专题07 曲线与方程（课时训练）解析版-高二上（新教材人教A版）
展开专题07 曲线与方程课时训练
【基础巩固】
1．（湖南省邵阳一中2019届期中）已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，点Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
【答案】D
【解析】设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得点Q的轨迹方程为2x－y＋5＝0.
2. （黑龙江省绥化一中2019届模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是( )
【答案】D
【解析】当P沿AB运动时，x＝1，设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，故y′＝1－(0≤x′≤2,0≤y′≤1)．当P沿BC运动时，y＝1，则(0≤x≤1)，所以y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知P′的轨迹如D所示，故选D.
3．（浙江省嘉兴一中2019届模拟）设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
【答案】D
【解析】如图，设P(x，y)，
圆心为M(1,0)．连接MA，PM，
则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又因为|PA|＝1，
所以|PM|＝＝，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.
4．（湖北省鄂州一中2019届模拟）设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
【答案】A
【解析】设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．
5.（江苏启东中学2019届模拟）已知点A(－4,4)，B(4,4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率之差为－2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程为__________．
【答案】x2＝4y(x≠±4)
【解析】设M(x，y)，由已知得kAM－kBM＝－＝－2，可得x2＝4y(x≠±4)．
6．（江苏省常州一中2019届期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．
【答案】2x－y－2＝0
【解析】设 C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t，得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
【能力提升】
7.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
(1) 求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
因此点P的轨迹方程为。
（2）由题意知。设,则
，
。
由得，又由（1）知，故
。
所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。
8.已知椭圆：，为椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线、，其中、为切点．
（1）当点为定点时，求直线的方程；
（2）若、相互垂直，求点的轨迹方程．
【解析】（1）设、，则切线方程为，点在切线上，所以…①．同理，切线方程为，点在切线上，所以…②．由①②可得直线的方程为，即．
（2）①若直线、的斜率都存在，不妨设其斜率分别为、，则．设过点的直线方程为．由消去可得．因为直线与椭圆相切，所以，即．由、与椭圆相切可知、是该方程的两个实数根，所以，即．
②若直线、中有一条斜率不存在，则另一条斜率为，此时点的坐标为，满足．
综上所述，点的轨迹方程为．
【高考真题】
9.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。给出下列三个结论：
① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
② 曲线上任意一点到原点的距离都不超过;
③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
（A）① （B）② （C）①② （D）①②③
【解析】 由可得.
配方得，解得.所以可取的整数值为-1，0，1，
则曲线经过这6个整点，结论①正确；
当x＞0时，由得（当x=y时取等号），
所以，所以，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过，结论②正确；
根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；故②正确．
如图所示，
，
根据对称性可知.
即心形区域的面积大于3，故③错误．
正确结论为①②. 故选C．
10．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，
长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，
．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不
动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的
平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为．
由得．记，则．
于是直线的斜率为，方程为．由得
．①
设，则和是方程①的解，故，由此得．
从而直线的斜率为．
所以，即是直角三角形．
（ii）由（i）得，，
所以△PQG的面积．
设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．
因为在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．
因此，△PQG面积的最大值为．
11．（2009广东）已知曲线与直线交于两点和，
且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）
为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．
（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；
（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．
【解析】（1）联立与得，则中点，设线段
的中点坐标为，则，即，又点在
曲线上，∴化简可得，又点是上的任一点，且
不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为
（）．
（2）曲线，
即圆：，其圆心坐标为，半径，
设圆与直线：相切于点，则有，即．
过点与直线垂直的直线的方程是，即．
由，解得，．
当时，．
∵分别是上的点的最小和最大横坐标，∴切点，故．
