2020-2021学年度高一数学全真模拟卷（一）解析版
展开2020-2021学年高一数学上学期期末考试全真模拟卷（一）
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若则满足条件的集合A的个数是
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】，集合A中必须含有1，2两个元素，
因此满足条件的集合A为，，，，，，，共8个．
故选C．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因为等价于或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意，定义在上的偶函数，可得，解得，
即函数的定义域为，
又由函数当时，单调递减，
则不等式可化为，
可得不等式组，解得，即不等式的解集为.
故选：D.
4．已知，则（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】D
【详解】
，则，
故选：D.
5．已知函数的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为函数的图象恒过，
所以点的坐标为
因为角的终边经过点，
所以，
所以，
故选：C
6．已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题知，．若，选项C满足；若，，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，函数周期，选项B满足；若，则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D．
7. 下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A选项，取，则，不满足题中的条件，舍去；
对于B选项，，且函数单调递增，满足题中的条件；
对于C选项，函数单调递减，不满足题中的条件，舍去；
对于D选项，取，则，不满足题中的条件，舍去．
故选B．
8．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据几何关系可知，图中直角三角形的两条直角边长相差为1，故可设直角三角形的两 直角边长为，由勾股定理可得：，解得．故可得，．
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分．
9．给出下列四个命题：
函数的图象过定点；
已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则实数或2；
若，则a的取值范围是；
对于函数，其定义域内任意都满足．
其中所有正确命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】对于，令，解得，则，函数的图象过定点，故错误，对于，，函数是定义在R上的奇函数，，，，则实数，故错误，对于，若，解得，故正确，对于，等价于单调递增，故正确．故选CD．
10．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是偶函数 B．图象关于点，对称
C． D．
【答案】ABC
【详解】
的图象关于直线对称，且
，解得，
，为偶函数，即选项正确；
，选项正确；
，即选项正确；
对于选项，，即选项错误．
故选：．
11．已知角是锐角三角形的三个内角，下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于正确；
对于，正确；
对于C，取，显然，故错误；
对于,由为锐角，可得:，可得： ，正确．
12．已知函数，则（ ）
A．为的一个周期 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减 D．的一个零点为
【答案】AD
【解析】根据函数知最小正周期为，正确；当时， ，由余弦函数的对称性知，错误；函数在 上单调递减，在上单调递增，故错误； ， ，故正确.
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 定义在上的偶函数，当时，，则的值域为______．
【答案】
【解析】因为为定义在上的偶函数，所以，解得，
所以当时，，又在上单调递增，所以在上，，又偶函数的图象关于y轴对称，
所以在上，，所以的值域为．
故答案为．
14.设，则的最小值为______.
【答案】
【详解】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
15．已知，那么=_____.
【答案】
【分析】
可得，由此可求解.
【详解】
，，
.
故答案为：.
16．已知函数在区间上至少取得2次最大值，则正整数的最小值是 ．
【答案】8
【解析】由题意，函数，可知最小正周期为，可得，
又由函数在区间上至少取得2次最大值，如图所示，则满足，又因为，所以正整数的最小值为．
四．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题共10分）
已知函数，且给定条件：“”.
（1）求的最大值和最小值；
（2）若又给条件：“”，且是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【详解】
（1），
，
，
，.
（2），
是的充分条件，
，得.
18．已知函数．
（1）若求的单调函数区间；
（2）若有最大值3，求a的值；
（3）若的值域是，求a的值．
【解析】（1）当时，，又开口向下，在上单调递增，在上单调递减，且在R上单调递减，
在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意可知，若有最大值3，则有最小值，此时，解得．
（3）若的值域是，则的值域为R，当，满足条件；
当时二次函数的值域不可能为R，故a的值为0．
19．（本小题共12分）
已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程在上有解，求k的取值范围．
【解析】（1）∵函数的图象关于原点对称，函数为奇函数，
，即，解得：或舍；
故；
（2）时，
，时，恒成立，；
（3）由（1）得：，即，即，即在上有解，在上递减，的值域是，
．
20．（本小题共12分）
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
【解析】（1）∵，
，
∴.
（2）∵，∴．
21．（本小题共12分）设，.
（1）求的最大值；
（2）当时，方程有且仅有2个不相等的实数根，求a的取值范围.
【详解】
（1）设，，平方得
，，
当时，.
当时，.
（2）方程，即，
设①，
，，
把①平方得，
原方程化为.即
和不可能同时是方程的根，
∴方程在内有且仅有一个不为零的实根，
设，，
或.
22．（本小题共12分）
在函数定义域内,若存在区间,使得函数值域为,则称此函数为“档类正方形函数”,已知函数.
（1）当时,求函数的值域;
（2）若函数的最大值是1,求实数的值;
（3）当时,是否存在,使得函数为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.
【解析】（1）时,,
因为.
所以,
所以函数的值域为
（2）设,则,
若,则函数无最大值,
即无最大值,不合题意;
故,因此最大值在时取到,
且,所以,
解得或,
由,所以.
（3）因为时,设.设真数为.
此时对称轴,
所以当时,为增函数,且,
即在上为增函数.
所以,,
即方程在上有两个不同实根,
即,设.
所以.
即方程有两个大于l的不等实根,
因为,
所以,
解得,
即存在,使得函数为“1档类正方形函数”,且.
