科学思维系列——双星模型 Word版解析版

这是一份人教版 (2019)必修 第二册全册综合课时训练，共5页。试卷主要包含了模型构建，模型特点等内容，欢迎下载使用。

核心素养提升微课堂


科学思维系列——双星模型


1．模型构建


在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的星球称为双星．








2．模型特点


①两颗星球角速度相同，间距不变，绕两者连线上某点旋转，轨迹为同心圆．


②两颗星球各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即


eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq \\al(2,1)r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq \\al(2,2)r2.


③两颗星球的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2，且T1＝T2＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2)).


④两颗星球的轨道半径与两者间的距离关系为r1＋r2＝L，要注意r1、r2和L的区别．


⑤由m1a1＝m2a2可以推出eq \f(a1,a2)＝eq \f(m2,m1).


【典例】





天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.


(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示)；


(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．


【解析】 (1)设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，角速度均为ω.


由双星所受向心力大小相等，可得 m1ω2r1＝m2ω2r2.


设A、B之间的距离为L，又因为L＝r1＋r2.


联立可得L＝eq \f(m1＋m2,m2)r1①


由万有引力定律得双星间的引力


F＝Geq \f(m1m2,L2)，将①式代入上式得F＝Geq \f(m1m\\al(3,2),m1＋m22r\\al(2,1))②


由题意，将此引力视为O点处质量为m′的星体对可见星A的引力，则有F＝Geq \f(m1m′,r\\al(2,1))③


由②③可得m′＝eq \f(m\\al(3,2),m1＋m22)④


(2)对可见星A有Geq \f(m1m′,r\\al(2,1))＝m1eq \f(v2,r1)⑤


可见星A的轨道半径r1＝eq \f(vT,2π)⑥


由④⑤⑥式解得eq \f(m\\al(3,2),m1＋m22)＝eq \f(v3T,2πG).


【答案】 (1)eq \f(m\\al(3,2),m1＋m22) (2)eq \f(m\\al(3,2),m1＋m22)＝eq \f(v3T,2πG)








方法技巧











解决双星问题的关键


对于双星问题，关键抓住“四个相等”，即向心力、角速度、周期大小相等，轨道半径之和等于两星间距，然后运用万有引力提供向心力列式求解．





变式训练1 (多选)两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是( )


A．它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比


B．它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比


C．它们做圆周运动的半径与其质量成正比


D．它们做圆周运动的半径与其质量成反比


解析：两天体绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等，故A错误；因为两天体做圆周运动的向心力由两天体间的万有引力提供，向心力大小相等，由Geq \f(m1m2,L2)＝m1r1ω2，Geq \f(m1m2,L2)＝m2r2ω2可知，m1r1ω2＝m2r2ω2，所以它们的轨道半径与它们的质量成反比，C错误，D正确；而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的，B正确．


答案：BD





变式训练2 (多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，如图所示．两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1:m2＝3:2.则可知( )


A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3:2


B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2:3


C．m1做圆周运动的半径为eq \f(2,5)L


D．m1、m2做圆周运动的向心力大小相等


解析：双星系统周期相同(角速度相同)，所受万有引力作为向心力相同，所以B项错误，D项正确；由F＝mω2r，m1r1ω2＝m2r2ω2，得m1v1＝m2v2，eq \f(v1,v2)＝eq \f(m2,m1)＝eq \f(2,3)，A项错误；eq \f(r1,r2)＝eq \f(m2,m1)又r1＋r2＝L，所以r1＝eq \f(m2,m1＋m2)L＝eq \f(2,5)L，C项正确．


答案：CD


变式训练3 银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观测得其周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知万有引力常量为G.由此可求出S2的质量为( )








A.eq \f(4π2r2r－r1,GT2) B.eq \f(4π2r\\al(3,1),GT2)


C.eq \f(4π2r3,GT2) D.eq \f(4π2r2r1,GT2)


解析：设S1、S2两星体的质量分别为m1、m2，根据万有引力定律和牛顿定律得：对S1有Geq \f(m1m2,r2)＝m1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r1，


解之可得m2＝eq \f(4π2r2r1,GT2).所以正确选项是D.


答案：D


变式训练4 月球与地球质量之比约为180，月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为( )


A．1:6 400 B．1:80


C．80:1 D．6 400:1


解析：月球和地球绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等．且月球和地球与O点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期，因此有mω2r＝Mω2R，所以eq \f(v,v′)＝eq \f(r,R)＝eq \f(M,m)，线速度和质量成反比，正确答案为C项．


答案：C