专题10 抛物线及其方程（重难点突破）原卷版-高二上（新教材人教A版）

专题10 抛物线及其方程

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

考点一   抛物线的标准方程与几何性质

考点二   与焦点弦有关的常用结论

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．

(3)＋为定值.

(4)以AB为直径的圆与准线相切．

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

考点三 与抛物线有关的经典结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；

(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；

(3)＋＝；

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；

(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．

三、重难点题型突破

重难点题型突破1 抛物线的定义及应用

例1．（2020·福建省莆田市高三质检）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为（    ）

A．2 B． C． D．4

【变式训练1-1】．（湖南省娄底一中2019届期末）已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

【变式训练1-2】．（河南省安阳一中2019届期末）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为________．

【变式训练1-3】．（黑龙江省哈尔滨三中2019届质检）已知点Q(－2，0)及抛物线x2＝－4y上一动点P(x，y)，则|y|＋|PQ|的最小值为________．

重难点题型突破2 抛物线的标准方程及几何性质

例2．（2020·河北省沧州市高三一模）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【变式训练2-1】．（黑龙江省鹤岗一中2019届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝－x             B.x2＝－8y

C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y

【变式训练2-2】．（江苏省镇江一中2019届期中）已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上—点，若＝＋λ(λ≠0)，求λ的值．

【变式训练2-3】．（ 吉林省辽源一中2019届模拟）已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)

A. B.

C. D.

重难点题型突破3 直线与抛物线位置关系

例3．（2020·河南省安阳市高三一模）过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式训练3-1】．（2020·陕西省西安中学高三二模）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（    ）

A．  B． C． D．

【变式训练3-2】．（2020·河南省开封市高三模拟（理））已知抛物线抛物线上的点

（1）求直线斜率的取值范围；

（2）延长与以为直径的圆交于点求的最大值.

重难点题型突破4 抛物线与其他圆锥曲线的综合问题

例4.（2020·安徽省滁州市定远育才学校高三模拟）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为

A． B．

C． D．

【变式训练4-1】．已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为___________．

【变式训练4-2】．（2020届江西省九江市高三第二次模拟）过点的动直线l与y轴交于点，过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M.

（1）求M的轨迹方程；

（2）设M位于第一象限，以AM为直径的圆与y轴相交于点N，且，求的值.

【变式训练4-3】．（2020届湖北省宜昌市高三调研）已知抛物线和直线，直线恒过圆P的圆心，且圆P上的点到直线的最大距离为2.

（1）求圆P的方程；

（2）直线与抛物线C和圆P都相交，且四个交点自左向右顺次记为A、B、C、D．如果，求直线的方程.

重难点题型突破5 其它综合问题

例5．（2020届湖南省怀化市高三第一次模拟）若抛物线的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为60°，且的面积为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程.

【变式训练5-1】．（2020届四川省泸州市高三二诊）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P在C上，若PF⊥x轴，且△POF（O为坐标原点）的面积为1.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若C上的两动点A，B（A，B在x轴异侧）满足，且|FA|+|FB|＝|AB|+2，求|AB|的值.

四、课堂定时训练（45分钟）

1．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，

若，且，则为（   ）

A．  B．

C．  D．

3．若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（   ）

A．2            B．3           

C．4              D．8

4．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两

条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（   ）

A．  B．

C．  D．

5．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

6．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．

（1）求抛物线C的方程及其准线方程；

（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．