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2021届高考物理通用一轮练习：考点12 万有引力与航天
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考点12 万有引力与航天
题组一 基础小题
1．根据开普勒第一定律可知：火星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。下列说法正确的是( )
A．太阳对火星的万有引力大小始终保持不变
B．火星运动到近日点时的加速度最大
C．火星在椭圆上运动，速率相等的点总有两个
D．火星绕太阳运行过程中万有引力始终不做功
答案 B
解析 根据开普勒定律可知：火星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，结合万有引力定律F＝G可知，由于它们之间的距离的变化，得出万有引力的大小在变化，故A错误；根据牛顿第二定律得出：a＝G，故火星运动到近日点时的加速度最大，B正确；火星在椭圆上运动，对于远日点和近日点，没有其他点的速率与这两个点相等，故C错误；火星绕太阳运行的轨道是椭圆，万有引力指向地心，与运动方向不总是垂直，所以万有引力不是始终不做功，故D错误。
2．要使两个物体间的万有引力减小到原来的，下列说法错误的是( )
A．使两个物体的质量各减少一半，且距离不变
B．使两个物体的距离增至原来的2倍，质量不变
C．使其中的一个物体的质量减为原来的，距离不变
D．使两个物体的质量和距离都减为原来的
答案 D
解析 由F＝G知，使两个物体的质量各减少一半，且距离不变，两个物体间的万有引力减小到原来的，故A正确；使两个物体的距离增至原来的2倍，质量不变，两个物体间的万有引力减小到原来的，故B正确；使其中的一个物体的质量减为原来的，距离不变，两个物体间的万有引力减小到原来的，故C正确；使两个物体的质量和距离都减为原来的，两个物体间的万有引力不变，故D错误。本题要求选说法错误的选项，故选D。
3．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。则地球的密度为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设地球半径为R，在两极，万有引力等于重力，则有：mg0＝G，由此可得地球质量为：M＝；在赤道处，万有引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，则有：G－mg＝m2R，可得地球的半径R＝；地球的密度为：ρ＝＝，解得：ρ＝，故B正确，A、C、D错误。
4．万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，利用它我们可以进行许多分析和预测。2016年3月8日出现了“木星冲日”。当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学称之为“木星冲日”。木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。下列说法正确的是( )
A．木星运行的加速度比地球的大
B．木星运行的周期比地球的小
C．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
D．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
答案 C
解析 设太阳的质量为M，行星的质量为m，轨道半径为r，周期为T，向心加速度为a。对行星由牛顿第二定律可得：G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π ，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球小，木星运行的周期比地球的大，故A、B错误；地球公转周期T1＝1年，木星公转周期T2＝T1≈11.18年，设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2017年，故C正确，D错误。
5．为了探测某星球，某宇航员乘探测飞船先绕该星球表面附近做匀速圆周运动，测得运行周期为T，然后登陆该星球，测得一物体在此星球表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的一半，已知地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则由此可得该星球的质量为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 物体在地球上做自由落体运动时有：h＝gt2，在该星球表面做自由落体运动时有：h＝g′t′2，而t′＝，解得：g′＝4g，在该星球表面根据万有引力提供向心力得：G＝mg′＝m，解得：M＝，A正确。
6．(多选)地球的某卫星的工作轨道为圆轨道，轨道高度为h，运行周期为T。若还知道引力常量G和地球半径R，仅利用以上条件能求出的是( )
A．地球表面的重力加速度
B．地球对该卫星的吸引力
C．该卫星绕地球运行的速度
D．该卫星绕地球运行的加速度
答案 ACD
解析 该卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有G＝m(R＋h)，得M＝，故根据已知量可以求得地球的质量M，再根据物体在地球表面时的重力与万有引力相等，有G＝mg，在已知地球质量和半径及引力常量的情况下可以求得地球表面的重力加速度，故A正确；由于不知道该卫星的质量，故无法求出地球对该卫星的吸引力，故B错误；已知该卫星的轨道半径和周期，根据v＝知，可以求出卫星绕地球运行的速度，故C正确；该卫星绕地球运动的加速度也就是卫星的向心加速度，根据a＝r，已知该卫星的轨道半径和周期可以求出其加速度，故D正确。
7．据中新网报道，中国自主研发的北斗卫星导航系统“北斗三号”第17颗卫星已于2018年11月2日在西昌卫星发射中心成功发射。该卫星是北斗三号全球导航系统的首颗地球同步轨道卫星，也是北斗三号系统中功能最强、信号最多、承载最大、寿命最长的卫星。关于该卫星，下列说法正确的是( )
A．它的发射速度一定大于11.2 km/s
B．它运行的线速度一定不小于7.9 km/s
C．它在由过渡轨道进入运行轨道时必须减速
D．由于稀薄大气的影响，如不加干预，在运行一段时间后，该卫星的动能可能会增加
答案 D
解析 11.2 km/s为第二宇宙速度，同步卫星的发射速度要小于第二宇宙速度，若大于该值，卫星则会脱离地球束缚，A错误；所有卫星的运行速度不大于第一宇宙速度，B错误；由过渡轨道进入运行轨道时要加速，由向心运动变为圆周运动，C错误；由于稀薄大气的影响，如不加干预，在运行一段时间后，轨道半径变小，运行速度变大，该卫星的动能可能会增加，D正确。
8.(多选)2018年12月8日发射成功的“嫦娥四号”探测器经过约110小时奔月飞行，到达月球附近，成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获并顺利进入环月轨道。若将整个奔月过程简化如下：“嫦娥四号”探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过M点时变轨进入距离月球表面100 km的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将择机在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度
B．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运行速度小于月球的第一宇宙速度
D．“嫦娥四号”在地月转移轨道上M点的速度大于在轨道Ⅰ上M点的速度
答案 CD
解析 根据牛顿第二定律G＝ma，得a＝，则“嫦娥四号”探测器沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度小于在Q点的加速度，故A错误；轨道Ⅱ的半长轴比轨道Ⅰ的轨道半径小，根据开普勒第三定律，“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上运动的周期比在轨道Ⅰ上的小，故B错误；月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面绕月做匀速圆周运动的速度，“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的半径大于月球半径，根据G＝m，得线速度v＝，可知“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，故C正确；“嫦娥四号”在地月转移轨道上经过M点进入轨道Ⅰ时，需减速，所以在地月转移轨道上经过M点的速度比在轨道Ⅰ上经过M点时速度大，故D正确。
题组二 高考小题
9．(2018·北京高考)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
答案 B
解析 设月球质量为M月，地球质量为M，苹果质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝，苹果受到的万有引力为F＝，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；根据牛顿第二定律＝M月·a月，＝ma，整理可以得到a月＝a，故B正确；在月球表面处G＝m′g月，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故C错误；苹果在月球表面受到引力为F′＝G，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与地球表面引力之间的关系，故D错误。
10．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
答案 C
解析 设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒第三定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，C正确。
11．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
答案 A
解析 行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识有：G＝ma，得向心加速度a＝，G＝m，得线速度v＝ ，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，A正确。
12．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 设脉冲星质量为M，密度为ρ，星体表面一物块质量为M，根据天体运动规律知：≥m2R，ρ＝＝，代入可得：ρ≥≈5×1015 kg/m3，故C正确。
13.(2018·天津高考)(多选)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
答案 CD
解析 根据题意，已知卫星运动的周期T，地球的半径R，地球表面的重力加速度g，卫星受到的万有引力充当向心力，故有G＝mr，等式两边卫星的质量被抵消，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，A、B错误；由G＝mr，解得r＝ ，而r＝R＋h，故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；根据公式v＝，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确。
14．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
15．(2019·北京高考)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案 D
解析 同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确。
16.(2019·江苏高考)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
A．v1>v2，v1＝
B．v1>v2，v1>
C．v1
答案 B
解析 卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1>v2。若卫星以近地点到地心的距离r为半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度v近＝ ，由于卫星沿椭圆轨道运动，则v1>v近，即v1> ，B正确。
17．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )
答案 D
解析 由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。故选D。
18．(2019·全国卷Ⅰ)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其ax关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
答案 AC
解析 如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。
当P、Q的加速度a＝0时，对P有：mPgM＝kx0，则mP＝，对Q有：mQgN＝k·2x0，则mQ＝，即mQ＝6mP，B错误；根据mg＝G得，星球质量M＝，则星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1，A正确；当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，系统的机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，即EkP＝3mPa0x0－Ep弹，对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP，C正确；P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置与初位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中弹簧的最大压缩量为2x0，Q为4x0，D错误。
题组三 模拟小题
19．(2020·唐山市高三年级摸底考试)(多选)场是物理学中的重要概念，除了电场和磁场，还有引力场。在处理有关问题时可以将它们进行类比，仿照电场强度的定义，在引力场中可以有一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱。已知地球质量为M，半径为R，地球表面处的重力加速度为g，引力常量为G。如果一个质量为m的物体位于距离地面2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是( )
A．G B.
C. D．G
答案 AC
解析 根据G＝mg，可得地表处的引力场强度即地表重力加速度g＝G，与之类似，在距离地面2R处即离地心3R处的引力场强度g′＝G＝g，A、C正确。
20.(2019·福建三明5月模拟)2019年4月10日，世界上首张黑洞图象照片发布，如图，它提供了黑洞存在的直接“视觉”证据。若某黑洞表面的重力加速度g的大小约为1012 m/s2，质量M和半径R的关系满足＝。其中c为光速、G为引力常量(近似取7×10－11 N·m2/kg2)，则该黑洞质量的数量级为( )
A．1014 kg B．1021 kg
C．1031 kg D．1042 kg
答案 C
解析 设该黑洞的质量为M，半径为R，则其表面的重力加速度g＝，又＝，联立可得：R＝；则有：M＝＝ kg≈3×1031 kg，故C正确。
21．(2019·江苏七市第三次调研)(多选)2019年3月31日，我国成功将“天链二号01星”送入地球同步轨道，可“天宫二号”在距地面390 km的轨道上运行，“天链二号01星”可为“天宫二号”与地面测控站间数据传输提供中继服务。则( )
A．“天宫二号”的速度小于第一宇宙速度
B．“天链二号01星”能一直位于“天宫二号”的正上方
C．“天链二号01星”能持续不断地与“天宫二号”保持直接通讯
D．“天链二号01星”的加速度大于赤道上物体随地球自转的向心加速度
答案 AD
解析 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据G＝m可知，“天宫二号”的运行速度小于第一宇宙速度，A正确；根据G＝mrω2可知，“天宫二号”的角速度大，所以“天链二号01星”不能一直位于“天宫二号”的正上方，且当地球位于两卫星连线的中间时，两卫星无法直接通讯，B、C错误；同步轨道上的“天链二号01星”相对地面静止，与赤道上的物体具有相同的角速度，根据a＝rω2，“天链二号01星”的轨道半径大，所以其向心加速度大于赤道上物体随地球自转的向心加速度，D正确。
22．(2019·江苏南京、盐城第三次调研)(多选)“嫦娥四号”已成功降落月球背面，未来中国还将建立绕月轨道空间站。如图所示，关闭动力的宇宙飞船在月球引力作用下沿地—月转移轨道向月球靠近，并将与空间站在A处对接。已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，月球的半径为R，下列说法正确的是( )
A．宇宙飞船在A处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速
B．地—月转移轨道的周期小于T
C．月球的质量为M＝
D．月球的第一宇宙速度为v＝
答案 AC
解析 宇宙飞船到达A点时，由于万有引力小于向心力，将做离心运动，需减速使得万有引力等于向心力，才能进入圆轨道，A正确；根据开普勒第三定律可知＝k，地—月转移轨道的半长轴大于空间站绕月轨道的半径，所以地—月转移轨道的周期大于T，B错误；以空间站为研究对象，它做匀速圆周运动的向心力来源于月球对它的万有引力，可知＝mr，所以M＝，C正确；周期T是空间站绕月球的运行周期，故v＝不是月球的第一宇宙速度，D错误。
题组一 基础大题
23．“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想。“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G。求：
(1)月球表面的重力加速度；
(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度；
(3)月球同步卫星离月球表面的高度。
答案 (1) (2) (3) －R
解析 (1)由自由落体运动规律有：h＝gt2，
所以有：g＝。
(2)在月球表面的物体受到的重力等于万有引力
mg＝，
所以M＝；
月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力：mg＝m，
所以：v1＝＝ 。
(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力：＝m(R＋H)，
解得H＝ －R。
题组二 高考大题
24．(2014·重庆高考)如图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图。首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月面高度为h1处悬停(速度为0，h1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面。已知探测器总质量为m(不包括燃料)，地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求：
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
(2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化。
答案 (1)g (2)mv2－mg(h1－h2)
解析 (1)设地球质量和半径分别为M和R，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为M′、R′和g′，探测器刚接触月面时的速度大小为vt，
则＝k2，＝k1
由mg′＝G和mg＝G得g′＝g
关闭发动机后，探测器仅受重力作用，
由v－v2＝2g′h2得vt＝ 。
(2)设机械能的变化量为ΔE，动能的变化量为ΔEk，重力势能的变化量为ΔEp，
由ΔE＝ΔEk＋ΔEp
有ΔE＝mv－mg′h1＝m－mgh1
得ΔE＝mv2－mg(h1－h2)。
25．(2014·全国大纲卷)已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h。卫星B沿半径为r(r
(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)。
答案 (1)T
(2)T
解析 (1)设卫星B绕地心转动的周期为T′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有
G＝m2h①
G＝m′2r②
式中，G为引力常量，M为地球质量，m、m′分别为卫星A、B的质量。由①②式得T′＝T。③
(2)设卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔为τ；
在此时间间隔τ内，卫星A和B绕地心转动的角度分别为α和α′，则
α＝2π④
α′＝2π⑤
若不考虑卫星A的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B的位置应在图中B点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道。由几何关系得
∠BOB′＝2⑥
由③式知，当r＜h时，卫星B比卫星A转得快，考虑卫星A的公转后应有
α′－α＝∠BOB′⑦
由③④⑤⑥⑦式得
τ＝T。
题组三 模拟大题
26．(2019·北京通州一模)2018年12月27日中国北斗卫星导航系统开始提供全球服务，标志着北斗系统正式迈入全球时代。覆盖全球的北斗卫星导航系统由静止轨道卫星(即地球同步卫星)和非静止轨道卫星共35颗组成。卫星绕地球近似做匀速圆周运动。
已知其中一颗地球同步卫星距离地球表面的高度为h，地球质量为Me，地球半径为R，引力常量为G。
(1)求该同步卫星绕地球运动的速度v的大小；
(2)如图所示，O点为地球的球心，P点处有一颗地球同步卫星，P点所在的虚线圆轨道为同步卫星绕地球运动的轨道。已知h＝5.6R。忽略大气等一切影响因素，请论证说明要使卫星通讯覆盖全球，至少需要几颗地球同步卫星？(cos81°＝0.15，sin81°＝0.99)
答案 (1) (2)3颗
解析 (1)设该同步卫星的质量为m，由牛顿第二定律得＝m，得v＝ 。
(2)如图所示，设P点处地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2θ，至少需要N颗地球同步卫星才能覆盖全球，
由直角三角形函数关系cosθ＝，h＝5.6R，得θ＝81°，
所以1颗地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2θ＝162°，N≥≈2.2，N取整数，即至少需要3颗地球同步卫星才能覆盖全球。
27．(2019·湖北四月调研)2019年3月3日，中国探月工程总设计师吴伟仁宣布中国探月工程“三步走”即将收官，我国对月球的探索将进入新的征程。若近似认为月球绕地球做匀速圆周运动，地球绕太阳也做匀速圆周运动，它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内。
(1)已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，月心、地心间的距离为r，求月球绕地球一周的时间Tm；
(2)如图是相继两次满月时，月球、地球和太阳相对位置的示意图。已知月球绕地球运动一周的时间Tm＝27.4 d，地球绕太阳运动的周期Te＝365 d，求地球上的观察者相继两次看到满月，满月的时间间隔为t。
答案 (1)2π (2)29.6天
解析 (1)设地球的质量为M，月球的质量为m，地球对月球的万有引力提供向心力，则：＝mr
地球表面万有引力近似等于重力，则：＝mg，
解得：Tm＝2π 。
(2)相继两次满月，月球绕地心转过的弧度比地球绕日心转过的弧度多2π，即ωmt＝2π＋ωet
而ωm＝，ωe＝，解得：t≈29.6天。
考点12 万有引力与航天
题组一 基础小题
1．根据开普勒第一定律可知：火星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。下列说法正确的是( )
A．太阳对火星的万有引力大小始终保持不变
B．火星运动到近日点时的加速度最大
C．火星在椭圆上运动，速率相等的点总有两个
D．火星绕太阳运行过程中万有引力始终不做功
答案 B
解析 根据开普勒定律可知：火星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，结合万有引力定律F＝G可知，由于它们之间的距离的变化，得出万有引力的大小在变化，故A错误；根据牛顿第二定律得出：a＝G，故火星运动到近日点时的加速度最大，B正确；火星在椭圆上运动，对于远日点和近日点，没有其他点的速率与这两个点相等，故C错误；火星绕太阳运行的轨道是椭圆，万有引力指向地心，与运动方向不总是垂直，所以万有引力不是始终不做功，故D错误。
2．要使两个物体间的万有引力减小到原来的，下列说法错误的是( )
A．使两个物体的质量各减少一半，且距离不变
B．使两个物体的距离增至原来的2倍，质量不变
C．使其中的一个物体的质量减为原来的，距离不变
D．使两个物体的质量和距离都减为原来的
答案 D
解析 由F＝G知，使两个物体的质量各减少一半，且距离不变，两个物体间的万有引力减小到原来的，故A正确；使两个物体的距离增至原来的2倍，质量不变，两个物体间的万有引力减小到原来的，故B正确；使其中的一个物体的质量减为原来的，距离不变，两个物体间的万有引力减小到原来的，故C正确；使两个物体的质量和距离都减为原来的，两个物体间的万有引力不变，故D错误。本题要求选说法错误的选项，故选D。
3．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。则地球的密度为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设地球半径为R，在两极，万有引力等于重力，则有：mg0＝G，由此可得地球质量为：M＝；在赤道处，万有引力与支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律，则有：G－mg＝m2R，可得地球的半径R＝；地球的密度为：ρ＝＝，解得：ρ＝，故B正确，A、C、D错误。
4．万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一，利用它我们可以进行许多分析和预测。2016年3月8日出现了“木星冲日”。当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，天文学称之为“木星冲日”。木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。下列说法正确的是( )
A．木星运行的加速度比地球的大
B．木星运行的周期比地球的小
C．下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
D．下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
答案 C
解析 设太阳的质量为M，行星的质量为m，轨道半径为r，周期为T，向心加速度为a。对行星由牛顿第二定律可得：G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π ，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球小，木星运行的周期比地球的大，故A、B错误；地球公转周期T1＝1年，木星公转周期T2＝T1≈11.18年，设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2017年，故C正确，D错误。
5．为了探测某星球，某宇航员乘探测飞船先绕该星球表面附近做匀速圆周运动，测得运行周期为T，然后登陆该星球，测得一物体在此星球表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的一半，已知地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则由此可得该星球的质量为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 物体在地球上做自由落体运动时有：h＝gt2，在该星球表面做自由落体运动时有：h＝g′t′2，而t′＝，解得：g′＝4g，在该星球表面根据万有引力提供向心力得：G＝mg′＝m，解得：M＝，A正确。
6．(多选)地球的某卫星的工作轨道为圆轨道，轨道高度为h，运行周期为T。若还知道引力常量G和地球半径R，仅利用以上条件能求出的是( )
A．地球表面的重力加速度
B．地球对该卫星的吸引力
C．该卫星绕地球运行的速度
D．该卫星绕地球运行的加速度
答案 ACD
解析 该卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有G＝m(R＋h)，得M＝，故根据已知量可以求得地球的质量M，再根据物体在地球表面时的重力与万有引力相等，有G＝mg，在已知地球质量和半径及引力常量的情况下可以求得地球表面的重力加速度，故A正确；由于不知道该卫星的质量，故无法求出地球对该卫星的吸引力，故B错误；已知该卫星的轨道半径和周期，根据v＝知，可以求出卫星绕地球运行的速度，故C正确；该卫星绕地球运动的加速度也就是卫星的向心加速度，根据a＝r，已知该卫星的轨道半径和周期可以求出其加速度，故D正确。
7．据中新网报道，中国自主研发的北斗卫星导航系统“北斗三号”第17颗卫星已于2018年11月2日在西昌卫星发射中心成功发射。该卫星是北斗三号全球导航系统的首颗地球同步轨道卫星，也是北斗三号系统中功能最强、信号最多、承载最大、寿命最长的卫星。关于该卫星，下列说法正确的是( )
A．它的发射速度一定大于11.2 km/s
B．它运行的线速度一定不小于7.9 km/s
C．它在由过渡轨道进入运行轨道时必须减速
D．由于稀薄大气的影响，如不加干预，在运行一段时间后，该卫星的动能可能会增加
答案 D
解析 11.2 km/s为第二宇宙速度，同步卫星的发射速度要小于第二宇宙速度，若大于该值，卫星则会脱离地球束缚，A错误；所有卫星的运行速度不大于第一宇宙速度，B错误；由过渡轨道进入运行轨道时要加速，由向心运动变为圆周运动，C错误；由于稀薄大气的影响，如不加干预，在运行一段时间后，轨道半径变小，运行速度变大，该卫星的动能可能会增加，D正确。
8.(多选)2018年12月8日发射成功的“嫦娥四号”探测器经过约110小时奔月飞行，到达月球附近，成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获并顺利进入环月轨道。若将整个奔月过程简化如下：“嫦娥四号”探测器从地球表面发射后，进入地月转移轨道，经过M点时变轨进入距离月球表面100 km的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将择机在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度
B．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运行速度小于月球的第一宇宙速度
D．“嫦娥四号”在地月转移轨道上M点的速度大于在轨道Ⅰ上M点的速度
答案 CD
解析 根据牛顿第二定律G＝ma，得a＝，则“嫦娥四号”探测器沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度小于在Q点的加速度，故A错误；轨道Ⅱ的半长轴比轨道Ⅰ的轨道半径小，根据开普勒第三定律，“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上运动的周期比在轨道Ⅰ上的小，故B错误；月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面绕月做匀速圆周运动的速度，“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的半径大于月球半径，根据G＝m，得线速度v＝，可知“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，故C正确；“嫦娥四号”在地月转移轨道上经过M点进入轨道Ⅰ时，需减速，所以在地月转移轨道上经过M点的速度比在轨道Ⅰ上经过M点时速度大，故D正确。
题组二 高考小题
9．(2018·北京高考)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
答案 B
解析 设月球质量为M月，地球质量为M，苹果质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝，苹果受到的万有引力为F＝，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；根据牛顿第二定律＝M月·a月，＝ma，整理可以得到a月＝a，故B正确；在月球表面处G＝m′g月，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故C错误；苹果在月球表面受到引力为F′＝G，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与地球表面引力之间的关系，故D错误。
10．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
答案 C
解析 设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒第三定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，C正确。
11．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
答案 A
解析 行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识有：G＝ma，得向心加速度a＝，G＝m，得线速度v＝ ，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，A正确。
12．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 设脉冲星质量为M，密度为ρ，星体表面一物块质量为M，根据天体运动规律知：≥m2R，ρ＝＝，代入可得：ρ≥≈5×1015 kg/m3，故C正确。
13.(2018·天津高考)(多选)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
答案 CD
解析 根据题意，已知卫星运动的周期T，地球的半径R，地球表面的重力加速度g，卫星受到的万有引力充当向心力，故有G＝mr，等式两边卫星的质量被抵消，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，A、B错误；由G＝mr，解得r＝ ，而r＝R＋h，故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；根据公式v＝，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确。
14．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
15．(2019·北京高考)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星( )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案 D
解析 同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由＝知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错误；若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D正确。
16.(2019·江苏高考)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
A．v1>v2，v1＝
B．v1>v2，v1>
C．v1
答案 B
解析 卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1>v2。若卫星以近地点到地心的距离r为半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度v近＝ ，由于卫星沿椭圆轨道运动，则v1>v近，即v1> ，B正确。
17．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )
答案 D
解析 由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。故选D。
18．(2019·全国卷Ⅰ)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其ax关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则( )
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
答案 AC
解析 如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。
当P、Q的加速度a＝0时，对P有：mPgM＝kx0，则mP＝，对Q有：mQgN＝k·2x0，则mQ＝，即mQ＝6mP，B错误；根据mg＝G得，星球质量M＝，则星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1，A正确；当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，系统的机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，即EkP＝3mPa0x0－Ep弹，对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP，C正确；P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置与初位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中弹簧的最大压缩量为2x0，Q为4x0，D错误。
题组三 模拟小题
19．(2020·唐山市高三年级摸底考试)(多选)场是物理学中的重要概念，除了电场和磁场，还有引力场。在处理有关问题时可以将它们进行类比，仿照电场强度的定义，在引力场中可以有一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱。已知地球质量为M，半径为R，地球表面处的重力加速度为g，引力常量为G。如果一个质量为m的物体位于距离地面2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是( )
A．G B.
C. D．G
答案 AC
解析 根据G＝mg，可得地表处的引力场强度即地表重力加速度g＝G，与之类似，在距离地面2R处即离地心3R处的引力场强度g′＝G＝g，A、C正确。
20.(2019·福建三明5月模拟)2019年4月10日，世界上首张黑洞图象照片发布，如图，它提供了黑洞存在的直接“视觉”证据。若某黑洞表面的重力加速度g的大小约为1012 m/s2，质量M和半径R的关系满足＝。其中c为光速、G为引力常量(近似取7×10－11 N·m2/kg2)，则该黑洞质量的数量级为( )
A．1014 kg B．1021 kg
C．1031 kg D．1042 kg
答案 C
解析 设该黑洞的质量为M，半径为R，则其表面的重力加速度g＝，又＝，联立可得：R＝；则有：M＝＝ kg≈3×1031 kg，故C正确。
21．(2019·江苏七市第三次调研)(多选)2019年3月31日，我国成功将“天链二号01星”送入地球同步轨道，可“天宫二号”在距地面390 km的轨道上运行，“天链二号01星”可为“天宫二号”与地面测控站间数据传输提供中继服务。则( )
A．“天宫二号”的速度小于第一宇宙速度
B．“天链二号01星”能一直位于“天宫二号”的正上方
C．“天链二号01星”能持续不断地与“天宫二号”保持直接通讯
D．“天链二号01星”的加速度大于赤道上物体随地球自转的向心加速度
答案 AD
解析 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据G＝m可知，“天宫二号”的运行速度小于第一宇宙速度，A正确；根据G＝mrω2可知，“天宫二号”的角速度大，所以“天链二号01星”不能一直位于“天宫二号”的正上方，且当地球位于两卫星连线的中间时，两卫星无法直接通讯，B、C错误；同步轨道上的“天链二号01星”相对地面静止，与赤道上的物体具有相同的角速度，根据a＝rω2，“天链二号01星”的轨道半径大，所以其向心加速度大于赤道上物体随地球自转的向心加速度，D正确。
22．(2019·江苏南京、盐城第三次调研)(多选)“嫦娥四号”已成功降落月球背面，未来中国还将建立绕月轨道空间站。如图所示，关闭动力的宇宙飞船在月球引力作用下沿地—月转移轨道向月球靠近，并将与空间站在A处对接。已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，月球的半径为R，下列说法正确的是( )
A．宇宙飞船在A处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速
B．地—月转移轨道的周期小于T
C．月球的质量为M＝
D．月球的第一宇宙速度为v＝
答案 AC
解析 宇宙飞船到达A点时，由于万有引力小于向心力，将做离心运动，需减速使得万有引力等于向心力，才能进入圆轨道，A正确；根据开普勒第三定律可知＝k，地—月转移轨道的半长轴大于空间站绕月轨道的半径，所以地—月转移轨道的周期大于T，B错误；以空间站为研究对象，它做匀速圆周运动的向心力来源于月球对它的万有引力，可知＝mr，所以M＝，C正确；周期T是空间站绕月球的运行周期，故v＝不是月球的第一宇宙速度，D错误。
题组一 基础大题
23．“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想。“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G。求：
(1)月球表面的重力加速度；
(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度；
(3)月球同步卫星离月球表面的高度。
答案 (1) (2) (3) －R
解析 (1)由自由落体运动规律有：h＝gt2，
所以有：g＝。
(2)在月球表面的物体受到的重力等于万有引力
mg＝，
所以M＝；
月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力：mg＝m，
所以：v1＝＝ 。
(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力：＝m(R＋H)，
解得H＝ －R。
题组二 高考大题
24．(2014·重庆高考)如图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图。首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月面高度为h1处悬停(速度为0，h1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面。已知探测器总质量为m(不包括燃料)，地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求：
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
(2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化。
答案 (1)g (2)mv2－mg(h1－h2)
解析 (1)设地球质量和半径分别为M和R，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为M′、R′和g′，探测器刚接触月面时的速度大小为vt，
则＝k2，＝k1
由mg′＝G和mg＝G得g′＝g
关闭发动机后，探测器仅受重力作用，
由v－v2＝2g′h2得vt＝ 。
(2)设机械能的变化量为ΔE，动能的变化量为ΔEk，重力势能的变化量为ΔEp，
由ΔE＝ΔEk＋ΔEp
有ΔE＝mv－mg′h1＝m－mgh1
得ΔE＝mv2－mg(h1－h2)。
25．(2014·全国大纲卷)已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h。卫星B沿半径为r(r
(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)。
答案 (1)T
(2)T
解析 (1)设卫星B绕地心转动的周期为T′，根据万有引力定律和圆周运动的规律有
G＝m2h①
G＝m′2r②
式中，G为引力常量，M为地球质量，m、m′分别为卫星A、B的质量。由①②式得T′＝T。③
(2)设卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔为τ；
在此时间间隔τ内，卫星A和B绕地心转动的角度分别为α和α′，则
α＝2π④
α′＝2π⑤
若不考虑卫星A的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B的位置应在图中B点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道。由几何关系得
∠BOB′＝2⑥
由③式知，当r＜h时，卫星B比卫星A转得快，考虑卫星A的公转后应有
α′－α＝∠BOB′⑦
由③④⑤⑥⑦式得
τ＝T。
题组三 模拟大题
26．(2019·北京通州一模)2018年12月27日中国北斗卫星导航系统开始提供全球服务，标志着北斗系统正式迈入全球时代。覆盖全球的北斗卫星导航系统由静止轨道卫星(即地球同步卫星)和非静止轨道卫星共35颗组成。卫星绕地球近似做匀速圆周运动。
已知其中一颗地球同步卫星距离地球表面的高度为h，地球质量为Me，地球半径为R，引力常量为G。
(1)求该同步卫星绕地球运动的速度v的大小；
(2)如图所示，O点为地球的球心，P点处有一颗地球同步卫星，P点所在的虚线圆轨道为同步卫星绕地球运动的轨道。已知h＝5.6R。忽略大气等一切影响因素，请论证说明要使卫星通讯覆盖全球，至少需要几颗地球同步卫星？(cos81°＝0.15，sin81°＝0.99)
答案 (1) (2)3颗
解析 (1)设该同步卫星的质量为m，由牛顿第二定律得＝m，得v＝ 。
(2)如图所示，设P点处地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2θ，至少需要N颗地球同步卫星才能覆盖全球，
由直角三角形函数关系cosθ＝，h＝5.6R，得θ＝81°，
所以1颗地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2θ＝162°，N≥≈2.2，N取整数，即至少需要3颗地球同步卫星才能覆盖全球。
27．(2019·湖北四月调研)2019年3月3日，中国探月工程总设计师吴伟仁宣布中国探月工程“三步走”即将收官，我国对月球的探索将进入新的征程。若近似认为月球绕地球做匀速圆周运动，地球绕太阳也做匀速圆周运动，它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内。
(1)已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，月心、地心间的距离为r，求月球绕地球一周的时间Tm；
(2)如图是相继两次满月时，月球、地球和太阳相对位置的示意图。已知月球绕地球运动一周的时间Tm＝27.4 d，地球绕太阳运动的周期Te＝365 d，求地球上的观察者相继两次看到满月，满月的时间间隔为t。
答案 (1)2π (2)29.6天
解析 (1)设地球的质量为M，月球的质量为m，地球对月球的万有引力提供向心力，则：＝mr
地球表面万有引力近似等于重力，则：＝mg，
解得：Tm＝2π 。
(2)相继两次满月，月球绕地心转过的弧度比地球绕日心转过的弧度多2π，即ωmt＝2π＋ωet
而ωm＝，ωe＝，解得：t≈29.6天。
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