2020-2021学年度高一数学全真模拟卷（四）解析版
展开2020-2021学年高一数学上学期期末考试全真模拟卷（四）
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
由可得：或，即或，
设或，，
因为，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
2．下列命题中正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【详解】
时，，∴，A错；
时，，，因此，∴，即，B正确；
时，，，即，C错；
时，，，∴，D错误．
故选：B．
3．已知非负数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】
已知非负数，满足，则有：，
由已知可得：，则，
由，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为，
故选：B
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
.
故选：A
5．若函数在上的值域为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
的图象上距离最近的两个最值点分别是，，故的最小值为.
故选：C
6．已知函数的最小正周期为，且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由，得，又，为奇函数，，又，得，，又由，可得
故选：A
7．把函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为的奇函数，则和的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】
将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得到函数，
再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
因为函数是一个最小正周期为的奇函数，则，解得，
且有，可得，
，，.
故选：B.
8．已知函数(且)在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
是上的单调递减函数，
在上单调递减，在上单调递减，且在上的最小值大于或等于.
，解得.
作出函数和的草图如图所示：
恰有两个不相等的实数解，
，即，
综上，.
故选：D.
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分．
9．设不大于的最大整数为，如．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】
，
因为，
所以，，，
∵，∴，
故选：AD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题：“若，则”的否定是真命题
C．命题“，”的否定形式是“，”
D．将函数的图像向左平移个单位长度得到的图像，则的图像关于点对称
【答案】ABD
【详解】
解：逐一考查所给命题的真假：
．若“”则“”，反之不一定成立，故题中的命题正确，
．当时，命题为假命题，故其否定是真命题，题中的命题正确，
．命题“，”的否定形式是“”，题中的命题错误，
．将函数的图象向左平移 个单位长度得到的函数为，
由于函数 为奇函数，其函数图象关于坐标原点对称，故函数的图象关于点 对称，题中的命题正确，
故选：．
11．已知函数，关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．设，则的最小值一定为
C．不等式的解集为
D．若，且，则x的取值范围是
【答案】ACD
【详解】
由题意，即，∴，A正确；
，但当时，，B错；
，由已知，即，且，C正确；
由题意知在上是增函数，在上是常函数，因此由得或，解得或，综上，．D正确．
故选：ACD．
12．已知函数，则以下说法中正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在上单调递减
C．是的一个对称中心 D．当时，的最大值为
【答案】ABC
【详解】
依题意
.
所以的最小正周期为，A选项正确.
由，解得，所以在上单调递减，B选项正确.
，所以是的一个对称中心，C选项正确.
由于，所以D选项错误.
故选：ABC
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知角的终边与单位圆交于点()，则=__________.
【答案】
【详解】
因为角的终边与单位圆交于点()，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
14．已知，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
由得：，所以，当且仅当时，取等号，故填.
15．下列命题中，真命题的序号_____.
①；
②若，则；
③是的充要条件；
④中，边是的充要条件；
⑤“”是“函数在区间上为增函数”的充要条件.
【答案】④.
【分析】
根据三角函数的性质、分式不等式的性质、指数对数的性质、正弦定理以及函数的单调性逐条分析即可得出答案.
【详解】
对①，，故①为假命题；
对②，命题，解得 ，所以，而的解集为，故②为假命题；
对③，当时，满足，但不成立，故③为假命题；
对④，根据正弦定理 可得，边是的充要条件，故为真命题；
对⑤，满足函数在区间上为增函数的的取值范围为，故“”是“函数在区间上为增函数”的 充分不必要条件，故⑤为假命题.
故答案为：④.
16．函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是______.
①的一个周期为； ②的图象关于对称；
③是的一个零点； ④在单调递减；
【答案】①②③
【详解】
解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，
，
的一个周期为，故①正确；
的对称轴满足：，，
当时，的图象关于对称，故②正确；
由，得，
是的一个零点，故③正确；
当时，，
在上单调递增，故④错误．
故答案为：①②③．
四．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，命题，使得成立；命题，不等式恒成立.
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若为假，为真，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1），使得成立，，
即，解得，即的取值范围是；
（2）若命题为真，则，.
为假，为真，、中一真一假.
当真假时，则，解得；.-
当假真时，，解得.
综上所述，的取值范围为.
18．（1）已知y＞2，，求x的值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）1.
【详解】
（1）已知，可得.
由于，所以可得.
（2）由题可得，
，
当且仅当时取等号，
故的最小值为1.
19．已知关于x的不等式的解集是M．
（1）若，求a的取值范围．
（2）若函数的零点是和，求不等式的解集．
（3）直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.
【详解】
（1）由得，
解得．
（2）函数零点是和，
即方程的两根为和，
则或，
解得．
代入得，
即或．
则原不等式解集为．
（3）由，
当时，恒成立，
原不等式的解集为，
当时，，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．
综上：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．
20．已知函数.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）递增区间为，，递减区间为；（2）.
【详解】
（1）由题意得
，
因为，所以，
令，解得；
令，解得，
令，得.
所以函数在上的单调递增区间为，，
单调递减区间为.
（2）由（1）知.
因为，所以，
又因为，所以，
所以.
21．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（3）（*）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.
【答案】（1）； （2）； （3），.
【详解】
（1）由题意，函数
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
又由函数为奇函数，可得，
所以，因为，所以，所以函数，
令，解得，
可函数的递减区间为，
再结合，可得函数的减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最小值为，
故函数的值域.
（3）由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以.
22．已知函数是奇函数
（1）求的值与函数的定义域；
（2）若对于任意都有，求的取值范围.
【答案】（1），定义域为；（2）.
【详解】
是奇函数，∴，∴
∴，∴，
∴又∴
∴，要使有意义，则，即或，
∴的定义域为.
（2）由得.令
∵，∴
∴，对一切恒成立，
①当时，；
②当时，恒成立；即，∵，
当且仅当，即时等号成立.∴的最小值为，所以
综上，实数的取值范围为.
23．已知函数，且图像上相邻两个最低点的距离为.
（1）求的值以及的单调递减区间；
（2）若且，求的值.
【答案】（1），（）（2）
【详解】
（1）
.
由于图像上相邻两个最低点的距离为，
所以.
所以.
由，解得，
所以的单调减区间为（）.
（2）由（1）得.
依题意，，，
而，所以，
所以.
所以
.
