专题04：2020-2021学年高二年级数学上学期期末复习通关秘笈立体几何夹角距离问题（向量法）（解析版）

空间向量求解空间角及点到面的距离
题型一、异面直线的夹角
1．如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是

A．0 B．
C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，表示，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.
【解析】如图


所以
所以异面直线与所成角的余弦值
故选A
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.
2、如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为

A．16+8π B．32+16π
C．32+8π D．16+16π
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线和所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.
【解析】设在底面半圆上的射影为，连接交于，设.
依题意半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，
所以且分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接，
则与上下底面垂直，所以，
以为轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为，则
，
所以，
由于异面直线和所成的角的余弦值为，
所以，
即.
所以几何体的体积为.
故选A

【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.

3、如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．求与夹角的余弦值是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】以为空间向量的基底，表示出和，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得．
【解析】由题意．
以为空间向量的基底，，，
，，
，
所以．所以与夹角的余弦值为．故选B．
【名师点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．

题型二、线面角
1、已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是__________.

【答案】
【解析】以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
设 ，因此 ,
设平面一个法向量为 ，
取
因此直线与平面所成角的正弦值是.

2、如图，在四棱柱中，平面平面，底面是菱形，，E为的中点．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连结，与交于点F，连结，

因为底面是菱形，所以F是中点，因为E为的中点．所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：取中点O，连结，，

因为在四棱柱中，平面平面，
底面是菱形，，E为的中点．
所以平面，，
以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，，，，
设平面的法向量，则，取，得，设与平面所成角为，则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
3、如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等边三角形，∠BAB1=∠BB1A，AB1∩A1B=O，CO⊥平面ABB1A1，D是线段A1C1上靠近A1的三等分点．

（1）求证：AB⊥AA1；
（2）求直线OD与平面A1ACC1所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为∠BAB1=∠BB1A，故AB=BB1，所以四边形A1ABB1为菱形，
而CO⊥平面ABB1A1，故∠COA=∠COB=90°．因为CO=CO，CA=CB，故，
故AO=BO，即四边形ABB1A1为正方形，故AB⊥AA1．
（2）依题意，CO⊥OA，CO⊥OA1．在正方形A1ABB1中，OA1⊥OA，
故以O为原点，OA1，OA，OC所在直线分别为x､y､z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz；不妨设AB=2，则O(0，0，0)，，，，，因为，所以．

所以，．
设平面A1ACC1的法向量为，则即

令x=1，则y=1，z=1．于是．
因为，设直线OD与平面A1ACC1所成角为θ，
则，所以直线OD与平面A1ACC1所成角的正弦值为．

题型三、二面角
1、如图，四边形为矩形，和均为等腰直角三角形，且平面平面．

（1）求证：平面；
（2）设，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：四边形为矩形，，
平面，平面，平面，
平面平面，
平面，平面，平面，
又平面，且，平面平面，
由平面可得平面；
（2）由（1）知平面，平面，且四边形为矩形，
以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，设，则，

，
设平面的一个法向量为，且
则即，取得，
设平面的一个法向量为，，
则即，取得，
，设二面角的平面角为，
则．

2、如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，，，，为的中点．

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）取中点，连结，．

因为，是，的中点，所以，且．
因为，，所以，所以，
所以，又，所以，所以为平行四边形，
所以．又平面，且平面，所以平面；
（2）取中点，连接，取的中点，连接，．设，
由（1）得，所以为等边三角形，
所以，同理所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，

设平面的法向量，则，所以，
取，得，又平面的法向量，
所以，由图得二面角的平面角为钝角，
所以，二面角的余弦值为．
3、如图，已知矩形中，，为的中点，沿将三角形折起，使．

（1）求证：平面平面；
（2）若上有一点使得二面角的平面角的正切值为，试确定点的位置．
【答案】（1）证明见解析；（2）是的中点
【解析】（1）因为在矩形中，，为的中点，
所以△为等腰直角三角形，则，
连结，易知，即，即．
因为，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）以为坐标原点，分别以直线，为轴和轴，以过点且垂直平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
过点作，交于，易知为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
则，所以，
又，所以．

设，，设，
由，，则，所以，即，
设平面的一个法向量为，
由，得，则，
取，平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，则，所以，
所以，解得，
则，解得．所以是的中点．
4、一副标准的三角板（如图1）中，ÐABC为直角，ÐA =60°，ÐDEF为直角，DE=EF，BC=DF，把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图1），设M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）求证：平面ABC ^ 平面EMN；
（2）若AC = 4，二面角E - BC- A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成们的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为是的中点，是的中点，所以，因为，所以，因为，，是的中点，所以，又，平面，平面 所以平面且平面，所以平面平面．

（2）由（1）可知，，所以为二面角的平面角，
又二面角为直二面角 所以
以，，分别为，，，建立如图空间直角坐标系，
因为，则，，，由，，则，又，，，则，，设为平面的一个法向量，则即令，则
所以面ABE的一个法向量．，
所以直线与平面ABE所成的角的正弦值为．


题型四、点到面距离
1、在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱， ，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据，列出方程，求得的值，得到向量，进而求得点到平面的距离．
【解析】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则， ， ， ，
可得，，，，
因为点在平面上的射影是的重心，所以平面，
所以，即，解得，即，
则点到平面的距离为．故选B．

【名师点睛】本本题主要考查了点到平面距离的求解，以及空间向量的应用，其中解答中建立空间直角坐标系，根据平面，利用空间向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
2、已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，根据与平面所成角的正切值为得到，再求到平面的距离即可.
【解析】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设，，，，，.
，，.
设平面的法向量，
则，令，得，，故.
因为直线与平面所成角的正切值为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
即，解得.
所以平面的法向量，
故到平面的距离为.
故选D
【点睛】本题主要考查向量法求点到面的距离，同时考查线面成角问题，属于中档题.
3、如图甲，在中，，，，，分别在，上，且满足，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙．

（1）已知，为，上的动点，求证：；
（2）在翻折过程中，当二面角为60°时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：在图甲中，因为，所以，
因为，所以且，
即在图乙中，，，又，故有平面，
而平面，故有；
（2）因为，，所以为二面角的平面角，则，在中，，，，
由余弦定理，可知，满足，则有，
由（1）知，平面，则，如图，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立坐标系，

则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，取，
所以直线与平面所成角满足．

强化训练
1、在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值．
【解析】以为原点建立空间直角坐标系，
如图所示，依题意，
所以，设异面直线与所成角为，

则．故选C．


2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线和分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，且，若与所成角为60°时，则与侧面ADD1A1所成角的大小为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】B
【分析】建立适当的空间直角坐标系，根据题意设出直线的方向向量，利用空间向量，根据异面直线所成的角的公式求得的方向向量的坐标关系，进而利用线面所成角的向量公式求得直线与平面侧面ADD1A1所成角的大小．
【解析】以为原点，以为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，如图所示：

直线分别在上下底面内且互相垂直，设直线的方向向量为，则直线的方向向量可以为，
直线的方向向量为， 侧面ADD1A1的法向量，
与b所成角为60°，
即，，
故a与侧面ADD1A1所成角的大小为45°．故选B．
【名师点睛】本题考查利用空间向量研究异面直线所成的角和线面所成的角问题，属创新题，难度一般．关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行有关计算．
（多选）3、若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则

A．
B．平面平面
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】CD
【分析】以为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算值即可判断A；分别求出平面，平面的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B；利用等体积法，求出三棱锥的体积即可判断C；三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故求出长方体的外接球的表面积即可判断D.
【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，
所以，，
因为，所以与不垂直，故A错误；
，
设平面的一个法向量为，则
由，得，所以，
不妨取，则，，所以，
同理可得设平面的一个法向量为，
故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；
在长方体中，平面，
故是三棱锥的高，
所以，故C正确；
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
故外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.
故选CD.
【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.
（多选）4、如图，正方体的棱长为1，是的中点，则

A．直线平面 B．
C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；
【解析】如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，
，，，
所以，即，所以，故B正确；
，，，
设异面直线与所成的角为，则，
又，所以，故D正确；
设平面的法向量为，则，即，取，
则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；
，故C错误；
故选ABD

【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.
5、在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.
【解析】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，
.

①，，
所以，故①正确.
②，，不存在实数使，
故不成立，故②错误.
③，，
，故平面不成立，故③错误.
④，，设和成角为，
则，由于，所以，故④正确.
综上所述，正确的命题有个.
故选C
【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.
6、如图，在正方体中，，，，，，是各条棱的中点．
①直线平面；②；③，，，四点共面；④平面．
其中正确的个数为（ ）

A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】①由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理推出平面，可判断；
②建立空间直角坐标系，得，可判断；
③取的中点，先证明可得，，，四点共面，可判断．
④利用向量法发现，，可判断．
【解析】因为，分别为，中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面平面，
同理可得平面，
又，所以平面平面，
又平面，所以平面，①正确；
设棱长为2，如图建立平面直角坐标系，

所以，0，，，0，，，2，，，0，，
用向量法，，则，②错误；
连接，因为，分别是，中点，所以，
又因为，分别为，中点，所以，
所以，故，，，四点共面，③正确；
，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，
所以，2，，，0，，，2，，，，所以直线不垂直于平面，④不正确；
所以正确的是①③，故选B．
【名师点睛】本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的线面平行、线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，属中档题．
7、如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，则对角线的长为

A．1 B．
C． D．2
【答案】B
【分析】在平行六面体中中，利用空间向量的加法运算得到，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，
由求解.
【解析】在平行六面体中中，
因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，
所以，
所以，
所以，
，
，
所以，
故选B
【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8、三棱锥中，侧面底面，，，．则

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件得到，设的中点为，的中点为，连接，利用面面垂直性质定理得到面，进而得到；再利用线面垂直的判定定理得到面，进而得到；最后利用线面垂直的判定定理得到面，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，设，写出点坐标，利用两个向量的数量积是否为判断两条线的垂直关系即可．
【解析】由，，得，故选项A错误；
设的中点为，的中点为，连接，
由题意得，又面面，
且面面，面，所以面，
又面，所以；，所以，
又 ，，面，则面，所以；
又，面，所以面，则，
所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，
设，
则，
所以，
，
所以，
故，选项BD错误，选项C正确．故选C．

【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理，考查了利用空间向量求解两条直线的垂直问题．属于中档题．
9、在三棱锥中，，，平面平面，点在棱上，且与平面所成角的正弦值为，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用与平面所成角的正弦值为列方程，解方程求得点的坐标，进而求得的长．
【解析】取中点，易证：，，．
如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由已知得，，，，
，，．设，
则．设平面的法向量．
由，得，可取，
所以，解得（舍去），，
所以．故选A．

10、如图，二面角的大小为，，分别在平面，内，，，，，，则

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由向量加法可得，再利用向量的模长公式，结合向量数量积公式，化简整理式子即可得到答案．
【解析】，，
与夹角大小为二面角的大小， ，，
，又利用向量加法运算知，

，
，即
解得，故选A．
【名师点睛】本题考查空间中线段长的求法，解题时要认真审题，考查了学生的空间思维能力与运算能力，属于中档题．
11、如图，平面，
，点分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）连接，因为，所以，因为，所以为平行四边形．由点和分别为和的中点，可得且，因为为的中点，所以且，可得且，即四边形为平行四边形，所以，又，，所以．
（2）因为，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得，．

设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得．
，于是．所以，二面角的正弦值为．
（3）设，即，则．
从而．由（2）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以．


12、如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，.

（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；
（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）设交于，因为，，，
所以，故，
因为为菱形对角线交点，即是线段的中点，所以，
又四边形为菱形，故，而，所以平面；

（2）延长交于点，平面即为平面，平面即平面，设直线与平面所成角为，过作，垂足为，因为，所以，建系，以为轴，作轴，
，
，
设平面的法向量为，则，所以，
，所以．
13．如图，在直四棱柱中，，，，，分别为的中点，

（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，，易知侧面为矩形，
为的中点，为的中点．为的中点，
平面，平面，平面；

（2）在平面中，过点作，易知平面，
故以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，， ，
，，，
设平面的法向量为，
由 即 ， 解得 ，
令 得，所以 ，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

13、如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点．

（1）确定E的位置，使平面；
（2）设，，且在第（1）问的结论下，求二面角的余弦值．
【答案】（1）E为的中点；（2）．
【分析】（1）E为的中点，连接，使交于点O，可证，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．
【解析】（1）E为的中点，
连接，使交于点O，取的中点为E，连接，
因为O，E分别为，的中点，所以．
又平面，平面，所以平面．

（2）分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
所以，，
所以平面的法向量为．设平面的法向量为，
由，令，则，，所以，
所以二面角的平面角的余弦值为．
14、如图一所示，四边形是边长为的正方形，沿将点翻折到点位置(如图二所示)，使得平面和垂直．分别为的中点．

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：取中点，连结，，
，，，
，平面，平面，平面，．
（2）二面角是直二面角，，，，，两两垂直，以为原点，、、分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，，，，0，，
，分别为，的中点．，，
，，设，，是平面的一个法向量，
，令，得，1，，
平面，平面的一个法向量，0，，
设平面与平面所成的锐二面角为，则．
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

15、如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，________．
（1）求证：四边形是直角梯形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（3）在棱上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
从①；②平面这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】选择①．
（1）平面，，．
，．
又，，得．
又，平面，则．
又，．四边形是直角梯形．
（2）过作的垂线交于点．平面，，．
如图建立空间直角坐标系．则，0，，，2，，，2，，，0，，，，．为的中点，，，．
，，．设平面的法向量为，则，令，得．
设直线与平面所成的角为，．
直线与平面所成角的正弦值为．
（3）设， ，
，因为平面，所以，
即，
选择②．
（1）平面，，．
，．
，，得．
，平面，则．
平面，平面，平面平面，
，则四边形是直角梯形．
（2）同①；
（3）同①．

16、四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，点是棱上一点．

（1）求证：平面平面；
（2）当为中点时，求二面角的余弦值；
（3）若直线与平面所成的角为时，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1或2．
【解析】证明：（1）因为平行四边形中，，
所以四边形是菱形，所以．因为平面，所以．
因为，所以平面．所以平面平面．
（2）在平面内，过点作，则，因为平面，
平面，所以．如图建立空间直角坐标系，则
，，，，．
当为中点时，．所以，，，．设平面的方向量为，则
令，得，，所以．
设平面的方向量为，则
则，令，则．所以，．
因为二面角为锐二面角，得二面角的余弦值为．
（3）设，则
．
由（1）得，平面．所以，平面的一个方向量为，
由题意：，故，
即．所以，，
即．解得，．所以或．

17、如图，E是以AB为直径的半圆O上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面，且AB=2AD=2．

（1）求证：；
（2）若异面直线AE和DC所成的角为，求平面DCE与平面AEB所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1） 因为平面垂直于圆所在的平面，
两平面的交线为平面，
所以垂直于圆所在的平面．又在圆所在的平面内，
所以．因为是直角，所以，
又，所以平面，所以．
（2）如图， 以点为坐标原点，所在的直线为轴，
过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系．
由异面直线和所成的角为，，知， 所以，
所以，由题设可知 ，，
所以，．

设平面的一个法向量为，由，即
得，，取，得．
所以．又平面的一个法向量为，
所以．
平面与平面所成的锐二面角的余弦值
18、如图，四边形与均为菱形，，，且．

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）设与相交于点，连接，
因为四边形为菱形，所以，为的中点，
因为，所以，又，所以平面，
平面，所以；

（2）连接，因为四边形为菱形，且，
所以为等边三角形，为中点，所以，
又，，所以平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，因为，，所以，，
、、、，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令，则，，则，
设平面的法向量为，，
则，即，
令，则，，可得，
所以，
由图形知，二面角为钝角，它的余弦值为．
【名师点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查计算能力，属于中等题．
19、如图（1）所示，是中边上的高线，且，将沿翻折，使得平面平面，如图（2）．

（1）求证：；
（2）图（2）中，是上一点，连接､，当与底面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）通过面面垂直的性质可得平面，即可证；（2）以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间坐标系，由向量法可求出．
【解析】（1）由图（1）知，在图（2）中，，，
因为平面平面，平面平面，
平面，平面，又平面，所以；
（2）以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间坐标系，设，则，，，，

设，由，得，得，，平面的一个法向量为，
由与底面所成角的正切值为，可得，
于是，即，解得，
则，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，得，，则是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角是，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．