专题07 曲线与方程（重难点突破）解析版-高二上（新教材人教A版）

专题07 曲线与方程

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

知识点一  曲线与方程

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．

知识点二 求轨迹方程的方法

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法 

(1)直接法  直接法是将圆锥曲线中动点满足的几何关系或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

(2)定义法  若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求； 

(3)相关点法  根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程； 

(4)参数法  若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程； 

知识点三   求曲线方程的基本步骤

三、重难点题型突破

重难点题型突破01  直接法 

直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 ，当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.

例1、（黑龙江哈尔滨师大附中2019届模拟）已知定点A，B，且|AB|＝2a.如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹．

【解析】取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)．设P(x，y)，因为＝，即＝2，化简整理可得3x2＋3y2－10ax＋3a2＝0，即2＋y2＝a2.故动点P的轨迹是以C为圆心，a为半径的圆．

【变式训练1】已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

【解析】：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有，即，．整理得，这就是动点M的轨迹方程．

若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；

若λ≠1，方程化为， 它表示以为圆心，为半径的圆．

重难点题型突破02 相关点代入法 

据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程

例2、（浙江杭州十四中2019届模拟）设点F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．

【解析】设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y).＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，因为⊥，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0.由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以即所以－x＋＝0，

即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.

【变式训练1】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程  

【解析】  设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理  在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

又|AR|=|PR|=

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 

设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,

代入方程x2+y2－4x－10=0,得

－10=0

整理得  x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 

重难点题型突破03 参数法 

参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.

例3、设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

【解析】：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得     所以椭圆方程为．

(2)设点解方程组

得     由和得

其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分．

【方法】求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.

【变式训练1】如图，抛物线：和：（）．点在抛物线上，过作的切线，切点分别为、（为原点时，、重合于）．当时，切线的斜率为．

（1）求的值；

（2）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（、重合于时，中点为）．

【解析】（1）因为抛物线：上任意一点的切线的斜率为，且切线的斜率为，所以点的坐标为，故切线的方程为．因为点在切线及抛物线上，所以有和，由此可得．

（2）设，，．

当时，因为是线段的中点，所以有…①，…②．切线的方程为，即，同理的方程为．解此方程组，得、的交点的坐标为，，由此及点在抛物线上，得，即…③．由①②③可得，．

当时，，重合于原点，此时线段的中点为原点，坐标也满足上述方程．因此，线段的中点的轨迹方程为．

四、课堂定时训练（45分钟）

1．(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________________________．

【答案】(x＋1)2＋(y－)2＝1

【解析】由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1,0)，所以＝(－1,0)，＝(1，－a)，由题意得与A的夹角为120°，得cos 120°＝＝－，解得a＝，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.

【解析】（1）法1（定义法）：圆心，由垂径定理可知，于是点在以为直径的圆上，所以的轨迹方程为，即．

法2（直接法）：设的坐标为，由可得．，，于是，即．

法3（参数法）：当的斜率不存在时，其直线方程为，于是，所以点的坐标为．

当的斜率存在时，设直线方程为，．联立消去可得，于是，将代入，消去参数，可得，整理可得（）．

综上所述，的轨迹方程为．

（2）法1：由可知点在以原点为圆心，为半径的圆上．联立，解得，于是点的坐标为，于是直线的方程为，即．△的面积为．

法2：由可知点在的垂直平分线上，而的垂直平分线过圆心，所以直线的斜率为，直线方程为，即．因为，点到直线的距离为，所以，于是△的面积为．

【解析】（1）法1：由题设知，曲线上任意一点到圆的圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以方程为．

法2：设的坐标为，由已知得，且点位于直线的右侧，于是，所以，化简得曲线的方程为．

【证明】（2）当点在直线上运动时，设的坐标为，又，则过且与圆相切的直线的斜率存在且不为，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，即．于是，整理得…①．设过所作的两条切线、的斜率分别为、，则、是方程①的两个实根，所以…②．

由可得…③．设四点、、、的纵坐标分别为、、、，则、是方程③的两个实根，所以，同理可得．于是

．所以当在直线上运动时，四点、、、的纵坐标之积为定值．

【证明】（1）焦点坐标为．不妨设直线：，直线：，则，，，，于是．

当线段垂直于轴时，不妨设，则有，，，于是，，所以∥．

当线段不垂直于轴时，直线的斜率为，方程为，即，因为在线段上，所以．于是，，所以∥．

【解析】（2）△的面积为．直线与轴的交点为，所以△的面积为．由，可得，于是（舍去）或…①．

设中点为，则…②，…③．③式平方，可得，将①②代入，可得．