专题16 函数的零点-2021届江苏省新高考数学大讲坛大一轮复习（解析版）

题16 函数的零点
2021年江苏新高考考点分析
1．函数的零点问题是命题热点，经常考查函数零点存在的区间和零点个数的判断，难度不大． 2．函数零点性质的应用主要是利用函数的零点个数求参数的范围．
2021年江苏新高考考点梳理
函数零点的定义
(1) 一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点；
(2) 明确三个等价关系(三者相互转化)

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者能相互转化，在解决有关零点的问题以及已知零点的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．
2.函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得。
（1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续）
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号[来源
:学&科X3．断函数零点个数的常见方法
（1）直接法：解方程，方程有几个解，函数就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴的交点个数即为函数的零点个数；
或将函数拆成两个常见函数和的差，从而
，则函数的零点个数即为函数与函数的图象的交点个数；
4.函数零点问题中参数的范围
已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：
(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．
(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
5.以函数零点为背景的解答题主要考察函数与方程思想，不仅要研究单调性，确定至多一解，而且要考虑零点存在定理，确定至少有一解，从两方面确保解的个数的充要性．
函数零点个数证明与讨论
函数零点问题的不等式的证明
名师讲坛
考点突破
考点1函数零点个数问题
例1 (2017苏锡常镇调研）若函数f(x)＝则函数y＝|f(x)|－的零点个数为________．
【答案】 4　
【解析】设g(x)＝，则由g′(x)＝＝＝0，可得x＝，所以g(x)在(1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，当x→＋∞时，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值为g()＝＞.在同一平面直角坐标系中画出y＝|f(x)|与y＝的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．

易错警示 答案中出现了3和5这两种错误结果，3的主要原因是弄错了(1，＋∞)上的单调性或者忘了处理绝对值，5的主要原因是没有发现图像趋近于x轴．

变式训练1. (2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为
【答案】：. 5　
【解析】：因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.

本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．
变式2.函数在有 个零点．
【答案】2．

(1)函数的零点可转换为方程的根,若方程能够直接解出,则零点也就得到；
(2)连续函数在区间[a,b]上有f(a)·f(b)＜0时,函数在(a,b)内至少有一个零点,但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a,b)内零点的个数,还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；
(3)对于解析式较复杂的函数的零点,可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为f(x)＝g(x)的形式,通过考察两个函数图象的交点来求

考点2 函数零点问题中参数的范围

例2. 设函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】 (1，＋∞)　
【解析】解法1(直接法) 当x>0时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，因为f′(x)＝3x2－3m，令f′(x)＝0，则x2－m＝0，若m≤0，则函数f(x)为增函数，不合题意，故m>0，所以函数f(x)在(－∞，－)上为增函数，在(－，0]上为减函数，即f(x)max＝f(－)＝－m＋3m－2＝2m－2，f(0)＝－2<0，要使f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f(x)max＝2m－2>0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)．
解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，即x3－3mx－2＝0，显然x＝0不是它的根，所以3m＝x2－，令y＝x2－(x<0)，则y′＝2x＋＝，当x∈(－∞，－1)时，y′<0，此时函数单调递减；当x∈(－1，0)时，y′>0，此时函数单调递增，故ymin＝3，因此，要使f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需3m>3，即m>1.

变式训练1. （2020·江苏省高三期中）若函数恰有2个零点，则的取值范围是______.
【答案】，．
【解析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数和的图象，如图：若函数恰有2个零点，即函数图象与轴有且仅有2个交点，则或，即的取值范围是：，

变式训练2.【2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)】已知，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】令，
当时，令，则，即，
解得：，不符题意，舍去；
当时，令，则或，
即或，
由图象可知，有两解，则有一个解，
则只需，解得：，
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．


新高考模拟试题过关测试
一、 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．）
1.（2020•和平区期中）在下列个区间中，存在着函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9的零点的区间是（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣3x﹣9是连续函数，
f（﹣1）＝﹣8，
f（0）＝﹣9，
f（1）＝﹣8，
f（2）＝1，
根据零点存在定理，
∵f（1）•f（2）＜0，
∴函数在（1，2）存在零点，
故选：C．
【知识点】函数零点的判定定理
2.（2020•岳麓区校级期中）已知函数，若a＜b＜c＜d，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+2d的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d）＝k，
则：a，b，c，d为f（x）＝k的四个不同的实数根，
于是a，b为方程x2+2x+k＝0的不同实根，所以a+b＝﹣2，
由|lgc|＝|lgd|可知：且由于0＜lgd＜1，可知1＜d＜10，于是c+2d＝2d+∈（3，），
于是：a+b+c+2d∈（1，）．
故选：B．
【知识点】函数的零点与方程根的关系
3.【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D．


4.（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数，若函数在上只有两个零点，则实数的值不可能为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数的零点为函数与图象的交点，在同一直角坐标下作出函数与的图象，如图所示，

当函数的图象经过点（2，0）时满足条件，此时 ，当函数的图象经过点（4，0）时满足条件，此时 ，当函数的图象与相切时也满足题意，此时 ，解得， 综上所述，或或．

5.（2021·江西景德镇一中高三月考（文））已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
画出函数的图象,①当直线与曲线相切于点时,,推出直线与函数的图象恰有3个交点时的范围;②当直线与曲线相切时,设切点为,通过,求出,或,,然后判断求解的范围.
【详解】
函数的图象如图所示, 
 
①当直线与曲线相切于点时, , 
故当或时,直线与函数的图象恰有一个交点, 
当时,直线与函数的图象恰有两个交点, 
②当直线与曲线相切时,
设切点为,则, 
,解得,或,，
当时,直线与函数的图象恰有一个交点, 
当或时,直线与函数的图象恰有两个交点, 
当时,直线与函数的图象恰有三个交点, 
综上的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查分段函数图像的画法，以及利用函数图象研究函数的零点问题，属于中档题.


6.（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知函数，则方程实根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
由得到或，再根据的图象来判断当或时对应的有几个，即为实根个数
【详解】
由可得或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处取得极小值，极小值为，绘制函数的图象如图所示，观察可得，方程的实根个数为3，故选B

【点睛】
本题考查函数与方程中，导数在研究函数中的应用，图像法处理零点个数问题，找到变量关系，灵活利用图象，是解题关键

7.（2020·四川内江�高二期末（理））已知，，若函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数，在同一坐标系中作出函数的图象，研究两函数相切时，设切点为，利用导数的几何意义，求得切点，再根据函数的图象与函数的图象有两个交点，则求解.
【详解】
因为，
所以
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
因为

当时，当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：

当两函数相切时，设切点为,
则解得，
要使函数的图象与函数的图象有两个交点，
则 ，所以，
当时，，显然不成立，
故选：C
【点睛】
本题主要考查导数与函数的图象，导数的几何意义，函数零点个数问题，还考查了转化化归思想和数形结合思想，属于较难题.
8.将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数的图象先向右平移个单位长度，可得的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，∴周期，
若函数在上没有零点，
∴ ，∴ ，，解得，又，解得，
当k=0时，解，当k=-1时，，可得，.
故答案为：A.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）
9.（2020·山东高三其他）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若在恒成立，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对选项A，求出函数的单调区间，再求出极大值即可判断A正确，对选项B，利用函数的单调性和最值即可判断B错误，对选项C，首先利用函数的单调性即可得到，再构造函数，利用的单调性即可得到，最后即可判断C正确，对选项D，转化为在在恒成立，构造函数，求出最大值即可判断D正确.
【详解】
对选项A，，.
令，.
，，为增函数，
，，为减函数.
所以处取得极大值，故A正确.
对选项B，当时，，当时，，
当时，，又因为，
所以只有一个零点，故B错误.
对选项C，因为在区间单调递减，且，
所以.
，.
设，.
令，.
所以时，，为减函数.
又因为，所以，.
即，所以，故C正确.
对选项D，在在恒成立.
设，，令，.
当，，为增函数，
当，，为减函数.
所以，即，故D正确.
故答案为：ACD
【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，极值和最值，同时考查了利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.
10.已知函数f(x)＝log2x，x>03x，x≤0，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
【答案】CD
【解析】问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.故选CD.

三、填空题（本大题共4小题，共计20分．）
11.(2018南通、泰州一调） 已知函数f(x)＝g(x)＝x2＋1－2a.若函数y＝f(g(x))有4个零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】 换元g(x)＝t，f(t)＝0，由g(x)＝x2＋1－2a＝t得x2＝t－(1－2a)，因为函数有四个零点，所以方程f(t)＝0有且仅有两个不相等的根t1，t2，且t1>1－2a，t2>1－2a，因为方程f(t)＝0的一个解为t＝－1，故按照1－2a与－1的大小关系，分三种情况讨论得出a的取值范围．
设g(x)＝t，因为函数y＝f(g(x))有四个不同的零点，所以方程f(t)＝0有且仅有两个不相等的根t1，t2，且由g(x)＝x2＋1－2a＝t，得x2＝t－(1－2a)，故t1>1－2a，t2>1－2a.
当t<0时，由ln(－t)＝0得t＝－1.
若1－2a＝－1，则a＝1，易得函数f(g(x))有五个不同的零点，舍去．
若1－2a<－1，则a>1，所以f(0)<0，所以方程f(t)＝0有且仅有一个正根，符合题意．
若1－2a>－1，则a<1，所以方程f(t)＝0必有两个正根，且t1>1－2a，t2>1－2a.
因为t>0时，f(t)＝t2－2at－a＋1，
所以a>0，Δ＝4a2－4(－a＋1)>0，f(0)>0，
f(1－2a)＝(1－2a)2－2a(1－2a)－a＋1>0，
解得 综上可知，1，即{a|1}．
本题考查复合函数的零点问题，处理f(g(x))＝0解的个数问题，往往通过换元令t＝g(x)，f(t)＝0，研究t的解的个数，再讨论每一个解对应的g(x)＝t的解x的个数，常用数形结合的方法来处理．
12.【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】若函数恰有3个不同的零点，则a的取值范围是____.
【答案】
【解析】（1）当时，，因为递减，，时，，所以在有1个零点；
当时，，因为，
①，即时，在上递减，所以，即在没有零点；
②，即时，在上递增，在上递减，因为，，所以时，在没有零点；时，在有1个零点；时，在有2个不同的零点.
（2）当时，，当时，在上没有零点；当时，在有1个零点；时，在有2个不同的零点.
综上，当或时恰有三个不同的零点.

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．）
13. （2020江苏苏州五校联考）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）当时，求证：；
（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．
【答案】（1）或；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据导数的意义可知，解得切点；（2）将所证明不等式转化为证明恒成立，设，利用导数证明；
（3）等价于，等价于，且，令，利用导数分析函数的性质，可知函数的极小值0，极大值，讨论当，，，时，结合零点存在性定理确定零点的个数．
【详解】（1）．所以过点的切线方程为，所以，
解得或．
（2）证明：即证，因为，所以即证，
设，则，令，解得．


4


-
0
+

减
极小
增
所以 当时，取得最小值，所以当时，．
（3）解：等价于，等价于，且．
令，则，令，得或，


1




-
0
+
0
-

减
极小0
增
极大
减
（Ⅰ）当时，，所以无零点，即定义域内无零点
（Ⅱ）当即时，若，因为，，所以在只有一个零点，而当时，，所以只有一个零点；
（Ⅲ）当即时，由（Ⅱ）知在只有一个零点，且当时，，所以恰好有两个零点；
（Ⅳ）当即时，由（Ⅱ）、（Ⅲ）知在只有一个零点，在只有一个零点，在时，因为，只要比较与的大小，即只要比较与的大小，
令，因为，因为，所以，
所以，
即，所以，即在也只有一解，所以有三个零点；
综上所述：当时，函数的零点个数为0； 当时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2；当时，函数的零点个数为3．
【名师点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，第三问中当即时判断零点个数相对其他情况比较难，还需构造函数．解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合．

14．（2020江苏徐州高三上学期期中考试）设函数，，．
（1）当，，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值；
（3）当时，若函数恰有两个零点，，求证：．
【答案】（1）（2）（3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用导数的几何意义求出斜率，再由点斜式可求得线在点处的切线方程；(2)利用，可得，令，可解得，，可得，再令，通过两次求导可得，可得，从而可证．
【详解】（1）依题意得：，则，，，
所以曲线在点处的切线方程：，即
（2），
当时，，在上单调递增，此时，∴
当时，令，且当时，，递减；
当时，，递增，∴，∴（舍去）
综上：．
（3）当时，，∴，②①，得
∴，令，则，所以，因为，所以，
所以，所以，
令，则，所以，因为，所以，
所以为上的增函数，所以，所以为上的增函数，
所以，即，所以，
因为，所以，所以，即，所以．



15. 已知
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若关于的函数在区间上有唯一零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）
令，，解得的单调递减区间
（2）由（1）知，函数
在有零点等价于在有唯一根，
∴可得
设，则
根据函数在上的图象，∵与有唯一交点，
∴实数应满足或 ∴或．
故实数的取值范围或．




16. （2020江苏南京学期初联考）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）函数在区间上有零点，求的值；
（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出在上有零点，从而得到结果；（3）整理出，可知为的两根，从而得到，；根据的范围可确定的范围后，将两式代入进行整理；构造函数，，利用导数可求得函数的最小值，该最小值即为的最大值．
【详解】（1）由题意得：，，，
曲线在处切线为：，即．
（2）由（1）知：，当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，，
又，，，
由零点存在定理知：在上有一个零点，
在上单调递增，该零点为上的唯一零点，．
（3）由题意得：，，
为的两个极值点，即为方程的两根，
，，，
，，又，解得：，
，
令，，则，
在上单调递减，，
即，，即实数的最大值为：．