2020年山东省青岛市第一中学12月份高二数学月考试题

青岛一中学年度月考试题（高二数学）第I卷(共60分)     一､单选题(本题包括8小题,每小题5分,共40分｡每小题只有一个选项符合题意)1.直线的一个方向向量是(    )A.  B.  C.  D.2.椭圆的离心率为(   )A.   B.   C.   D.3.两条平行直线和间的距离为d,则a,d分别为(    )A.,    B.=-6,C.,    D.,4.如图,四棱锥的底面是矩形,设,,,E是PC的中点,则(  )A.   B.C.   D.5.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)A．1升   D．升C.升   D．升6.已知圆,过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值(   )A.1   B.2   C.3   D.47.已知l,m是异面直线,A,,C,,,,,则异面直线l,m所成的角等于()      C.   D.8.已知是椭圆的左右焦点,A是C的左顶点,点P在过点A且斜率的直线上,为等腰三角形,,则椭圆C的离心率为()   B.       二.多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.)9.过点,并且在两轴上的截距相等的直线方程为()A. B. C.  D.10.已知曲线.()A.若,则C是椭圆,其焦点在y轴上 B.若,则C是椭圆,其焦点在x轴上C.若,则C是圆,其半径为 D.若,,则C是两条直线11.已知圆和两点,若圆C上存在点P,使得,则m的可能取值为()A.7   B.6   C.5   D.812（2020·鱼台县第一中学月考）设是等差数列，为其前项和，且，，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．、均为的最大值第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三､填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知平面的一个法向量,平面的一个法向量,若,则___.14.在棱长为1的正方体中,E是线段的中点,F是线段的中点,则直线到平面的距离为___.15. 双曲线的一个焦点为，那么            ．16. 已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是__________．17.(本题满分10分)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为､､.(1)在中,求边AC中线所在直线方程;(Ⅱ)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度.18.等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.19. 已知圆，直线．（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；（2）若，求的值； 20..(本题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD中点.
 （1）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（2）求面PAM与面PAC夹角的余弦值. 21.(本题满分12分)在如图所示的试验装置中,两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直,活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,记.(I)求MN的长;(Ⅱ)a为何值时,MN的长最小并求出最小值;(III)当MN的长最小时,求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值. 22.(本题满分12分)已知点,点P是圆上的任意一点,线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E.(I)求点E的轨迹方程;(Ⅱ)过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M,N,则的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线l的方程;若不存在,请说明理由.青岛一中学年度月考试题（高二数学）答案一单选1-8 ABDB BBCD二、多选9、AC 10、AD 11、BC 12、ABD三、填空题13、1 ；14、1/3；15、-1；16、5【答案】5【解析】如图，过作准线的垂线，垂足为，则，而，故所求的最小值为．四、解答题18.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则　解得∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.19.【答案】（1）见解析；（2）；【解析】试题分析：（1）把直线方程整理为，则该直线过定点，它在圆的内部，从而直线与圆总有两个不同的交点．（2）由可以得到弦心距，利用圆心到直线的距离公式可求出．（3）若弦最短时，则，故可由的斜率求出求的斜率，最后求得的直线方程．解析：（1）证明：直线可化为：直线恒过点，将代入可得： ，即在圆内部，故对，直线与圆总有两个不同的交点．（2），圆的半径为：，圆心到直线的距离为，故，解得．20、【答案】因为平面，平面，故，同理，由矩形可得，故可建立如图所示的空间直角坐标系，故，所以.（1），，设平面的法向量为，则，故，取，则，，故，所以，故直线与平面所成的角的正弦值.（2）因为，，，故平面，故为平面的法向量，又，故，故二面角的余弦值为.建立空间直角坐标系如图所示