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专题06 二次函数与一元二次方程、不等式（解析版）-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习
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专题06 二次函数与一元二次方程、不等式
2021年江苏新高考考点分析
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高考数学的重要内容，函数、方程及不等式是新高考的必考内容.
2021年江苏新高考考点梳理
1. 二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.
(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0;
(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根
(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.
(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞,α)∪［β,+∞a<0且f(α)=f(β)=0;
(2)当a>0时，f(α)
|β+|;
(3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立或
(4)f(x)>0恒成立
名师讲坛考点突破
考点1求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)的图像过（2，-1），（-1，-1），且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
【解析】 法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
变式训练1. 已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.
【解析】 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
则f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
又f(0)＝1，所以c＝1.
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).
变式训练2. 已知函数f(x)=ax2+2x+c，(a,c∈N*)满足：①f(1)=5；②6
【解析】∵f(1)=a+2+c=5，∴c=3-a.①
又∵6
∴a=1，c=2．∴f(x)=x2+2x+2
考点2 二次函数中的最值问题
例2. 已知函数y＝2sin2x－2asin x＋3有最小值，记作g(a)．
(1) 求g(a)的表达式；
(2) 求g(a)的最大值．
【解析】令sin x＝t，则t∈[－1，1]，则原题转化为求二次函数f(t)＝2t2－2at＋3在t∈[－1，1]上的最小值．
(1) 由题意知函数f(t)的对称轴方程是t＝，根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类讨论：
① 当≤－1，即a≤－2时，g(a)＝f(－1)＝2a＋5；[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]
② 当－1<<1，即－2
综上可知，函数g(a)的表达式为
g(a)＝
(2) 当a≤－2时，g(a)≤1；当－2
【答案】a＝－1或a＝2
【解析】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a
＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
对称轴方程为x＝a.
(1)当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
∴1－a＝2，∴a＝－1.
(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝(舍).
(3)当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
考点3 二次函数中的恒成立问题
例3设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围为 ．
【答案】(－∞，0)∪
【解析】要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，
即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，所以m＜，则0＜m＜；
当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，即m＜0.
综上所述，m的取值范围是(－∞，0)∪.
法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪.[来源:Z§xx§k.Com]
变式训练4. 已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为________．[来源:Z+xx+k.Com]
【答案】 (2)(－∞，1)
【解析】由题意得x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
则g(x)在[－3，－1]上递减．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k<1.故k的取值范围为(－∞，1)．
变式训练5.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，满足条件f(x+1)-f(x)=2x(x∈R)，且f(0)=1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x≥0时，f(x)≥mx-3恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由f(0)=1得，c=1，
由f(x+1)-f(x)=2x，得a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+c)=2x
化简得，2ax+a+b=2x，所以：2a=2，a+b=1，可得：a=1，b=-1，c=1，
所以f(x)=x2-x+1；
(2)由题意得，x2-x+1≥mx-3，x∈[0,+∞)恒成立．
即：g(x)=x2-(m+1)x+4≥0，x∈[0,+∞)恒成立．
其对称轴x=m+12，
当m+12≤0，即m≤-1时，g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(0)=4>0
∴m≤-1成立
②当m+12>0时，满足m+12>0，且∆≤0
计算得：-1
一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1.如果二次函数f(x)=x2+(a-2)x+1在区间(-∞,3]上是减函数，则a的取值范围是( )
A. a>-4 B. a<-4 C. a≥-4 D. a≤-4
【答案】D
【解析】 二次函数f(x)=x2+(a-2)x+1在区间(-∞,3]上是减函数，故：-a-22≥3，
解得：a≤-4，故选：D．
2. 已知函数f(x)=4x2-kx-8在(∞,5]上具有单调性，则实数k的取值范围是( )
A. (-24,40) B. [-24,40] C. (-∞,-24] D. [40,+∞)[来源:Zxxk.Com]
【答案】D
【解析】根据题意，函数f(x)=4x2-kx-8为二次函数，其对称轴为x=k8，
若函数f(x)=4x2-kx-8在(-∞,5]上具有单调性，必有k8≥5，解可得k≥40，
即k的取值范围为[40,+∞)；故选：D．
3. 已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A.1 B.0 C.－1 D.2
【答案】A
【解析】f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，
∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，
∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.
4. 对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )
A. -1是f(x)的零点 B. 1是f(x)的极值点
C. 3是f(x)的极值 D. 点(2,8)在曲线y=f(x)上
【答案】A
【解析】可采取排除法．
若A错，则B，C，D正确．即有f(x)=ax2+bx+c的导数为f'(x)=2ax+b，
即有f'(1)=0，即2a+b=0，①又f(1)=3，即a+b+c=3②，
又f(2)=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=-10，c=8.符合a为非零整数．
若B错，则A，C，D正确，则有a-b+c=0，且4a+2b+c=8，且4ac-b24a=3，解得a∈⌀，不成立；
若C错，则A，B，D正确，则有a-b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=-83不为非零整数，不成立；
若D错，则A，B，C正确，则有a-b+c=0，且2a+b=0，且4ac-b24a=3，解得a=-34不为非零整数，不成立．故选：A．
5. 已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为( )
A. B．1或
C．－1或 D．－5或[来源:学。科。网Z。X。X。K]
【答案】D
【解析】f(x)＝－42－4a，对称轴为直线x＝.
①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递增，
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．
②当0<<1，即0
③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.
令－4a－a2＝－5，得a＝－5或a＝1(舍去)．综上所述，a＝或－5.
6. 函数f(x)=x2-2kx-8在区间[0,14]上为增函数，则实数k的取值范围为( )
A. (-∞,0) B. (-∞,0] C. (0,+∞) D. [0,+∞)
【答案】B
【解析】 ∵f(x)=x2-2kx-8，∴对称轴为x=k
∵函数f(x)=x2-2kx-8在区间[0,14]上为增函数，∴k≤0 故选：B．
7. 若函数fx=12x2-x+32的定义域和值域都是1,b，则b=( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 1或3
【答案】B
【解析】∵函数fx=12x2-x+32=12x-12+1的定义域和值域都是1,b，且函数fx在1,b上为增函数，
∴fb=12b-12+1=b，即12b-12=b-1．
又∵b>1，∴12b-1=1，解得b=3，故选B．
8. 已知方程2sinx-cos2x-m=0在区间-π2,π2有解，则实数m的取值范围为( )
A. -32,1 B. -1,1 C. -32,3 D. -1,3
【答案】C
【解析】由已知得m=2sinx-cos2x,令f(x)=2sinx-cos2x，
则f(x)=2sinx-(1-2sin2x)=2sin2x+2sinx-1=2(sinx+12)2-32，∵x∈[-π2,π2],
∴sinx∈[-1,1]，
当sinx=-12时，f(x)min=-32，
当sinx=1时，f(x)max=3，
因此f(x)∈[-32,3]，∴m∈[-32,3],故选C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
9. 设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值不能为( )
A.正数 B.负数
C.非负数 D.正数、负数和零都有可能
【答案】BCD
【解析】∵f(x)=x2－x+a的对称轴为x=,且f(1)>0,则f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),
∴m－1＜0,∴f(m－1)>0.故选BCD.
10. 已知函数f(x)=-x2+(m-2)x+2-m，x∈R．若函数y=|f(x)|在[-1,0]上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A.0 B.1 C.-2 D.3
【答案】CD
【解析】(1)根据题意，令f(x)=-x2+(m-2)x+2-m=0，则△=(m-2)2-4(m-2)=(m-2)(m-6)；
分2种情况讨论：
①，当△≤0，即2≤m≤6时，f(x)=-x2+(m-2)x+2-m≤0恒成立，
所以|f(x)|=x2-(m-2)x+m-2．
因为y=|f(x)|在[-1,0]上是减函数，所以m-22≥0，解得m≥2，
所以2≤m≤6．
②，由△>0，解得m<2或m>6，
当m>6时，y=|f(x)|的图象对称轴x=m-22>2，且方程f(x)=0的两根均为正，
此时y=|f(x)|在[-1,0]为减函数，所以m>6符合条件．
当m<2时，y=|f(x)|的图象对称轴x=m-22<0，且方程f(x)=0的根一正一负，
要使y=|f(x)|在[-1,0]单调递减，则m-22≤-1，解得m≤0．
综上可得，实数m的取值范围为(-∞,0]∪[2,+∞)．故选CD.
三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）
11. 若函数y=x2-4x-2的定义域为[0,m]，值域为[-6,-2]，则m的取值范围是______．
【答案】[2,4]
【解析】∵函数y=x2-4x-2=(x-2)2-6的定义域为[0,m]，值域为[-6,-2]，
f(0)=-2，f(2)=-6，
可得2∈[0,m]，且2≤m≤2+2=4，
故m的范围为[2,4]，
故答案为：[2,4]．
由题意可得2∈[0,m]，且2≤m≤2+2=4，求得m的取值范围[2,4]．
12.已知函数f(x)=-2x2+bx+c在x=1时有最大值1，0
【解析】根据题意，函数f(x)=-2x2+bx+c在x=1时有最大值1，
则有-b-4=b4=1，即b=4，且-2+4+c=1，解可得c=-1，
则f(x)=-2x2+4x-1，
又有x∈[m,n]时，f(x)的取值范围为[1n,1m]，则1m≤1，解可得m≥1，
f(x)在[m,n]上单调递减，则有f(m)=1m，f(n)=1n，
即有m、n是方程-2x2+4x-1=1x的两个根，-2x2+4x-1=1x⇒(x-1)(2x2-2x-1)=0，
其根为1、1+32、1-32，又有1≤m
【答案】2,+∞
【解析】：由题意得fx为偶函数，所以fx有4个零点，则需当x≥0时，f(x)=x2-ax+1有两个大于0的零点．又因为f0=1>0，所以&a2>0，&Δ=a2-4>0，解得a>2．
14.已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________；
【答案】
【解析】作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
则有fm<0,fm+1<0,
即m2+m2-1<0m+12+mm+1-1<0,
解得－
15. 已知二次函数满足且.
（1）求的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】 （1）设，
则，
所以，
解得：，.又，所以.
（2）当时，恒成立，
即当时，恒成立.
设，.
则，.
16．设函数.
（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当m=1时，fx=-1<0显然成立，所以m=1符合题意；
当m≠1时，由对于一切实数x，fx<0恒成立可得：m-1<0Δ=m-12+4m-1<0，
解得：-3
即m-1x2-m-1x-1<-m+3在m∈0,2上恒成立；
即m-1x2-m-1x+m-4<0在m∈0,2上恒成立；
令g(m)=m-1x2-m-1x+m-4=x2-x+1m-x2-x+4，
显然g(m)是关于m的一次函数；
因此只需g(0)=-x2-x+4<0g(2)=x2-x-2<0解得：-1
(1)求g(t)的表达式；
(2)当-1≤t≤1时，函数h(t)=g(t)-k t有一个零点，求实数k的取值范围；
(3)问实数a取何值时，方程g(sinx)=a-5sinx在0,2π上有四个不同的解？
【解析】(1)由f(x)=-cos2x-2t⋅sinx+2t2-6t+2=sin2x-2tsinx+2t2-6t+1=(sinx-t)2+t2-6t+1，
由于x∈R，∴-1≤sinx≤1，∴当t<-1时，则当sinx=-1时，f(x)min=2t2-4t+2；当-1≤t≤1时，则当sinx=t时，f(x)min=t2-6t+1；当t>1时，则当sinx=1时，f(x)min=2t2-8t+2；
综上，g(t)=2t2-4t+2,t<-1t2-6t+1,-1≤t≤12t2-8t+2,t>1．
(2)当-1≤t≤1时，g(t)=t2-6t+1，方程g(t)=kt，即：t2-6t+1=kt，
令q(t)=t2-(k+6)t+1，则有：q(-1)q(1)<0，得(k+8)(k+4)>0，则k∈(-∞,-8)∪(-4,+∞)，
当t=-1代入检验得k=-8适合题意，当t=1代入检验得k=-4适合题意，
所以k∈(-∞,-8]∪[-4,+∞).
(3)令u=sinθ，u∈[-1,1]，则由题意可得g(u)=u2-6u+1=a-5u，
得关于u的方程u2-u+1-a=0，
因方程对应的二次函数h(u)= u2-u+1-a的对称轴是u=12，
又u∈[-1,1]故原方程有4个不同解，则关于u方程u2-u+1-a=0在[0,1)内有两个不同的解，
所以Δ>0,h(0)>0,h(1)>0. ⇒34
(1)若函数f(x)在x∈0,2上有最大值-8，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在x∈-1,2上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由题意得：f(x)=4x-a⋅2x+1+1=(2x)2-2a⋅2x+1，
因为x∈0,2，
所以令t=2x∈1,4,f(t)=t2-2at+1，对称轴为t=a，
当a≤52时，f(x)max=f(4)=17-8a=-8，解得：a=258(舍)；
当a>52时，f(x)max=f(1)=2-2a=-8，解得：a=5，
所以a=5 ；
(2)由(1)可得：f(x)=(2x)2-2a⋅2x+1，
令t=2x∈12,4,f(t)=t2-2at+1，对称轴为t=a，
因为函数f(x)在x∈-1,2上有且只有一个零点，
所以f(t)=t2-2at+1的图象在12,4上与x轴只有一个交点，
所以Δ=4a2-4=012
整理解得：54≤a≤178；
当a=54时，f(t)=t2-2at+1与x轴有两个交点，故舍．
综上54
2021年江苏新高考考点分析
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高考数学的重要内容，函数、方程及不等式是新高考的必考内容.
2021年江苏新高考考点梳理
1. 二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.
(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)<0;
(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根
(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.
(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞,α)∪［β,+∞a<0且f(α)=f(β)=0;
(2)当a>0时，f(α)
|β+|;
(3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立或
(4)f(x)>0恒成立
名师讲坛考点突破
考点1求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)的图像过（2，-1），（-1，-1），且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
【解析】 法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
变式训练1. 已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.
【解析】 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
则f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
又f(0)＝1，所以c＝1.
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).
变式训练2. 已知函数f(x)=ax2+2x+c，(a,c∈N*)满足：①f(1)=5；②6
【解析】∵f(1)=a+2+c=5，∴c=3-a.①
又∵6
∴a=1，c=2．∴f(x)=x2+2x+2
考点2 二次函数中的最值问题
例2. 已知函数y＝2sin2x－2asin x＋3有最小值，记作g(a)．
(1) 求g(a)的表达式；
(2) 求g(a)的最大值．
【解析】令sin x＝t，则t∈[－1，1]，则原题转化为求二次函数f(t)＝2t2－2at＋3在t∈[－1，1]上的最小值．
(1) 由题意知函数f(t)的对称轴方程是t＝，根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类讨论：
① 当≤－1，即a≤－2时，g(a)＝f(－1)＝2a＋5；[来源:学科网ZXXK][来源:Zxxk.Com]
② 当－1<<1，即－2
综上可知，函数g(a)的表达式为
g(a)＝
(2) 当a≤－2时，g(a)≤1；当－2
【答案】a＝－1或a＝2
【解析】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a
＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
对称轴方程为x＝a.
(1)当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，
∴1－a＝2，∴a＝－1.
(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝(舍).
(3)当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
考点3 二次函数中的恒成立问题
例3设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围为 ．
【答案】(－∞，0)∪
【解析】要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，
即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，所以m＜，则0＜m＜；
当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，即m＜0.
综上所述，m的取值范围是(－∞，0)∪.
法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪.[来源:Z§xx§k.Com]
变式训练4. 已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为________．[来源:Z+xx+k.Com]
【答案】 (2)(－∞，1)
【解析】由题意得x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
则g(x)在[－3，－1]上递减．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k<1.故k的取值范围为(－∞，1)．
变式训练5.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，满足条件f(x+1)-f(x)=2x(x∈R)，且f(0)=1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x≥0时，f(x)≥mx-3恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)由f(0)=1得，c=1，
由f(x+1)-f(x)=2x，得a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+c)=2x
化简得，2ax+a+b=2x，所以：2a=2，a+b=1，可得：a=1，b=-1，c=1，
所以f(x)=x2-x+1；
(2)由题意得，x2-x+1≥mx-3，x∈[0,+∞)恒成立．
即：g(x)=x2-(m+1)x+4≥0，x∈[0,+∞)恒成立．
其对称轴x=m+12，
当m+12≤0，即m≤-1时，g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(0)=4>0
∴m≤-1成立
②当m+12>0时，满足m+12>0，且∆≤0
计算得：-1
一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1.如果二次函数f(x)=x2+(a-2)x+1在区间(-∞,3]上是减函数，则a的取值范围是( )
A. a>-4 B. a<-4 C. a≥-4 D. a≤-4
【答案】D
【解析】 二次函数f(x)=x2+(a-2)x+1在区间(-∞,3]上是减函数，故：-a-22≥3，
解得：a≤-4，故选：D．
2. 已知函数f(x)=4x2-kx-8在(∞,5]上具有单调性，则实数k的取值范围是( )
A. (-24,40) B. [-24,40] C. (-∞,-24] D. [40,+∞)[来源:Zxxk.Com]
【答案】D
【解析】根据题意，函数f(x)=4x2-kx-8为二次函数，其对称轴为x=k8，
若函数f(x)=4x2-kx-8在(-∞,5]上具有单调性，必有k8≥5，解可得k≥40，
即k的取值范围为[40,+∞)；故选：D．
3. 已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A.1 B.0 C.－1 D.2
【答案】A
【解析】f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，
∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，
∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.
4. 对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )
A. -1是f(x)的零点 B. 1是f(x)的极值点
C. 3是f(x)的极值 D. 点(2,8)在曲线y=f(x)上
【答案】A
【解析】可采取排除法．
若A错，则B，C，D正确．即有f(x)=ax2+bx+c的导数为f'(x)=2ax+b，
即有f'(1)=0，即2a+b=0，①又f(1)=3，即a+b+c=3②，
又f(2)=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=-10，c=8.符合a为非零整数．
若B错，则A，C，D正确，则有a-b+c=0，且4a+2b+c=8，且4ac-b24a=3，解得a∈⌀，不成立；
若C错，则A，B，D正确，则有a-b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=-83不为非零整数，不成立；
若D错，则A，B，C正确，则有a-b+c=0，且2a+b=0，且4ac-b24a=3，解得a=-34不为非零整数，不成立．故选：A．
5. 已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为( )
A. B．1或
C．－1或 D．－5或[来源:学。科。网Z。X。X。K]
【答案】D
【解析】f(x)＝－42－4a，对称轴为直线x＝.
①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递增，
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．
②当0<<1，即0
③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.
令－4a－a2＝－5，得a＝－5或a＝1(舍去)．综上所述，a＝或－5.
6. 函数f(x)=x2-2kx-8在区间[0,14]上为增函数，则实数k的取值范围为( )
A. (-∞,0) B. (-∞,0] C. (0,+∞) D. [0,+∞)
【答案】B
【解析】 ∵f(x)=x2-2kx-8，∴对称轴为x=k
∵函数f(x)=x2-2kx-8在区间[0,14]上为增函数，∴k≤0 故选：B．
7. 若函数fx=12x2-x+32的定义域和值域都是1,b，则b=( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 1或3
【答案】B
【解析】∵函数fx=12x2-x+32=12x-12+1的定义域和值域都是1,b，且函数fx在1,b上为增函数，
∴fb=12b-12+1=b，即12b-12=b-1．
又∵b>1，∴12b-1=1，解得b=3，故选B．
8. 已知方程2sinx-cos2x-m=0在区间-π2,π2有解，则实数m的取值范围为( )
A. -32,1 B. -1,1 C. -32,3 D. -1,3
【答案】C
【解析】由已知得m=2sinx-cos2x,令f(x)=2sinx-cos2x，
则f(x)=2sinx-(1-2sin2x)=2sin2x+2sinx-1=2(sinx+12)2-32，∵x∈[-π2,π2],
∴sinx∈[-1,1]，
当sinx=-12时，f(x)min=-32，
当sinx=1时，f(x)max=3，
因此f(x)∈[-32,3]，∴m∈[-32,3],故选C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
9. 设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值不能为( )
A.正数 B.负数
C.非负数 D.正数、负数和零都有可能
【答案】BCD
【解析】∵f(x)=x2－x+a的对称轴为x=,且f(1)>0,则f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),
∴m－1＜0,∴f(m－1)>0.故选BCD.
10. 已知函数f(x)=-x2+(m-2)x+2-m，x∈R．若函数y=|f(x)|在[-1,0]上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A.0 B.1 C.-2 D.3
【答案】CD
【解析】(1)根据题意，令f(x)=-x2+(m-2)x+2-m=0，则△=(m-2)2-4(m-2)=(m-2)(m-6)；
分2种情况讨论：
①，当△≤0，即2≤m≤6时，f(x)=-x2+(m-2)x+2-m≤0恒成立，
所以|f(x)|=x2-(m-2)x+m-2．
因为y=|f(x)|在[-1,0]上是减函数，所以m-22≥0，解得m≥2，
所以2≤m≤6．
②，由△>0，解得m<2或m>6，
当m>6时，y=|f(x)|的图象对称轴x=m-22>2，且方程f(x)=0的两根均为正，
此时y=|f(x)|在[-1,0]为减函数，所以m>6符合条件．
当m<2时，y=|f(x)|的图象对称轴x=m-22<0，且方程f(x)=0的根一正一负，
要使y=|f(x)|在[-1,0]单调递减，则m-22≤-1，解得m≤0．
综上可得，实数m的取值范围为(-∞,0]∪[2,+∞)．故选CD.
三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）
11. 若函数y=x2-4x-2的定义域为[0,m]，值域为[-6,-2]，则m的取值范围是______．
【答案】[2,4]
【解析】∵函数y=x2-4x-2=(x-2)2-6的定义域为[0,m]，值域为[-6,-2]，
f(0)=-2，f(2)=-6，
可得2∈[0,m]，且2≤m≤2+2=4，
故m的范围为[2,4]，
故答案为：[2,4]．
由题意可得2∈[0,m]，且2≤m≤2+2=4，求得m的取值范围[2,4]．
12.已知函数f(x)=-2x2+bx+c在x=1时有最大值1，0
【解析】根据题意，函数f(x)=-2x2+bx+c在x=1时有最大值1，
则有-b-4=b4=1，即b=4，且-2+4+c=1，解可得c=-1，
则f(x)=-2x2+4x-1，
又有x∈[m,n]时，f(x)的取值范围为[1n,1m]，则1m≤1，解可得m≥1，
f(x)在[m,n]上单调递减，则有f(m)=1m，f(n)=1n，
即有m、n是方程-2x2+4x-1=1x的两个根，-2x2+4x-1=1x⇒(x-1)(2x2-2x-1)=0，
其根为1、1+32、1-32，又有1≤m
【答案】2,+∞
【解析】：由题意得fx为偶函数，所以fx有4个零点，则需当x≥0时，f(x)=x2-ax+1有两个大于0的零点．又因为f0=1>0，所以&a2>0，&Δ=a2-4>0，解得a>2．
14.已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________；
【答案】
【解析】作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
则有fm<0,fm+1<0,
即m2+m2-1<0m+12+mm+1-1<0,
解得－
15. 已知二次函数满足且.
（1）求的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】 （1）设，
则，
所以，
解得：，.又，所以.
（2）当时，恒成立，
即当时，恒成立.
设，.
则，.
16．设函数.
（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当m=1时，fx=-1<0显然成立，所以m=1符合题意；
当m≠1时，由对于一切实数x，fx<0恒成立可得：m-1<0Δ=m-12+4m-1<0，
解得：-3
即m-1x2-m-1x-1<-m+3在m∈0,2上恒成立；
即m-1x2-m-1x+m-4<0在m∈0,2上恒成立；
令g(m)=m-1x2-m-1x+m-4=x2-x+1m-x2-x+4，
显然g(m)是关于m的一次函数；
因此只需g(0)=-x2-x+4<0g(2)=x2-x-2<0解得：-1
(1)求g(t)的表达式；
(2)当-1≤t≤1时，函数h(t)=g(t)-k t有一个零点，求实数k的取值范围；
(3)问实数a取何值时，方程g(sinx)=a-5sinx在0,2π上有四个不同的解？
【解析】(1)由f(x)=-cos2x-2t⋅sinx+2t2-6t+2=sin2x-2tsinx+2t2-6t+1=(sinx-t)2+t2-6t+1，
由于x∈R，∴-1≤sinx≤1，∴当t<-1时，则当sinx=-1时，f(x)min=2t2-4t+2；当-1≤t≤1时，则当sinx=t时，f(x)min=t2-6t+1；当t>1时，则当sinx=1时，f(x)min=2t2-8t+2；
综上，g(t)=2t2-4t+2,t<-1t2-6t+1,-1≤t≤12t2-8t+2,t>1．
(2)当-1≤t≤1时，g(t)=t2-6t+1，方程g(t)=kt，即：t2-6t+1=kt，
令q(t)=t2-(k+6)t+1，则有：q(-1)q(1)<0，得(k+8)(k+4)>0，则k∈(-∞,-8)∪(-4,+∞)，
当t=-1代入检验得k=-8适合题意，当t=1代入检验得k=-4适合题意，
所以k∈(-∞,-8]∪[-4,+∞).
(3)令u=sinθ，u∈[-1,1]，则由题意可得g(u)=u2-6u+1=a-5u，
得关于u的方程u2-u+1-a=0，
因方程对应的二次函数h(u)= u2-u+1-a的对称轴是u=12，
又u∈[-1,1]故原方程有4个不同解，则关于u方程u2-u+1-a=0在[0,1)内有两个不同的解，
所以Δ>0,h(0)>0,h(1)>0. ⇒34
(1)若函数f(x)在x∈0,2上有最大值-8，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在x∈-1,2上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由题意得：f(x)=4x-a⋅2x+1+1=(2x)2-2a⋅2x+1，
因为x∈0,2，
所以令t=2x∈1,4,f(t)=t2-2at+1，对称轴为t=a，
当a≤52时，f(x)max=f(4)=17-8a=-8，解得：a=258(舍)；
当a>52时，f(x)max=f(1)=2-2a=-8，解得：a=5，
所以a=5 ；
(2)由(1)可得：f(x)=(2x)2-2a⋅2x+1，
令t=2x∈12,4,f(t)=t2-2at+1，对称轴为t=a，
因为函数f(x)在x∈-1,2上有且只有一个零点，
所以f(t)=t2-2at+1的图象在12,4上与x轴只有一个交点，
所以Δ=4a2-4=012
整理解得：54≤a≤178；
当a=54时，f(t)=t2-2at+1与x轴有两个交点，故舍．
综上54
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