹣1）＝4；
（2）根据题意得：x﹣（﹣1）＝3﹣x，
解得：x＝1；
（3）①当点P在点M的左侧时．
根据题意得：﹣1﹣x+3﹣x＝8．
解得：x＝﹣3．
②P在点M和点N之间时，则x﹣（﹣1）+3﹣x＝8，方程无解，即点P不可能在点M和点N之间．
③点P在点N的右侧时，x﹣（﹣1）+x﹣3＝8．
解得：x＝5．
∴x的值是﹣3或5；
（4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM＝PN．
点P对应的数是﹣t，点M对应的数是﹣1﹣2t，点N对应的数是3﹣3t．
①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，
所以﹣1﹣2t＝3﹣3t，解得t＝4，符合题意．
②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），
故PM＝﹣t﹣（﹣1﹣2t）＝t+1．PN＝（3﹣3t）﹣（﹣t）＝3﹣2t．
所以t+1＝3﹣2t，解得t=23，符合题意．
综上所述，t的值为23或4．
【变式12.5】（2019秋•海淀区校级期中）设A、B、C是数轴上的三个点，且点C在A、B之间，它们对应的数分别为xA、xB、xC．
（1）若AC＝CB，则点C叫做线段AB的中点，已知C是AB的中点．
①若xA＝1，xB＝5，则xc＝　3　；
②若xA＝﹣1，xB＝﹣5，则xC＝　﹣3　；
③一般的，将xC用xA和xB表示出来为xC＝　xA+xB2　；
④若xC＝1，将点A向右平移5个单位，恰好与点B重合，则xA＝　﹣1.5　；
（2）若AC＝λCB（其中λ＞0）．
①当xA＝﹣2，xB＝4，λ=13时，xC＝　﹣0.5　．
②一般的，将xC用xA、xB和λ表示出来为xC＝　11+λxA+λ1+λxB　．

【分析】（1）①②③分别按所给的关系式及点在数轴上的位置，计算即可；
④根据平移关系用xA+5表示出xB，再按③中关系式计算即可；
（2）①根据AC＝λCB，将xA＝﹣2，xB＝4，λ=13代入计算即可；
②根据AC＝λCB，变形计算即可．
【解析】（1）C是AB的中点，
①∵xA＝1，xB＝5，
∴xc=5+12=3
故答案为：3；
②∵xA＝﹣1，xB＝﹣5，
∴xC=-1-52=-3
故答案为：﹣3；
③xC=xA+xB2
故答案为：xA+xB2；
④∵将点A向右平移5个单位，恰好与点B重合，
∴xB＝xA+5，
∴xC=xA+xB2=xA+xA+52=1，
∴xA＝﹣1.5
故答案为：﹣1.5；
（2）①∵AC＝λCB，xA＝﹣2，xB＝4，λ=13，
∴xC﹣（﹣2）＝λ（4﹣xC）
∴（1+λ）xC＝4λ﹣2
∴xC=4λ-21+λ=4×13-21+13=-0.5
故答案为：﹣0.5；
②∵AC＝λCB
∴xC﹣xA＝λ（xB﹣xC）
∴（1+λ）xC＝xA+λxB
∴xC=11+λxA+λ1+λxB
故答案为：11+λxA+λ1+λxB．