专题09 双曲线及其方程（重难点突破）解析版-高二上（新教材人教A版）

专题09 双曲线及其方程
一、 知识结构思维导图

二、 学法指导与考点梳理
考点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
考点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
考点三、常用结论
1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
三、 重难点题型突破
重难点题型突破一 双曲线的定义及其应用
例1、(1)（华东师范大学附中2019届模拟）(1)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3＝4，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8
C．24 D．48
(2)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．
【答案】(1)C　(2)10
【解析】(1)双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝10.根据题意和双曲线的定义知2＝|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|，所以|PF2|＝6，|PF1|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24.
(2)由双曲线的标准方程－＝1得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当直线l过点F1，且垂直于x轴时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.
【变式训练1】、(1)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为____．
【答案】12
【解析】　设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12.
(2).已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点， 与的内切圆切于点，则的最小值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】与的内切圆切于点，∴,由双曲线定义= ,当且仅当A,B,共线时取等故选：B
重难点题型突破二 双曲线的标准方程
例2、　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．
【解析】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知2b＝12，e＝＝，所以b＝6，c＝10，a＝8.所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，所以解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
【变式训练1】、(1)已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点是右支上一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】C
【解析】在中，因为，所以，
，，
则由双曲线的定义可得
所以离心率，故选C.
(2)过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线的右支于点，且切点为，已知为坐标原点，为线段的中点（点在切点的右侧），若的周长为，则双曲线的渐近线的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

解：连OT，则OT⊥F1T，
在直角三角形OTF1中，|F1T|b．
连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点
∴OMPF2，
∴|MO|﹣|MT|PF2﹣（ PF1﹣F1T）（PF2﹣PF1）+b
b﹣a．
又|MO|+|MT|+|TO|=，即|MO|+|MT|=3a
故|MO|=, |MT|=,
由勾股定理可得：，即
∴渐近线方程为：
故选：B
(3)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】C　
【解析】因为直线AB经过双曲线的右焦点且垂直于x轴，所以不妨取A(c，)，B，取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1＝＝，d2＝＝，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以2b＝6，得b＝3.因为双曲线的离心率为2，所以＝2，所以＝4，即＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
【变式训练2】、（1）焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．
（2）过双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________．
【答案】（1）－＝1 （2）－＝1
【解析】：（1）设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
（2）因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点 A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
重难点题型突破三 双曲线的几何性质及其应用
例3、(2020·福建厦门一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
【答案】B　
【解析】设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，
∴S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，
由可得y＝±，
则|MN|＝＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，∴a＝＝2 ，
∴C的渐近线方程为y＝±x，故选B.
【变式训练1】、（1）已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且双曲线C上的点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为________．
【答案】 5
【解析】 由双曲线的定义可得2a＝||－||＝1，所以a＝.因为·＝0，所以⊥，所以(2c)2＝||2＋||2＝25，解得c＝，所以双曲线C的离心率为e＝＝5.
（2）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则双曲线的离心率e的最大值为________．
【答案】
【解析】 设∠F1PF2＝θ，由得由余弦定理得cos θ＝＝－e2.因为θ∈(0，π]，所以cos θ∈[－1，1)，即－1≤－e2<1.又e>1，所以1 （3）已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．
【答案】＋1
【解析】 因为MF1的中点P在双曲线上，所以PF2－PF1＝2a.因为△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1.
方法总结：双曲线中一些几何量的求解方法
(1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线的方程：依据题设条件求出a，b的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程．
(4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长：依题设条件及a，b，c之间的关系求解．
重难点题型突破四 直线与双曲线的位置关系
例4．（山西省晋中一中2019届模拟）已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2) B.(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
【答案】A
【解析】如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立，得解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故2＋2＜c2，化简得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得＜2，又双曲线的离心率e＝＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A.

例5．（江苏省徐州一中2019届模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
【解析】(1)因为e＝，所以双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为－＝1.
(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以 ·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4.由(2)知m＝±.所以△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6.
【变式训练1】、（福建省南平一中2019届质检）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.
【解析】(1)因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以解得c＝3，b＝，所以双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)，
所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．联立得5x2＋6x－27＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.所以|AB|＝×＝.
【变式训练2】、设和是双曲线上的两点，线段的中点为，直线不经过坐标原点．
（1）若直线和直线的斜率都存在且分别为和，求证：；
（2）若双曲线的焦点分别为、，点的坐标为，直线的斜率为，求由四点、、、所围成四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：法1：设不经过点的直线方程为，代入双曲线方程得：．
设坐标为，坐标为，中点坐标为，则，，
，，所以，，．
法2：设、，中点，则，且，
（1）﹣（2）得：．
因为，直线和直线的斜率都存在，所以，
等式两边同除以，得：，即．
（2）由已知得，求得双曲线方程为，直线斜率为，
直线方程为，代入双曲线方程可解得，中点坐标为．
面积．
另解：线段中点在直线上．所以由中点，可得点的坐标为，代入双曲线方程可得，即，解得（），所以．面积．




四、 课堂定时训练（45分钟）
1、设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
∴，，
又点在圆上，，即．
，故选A．

2、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】C　
【解析】因为直线AB经过双曲线的右焦点且垂直于x轴，所以不妨取A(c，)，B，取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1＝＝，d2＝＝，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以2b＝6，得b＝3.因为双曲线的离心率为2，所以＝2，所以＝4，即＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
3、已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】B　
【解析】双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝　①，椭圆＋＝1的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)，所以a2＋b2＝9②，根据①②可知a2＝4，b2＝5.故选B.
4、双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【答案】A
由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.
5、已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MAN＝60°，则C的离心率为__________．
【答案】　
双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝＝，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，
所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝.
6、在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是__________．
【答案】2
【解析】一条渐近线方程为bx＋ay＝0，由题知＝c，所以＝，即＝，即2＝，所以e2＝4，所以e＝2.
7． （2011广东）设圆与两圆中的一个内切，另一
个外切．
（1）求的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点M，且为上动点，求的最大值及此时点P的坐标．
【解析】（1）设C的圆心的坐标为，由题设条件知

化简得L的方程为

（2）过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得

解得
因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故
，若P不在直线MF上，在中有

故只在T1点取得最大值2．