专题02、2020-2021学年高二年级数学上学期期末复习通关秘笈立体几何证明问题解析版

立体几何中的证明问题

题型一、公理一有关的证明

1、如图所示，已知正方体中，分别为，的中点，，.求证：

（1）四点共面；

（2）若交平面于R点，则三点共线.

答案：

试题分析：（1）由中位线定理可知，故四点共面（2）是平面与平面的交线，可证是两平面公共点，故过R，得证.

详解：证明：（1）是的中位线，

.

在正方体中，，

.

确定一个平面，即四点共面.

（2）正方体中，设确定的平面为，

又设平面为.

.

又，，

则Q是与的公共点，

.

又.

，且，

则，故三点共线.

【点睛】

本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.

2、如图，正方体中，，，分别在棱，，上，且，相交于点.

（1）求证：，，三线共点.

（2）若正方体的棱长为2，且，分别是线段，的中点，求三棱锥的体积.

答案：

（1）证明见解析；（2）1.

试题分析：（1）由条件可得点是平面与平面的公共点，然后平面平面，然后得到即可；

（2）由条件可得，然后利用计算即可.

详解：（1），相交于点，即，

因为平面，平面，所以平面，平面

即点是平面与平面的公共点，因为平面平面

所以，所以，，三线共点

（2）因为，分别是线段，的中点，

所以，因为正方体的棱长为2

所以，所以

所以

【点睛】

本题考查的是三线共点的证明和三棱锥体积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.

3、在正方体中，、分别为、的中点，，，如图.

（1）若交平面于点，证明：、、三点共线；

（2）线段上是否存在点，使得平面平面，若存在确定的位置，若不存在说明理由.

答案：

（1）证明见解析；（2）存在，且.

试题分析：（1）先得出为平面与平面的交线，然后说明点是平面与平面的公共点，即可得出、、三点共线；

（2）设，过点作交于点，然后证明出平面平面，再确定出点在上的位置即可.

【详解】

（1），平面，平面，所以，点是平面和平面的一个公共点，同理可知，点也是平面和平面的公共点，则平面和平面的交线为，

平面，平面，所以，点也是平面和平面的公共点，由公理三可知，，因此，、、三点共线；

（2）如下图所示：

设，过点作交于点，

下面证明平面平面.

、分别为、的中点，，

平面，平面，平面.

又，平面，平面，平面，

，、平面，因此，平面平面.

下面来确定点的位置：

、分别为、的中点，所以，，且，则点为的中点，

易知，即，又，所以，四边形为平行四边形，，

四边形为正方形，且，则为的中点，所以，点为的中点，，

因此，线段上是否存在点，且时，平面平面.

【点睛】

本题考查立体几何中点共线的问题，同时也考查了平行关系中的动点问题，解题时要将面面平行关系转化为线线平行关系，考查化归与转化数学思想，属于中等题.

题型二、平行、垂直有关的证明问题

1、如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，且.

（1）求证：平面；

（2）若点分别是棱，的中点，求证：平面.

答案： 见解析

试题分析：（1）要证明平面，只需证明AB与平面内的两条相交直线垂直即可；

（2）要证明平面，只需证明一个包含EF的平面与平面平行即可.

详解：证明：（1）在四棱锥中，

因为，所以.

又因为四棱锥的底面是平行四边形，所以，

所以.

因为平面，所以平面.

（2）如图，取的中点，连.

在中，因为是棱的中点，

所以.

又平面平面，

所以平面.

在平行四边形中，分别是棱的中点，

所以，所以四边形是平行四边形，

所以.

又平面，平面，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

又平面，所以平面.

2、如图，在正四棱柱中，已知，且点为的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求证：平面．

答案：

试题分析：（1）连结交于点，连接，易得是的中点，又点是的中点，进而可知，利用线面平行的判定定理即可得结果；

（2）连结，设，通过勾股定理得，再通过证明平面来得到，最后根据线面垂直判定定理即可得结果.

详解：（1）如图所示：连结交于点，连接，

因为四棱柱为正四棱柱，

所以四边形是正方形，所以是的中点，

又点是的中点，所以，

而平面，平面，

所以直线平面；

（2）连结，设，

在三角形中，，，

所以，所以，

因为四棱柱为正四棱柱，所以，平面，

而平面，所以，

又，所以平面，

因平面，所以，

又，

所以平面.

3、在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AC1，B1C的中点．

（1）证明：DE∥平面A1B1C1；

（2）若A1B1＝B1C＝2，AA1＝AC＝2，证明：C1E⊥平面ACB1.

答案： 试题分析：(1)连接，可得，又，可得，由线面平行的判定定理可得

(1)由已知条件可证，可得，同时证明出四边形为正方形，可得，由线面垂直的判定定理可得

详解：证明：(1)连接，如图所示，

四边形是平行四边形，为的中点，，

又，，

又，，

故

(2)直三棱柱中,,

又，,

同理，

，

又，

，

，

，同理，

又，

四边形为正方形，有为的中点，

，又，

三、动点问题有关的证明问题

1、如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

（1）当点E为BC的中点时，证明EF//平面PAC；

（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF．

答案：

试题分析：（1）通过证明来证得平面；

（2）通过证明来证得平面，由此证得，从而证得结论成立.

详解：（1）连结AC，EF，∵点E、F分别是边BC、PB的中点∴中，

又平面平面

∴当点E是BC的中点时，EF//平面PAC.

（2）∵，PA=AB=，点F是PB的中点

∴等腰中，，

又PA平面ABCD，所以，且PA和AB是平面PAB上两相交直线.

∴BC平面PAB.

又平面.

∴.

又PB和BC是平面PBC上两相交直线.∴.

又平面，

∴，

∴无论点E在边BC的何处，都有PEAF成立．

2、如图，在四棱锥中，平面，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.

答案：

试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（Ⅲ）取PB中点F，连结EF，则，根据线面平行的判定定理证明平面.

详解：（Ⅰ）因为平面，

所以．

又因为，

所以平面．

（Ⅱ）因为，，

所以．

因为平面，

所以．

所以平面．

所以平面平面．

（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得平面．证明如下：

取PB中点F，连结EF，，．

又因为E为的中点，

所以．

又因为平面，

所以平面．

3、如图，在四棱锥中，，，为的中点，是线段上的一点.

（1）若为的中点，求证：平面平面；

（2）当点在什么位置时，平面.

答案： （1）证明见解析；（2）为靠近点的三等分点.

试题分析：（1）连接、，由中位线的性质得出，可得出平面，证明四边形为平行四边形，可得出，进而得出平面，再利用面面平行的判定定理可证明出平面平面；

（2）连接、，设，利用相似三角形得出，由平面结合线面平行的性质得出，再利用平行线分线段成比例定理可确定点的位置.

【详解】

（1）如下图所示，连接、，

因为、分别为、的中点，所以，

平面，平面，所以，平面，

又因为，为的中点，所以，

又，所以四边形是平行四边形，，

平面，平面，平面，

又因为平面，平面，，

所以平面平面；

（2）连接、，设，连接，

因为平面，平面，平面平面，

，所以.

在梯形中，，，

又，所以，所以，，

所以为线段上靠近点的三等分点.

4、如图，在四棱锥中，平面平面，侧面为等腰直角三角形，，底面为直角梯形，，，．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）若为线段上一点，且满足平面，求的值．

答案： （1）；（2）.

试题分析：（1）根据题意，证得平面，得到则即为直线与平面所成角，设出边长，在直角三角形中，求得其正弦值；

（2）结合线面平行的判定和性质定理求得时满足条件.

详解：（1）因为平面平面，且，

所以平面，则即为直线与平面所成角，

设，则，，所以﹐

则直角三角形中，有，

所以所求角的正弦值为．

（2）时，有平面，连接交于点，

则，所以，

又面，面，

所以平面．

所以.