专题08 椭圆及其方程（重难点突破）解析版-高二上（新教材人教A版）

专题08 椭圆及其方程
一、 知识结构思维导图

二、 学法指导与考点梳理
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性质

范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距
＝2c
离心率
e＝，　　e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
【知识必备】
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.

三、 重难点题型突破
重难点01 椭圆的定义及其应用
例1、（ 河南郑州外国语学校2019届模拟）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）

A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【答案】A　
【解析】由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，所以|PM|＝|PF|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝r，由椭圆的定义可知点P的轨迹为椭圆．
【变式训练1】对于方程，
（1）若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________________；
（2）若该方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________________；
（3）若该方程表示椭圆，则实数m的取值范围为________________．
【答案】（1）(2，10)；（2）(－6，2)；（3）(－6，2)∪(2，10) ．
【解析】（1）由题意可知，解得，故实数m的取值范围为(2，10)．

（3）由题意可知，解得且，故实数m的取值范围为(－6，2)∪(2，10)．
重难点02 椭圆的标准方程
例2．（1）（辽宁省抚顺一中2019届期中）椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，且它的一个顶点为(0,2)，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】D　
【解析】根据题意，可知b＝2，结合离心率等于，可知a2＝16，所以椭圆方程为＋＝1.故选D.
（2）．（黑龙江省佳木斯一中2019届期末）设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为，则此椭圆的方程为________．
【答案】＋＝1
【解析】椭圆的右焦点为(2,0)，所以m2－n2＝4，e＝＝，所以m＝2，代入m2－n2＝4，得n2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.
【变式训练1】．（山东省淄博一中2019届模拟）中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】C　
【解析】由已知得c＝5，设椭圆的方程为＋＝1，联立得
消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1＋x2＝，由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为＋＝1.
【变式训练2】．（四川省眉山一中2019届模拟）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.
(1)若e＝，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且＜e≤，求k的取值范围．
【解析】(1)由题意得c＝3，＝，所以a＝2，又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝0，x1x2＝，依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2.因为＝(x1－3，y1)， ＝(x2－3，y2)，
所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.即＋9＝0，
将其整理为k2＝＝－1－.
因为＜e≤，所以2≤a＜3，即12≤a2＜18.
所以k2≥，即k∈∪.
重难点03 椭圆的几何性质
例3．(1)（湖南省株洲二中2019届期末）已知焦点在y轴上的椭圆 ＋＝1的长轴长为8，则m＝(　　)
A．4 B．8 C．16 D．18
【答案】C　
【解析】椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选C.
(2)．（湖南省张家界一中2019届期末）已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2 B．6 C．4 D．12

【答案】C　
【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4.
【变式训练1】．（ 江苏省苏州一中2019届期中）已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A．－21 B．21 C．－或21 D.或－21
【答案】D　
【解析】当9>4－k>0，即－5＜k＜4时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，所以＝，解得k＝.当9<4－k，即k<－5时，a＝，c2＝－k－5，所以＝，解得k＝－21.故选D.
【变式训练2】．（山西省朔州一中2019届期中）椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.－1
【答案】D　
【解析】设F(－c,0)关于直线x＋y＝0的对称点为A(m，n)，则解得m＝，n＝c，代入椭圆方程可得＋＝1化简可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝－1.故选D.
重难点04 直线与椭圆的位置关系
例4．（ 山东省菏泽一中2019届模拟）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点和上顶点分别为A，B.左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B　
【解析】由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且|OP|＝c，即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0，点O到直线AB的距离d＝＝c，两边同时平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，两边同时除以a4，得2＋－1＝0，可得＝，则e2＝＝＝1－＝1－＝，故选B.

例5．（安徽省马鞍山二中2019届期中）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率．
【解析】(1)由题意可得2c＝2，即c＝，又e＝＝，解得a＝，b＝＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由直线l过点D(1,0)且垂直于x轴，设A(1，y1)，B(1，－y1)，则直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)．令x＝3，可得M(3，2－y1)，所以直线BM的斜率kBM＝＝1.
【变式训练1】．（宁夏石嘴山一中2019届模拟）已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
【解析】(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝，故直线DE的斜率kDE＝－.
所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．
直线BN的方程为y＝(x－2)．联立
解得点E的纵坐标yE＝－.
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.
又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，S△BDN＝|BD|·|n|.
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

四、 课堂定时训练（45分钟）
1．（河南省濮阳一中2019届期末）设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为（ ）
A．3 B．3或
C. D．6或3
【答案】C　
【解析】由已知a＝2，b＝，c＝1，则点P为短轴顶点(0，)时，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝＝，S△PF1F2＝··2c＝＝.故选C.
2．（广东省佛山一中2019届模拟）焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c×b＝(2a＋2c)×，得a＝2c，即e＝＝，故选C.
3．（广东省梅州一中2019届模拟）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 （ ）
A．2 B.3 C．6 D．8
【答案】C　
【解析】设点P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.因为点F(－1,0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，所以(·)max＝6.
4．（山东省威海一中2019届模拟）设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A　
【解析】设椭圆左焦点为F′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，又·＝0，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.
设|AF′|＝n，|AF|＝m，则在Rt△F′AF中，
m＋n＝2a①，m2＋n2＝4c2②，联立①②得mn＝2b2③.
②÷③得＋＝，令＝t，得t＋＝.
又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得＝t∈[1,2]，所以t＋＝∈.故椭圆C的离心率的取值范围是.
5．（浙江省衢州一中2019届期中）已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
【答案】7
【解析】由椭圆方程知a＝5，b＝4，c＝3.两圆的圆心分别为椭圆的左右焦点F1，F2，设两圆半径分别为r1，r2，则r1＝1，r2＝2.所以|PM|min＝|PF1|－r1＝|PF1|－1，|PN|min＝|PF2|－r2＝|PF2|－2，故|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－3＝2a－3＝7.
6．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则
由椭圆的定义，可以得到
,
在中，有，解得，
在中，有，整理得，故选C项.
7．已知，为椭圆的左，右焦点，为的短轴的一个端点，直线与的另一个交点为，若为等腰三角形，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】设|AF1|＝t（t＞0），由椭圆的定义可得|AF2|＝2a﹣t，由题意可知，|AF2|＞|BF2|＝a，由于△BAF2是等腰三角形，则|AB|＝|AF2|，
即a+t＝2a﹣t，所以，所以 ，因此故选：A．
8．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，
解得b，故选D．
9．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里.已知月球的直径为公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图，F为月球的球心，月球半径为：×3476＝1738，

依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138.
2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，
椭圆的离心率为：，选B.
10．（椭圆与圆结合）如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．

【答案】
【解析】

连结，可得是边长为2的等边三角形，所以，
可得直线的斜率，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，直线的方程为，
设，由解得，
因为圆与直线相切于点，所以，因此，
故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，
因为直线交椭圆于与点，设，可得，
由此可得.故答案为