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专题02 空间向量在立体几何中的应用（重难点突破）（解析版）-高二上新教材人教A版）
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专题02 空间向量在立体几何中的应用
一、 知识结构思维导图
二、 学法指导与考点梳理
1．空间中的点与空间向量
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量．
【名师提醒】：空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定．
2．空间中的直线与空间向量
一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l．
(1)如果A、B是直线l上两个不同的点，则v＝，即为直线l的一个方向向量．
思考1：直线l的方向向量唯一吗？直线l的方向向量之间有怎样的关系？
【名师提醒】：直线l的方向向量不唯一，若v为直线的方向向量，则λv(λ≠0)也为直线l的方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行．
思考2：空间中的直线l的位置由v能确定吗？
【名师提醒】：空间中直线l的位置可由v和直线上的一个点唯一确定．
(2)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合．
3．空间中两条直线所成的角
(1)设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sin θ＝sin〈v1，v2〉，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|．
(2)〈v1，v2〉＝⇔l1⊥l2⇔v1·v2＝0．
4．异面直线与空间向量
设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量．
(1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行．
(2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面．
【名师提醒】：“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件．
(3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，不共面．若v1，v2，不共面，则l1与l2异面．
【名师提醒】：“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．
(4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．
5．平面的法向量
(1)如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．
思考1：平面α的法向量有多少个？它们之间什么关系？
【名师提醒】： 无数个 平行
思考2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？
【名师提醒】：垂直
(2)平面的法向量的性质
①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量．
②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行．
③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n·＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．
(3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α，或l⊂α．
(4)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合．
6．三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．
7．直线和平面所成的角
8．最小角定理
9．用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|．
思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为．
10．二面角的概念
(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作αlβ，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作AlB，二面角的范围为[0，π]．
(3)二面角的平面角：在二面角αlβ的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角αlβ的平面角．
提醒：二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角．
思考：如何找二面角的平面角？
[提示] (1)定义法
由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．
(2)垂面法
作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．
(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．
11．用空间向量求二面角的大小
如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉．
1．空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长．
思考1：在空间中怎样求两点之间的距离？
[提示] 利用向量法转化为求向量的模．
2．点到直线的距离
给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离．
3．点到平面的距离
(1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离．
提醒：点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度．
(2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝．
提醒：若点A是平面α内一点，则约定A到平面α的距离为0．
4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝．
(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝．
思考2：线面距、面面距与点面距有什么关系？
提示：
三、 重难点题型突破
重难点1 空间中的点、直线与空间向量
例1（1）．已知点A(2,3,4)，B(1,2,1)，＝3，且O为坐标原点，则C点的坐标为( )
A．(6,8,9) B．(6,9,12)
C．(7,11,13) D．(－7，－11，－13)
【答案】C
【解析】[设C(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，＝(2,3,4)，∴3＝(6,9,12)，
由＝3，得∴∴C(7,11,13)．]
（2）．已知空间向量a＝(－1,0,3)，b＝(3，－2，x)，若a⊥b，则实数x的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】 [向量a＝(－1,0,3)，b＝(3，－2，x)，
若a⊥b，则－1×3＋0×(－2)＋3x＝0，解得x＝1．故选C．]
（3）．已知点A(1,1，－4)，B(2，－4,2)，C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为________．
【答案】
【解析】[设C(x，y，z)，＝(x－1，y－1，z＋4)，＝(1，－5,6)，
由＝得∴∴C．]
【变式训练1】．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于________．
【答案】0
【解析】[由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0．]
【变式训练2】．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．
求证：MN∥平面A1BD．
【证明】 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，
于是＝，＝(1,0,1)．
得＝2，∴∥，∴DA1∥MN．
而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
重难点2 空间中的平面与空间向量
例2（1）．设μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，a＝(－3,4,2)是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．平行或直线在平面内 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
【答案】A
【解析】[∵μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，
a＝(－3,4,2)是直线l的方向向量，μ·a＝－6＋8－2＝0，
∴直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．]
（2）．平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，则平面α的法向量可以是( )
A．(1,0,1) B．(1,0，－1)
C．(0,1,1) D．(－1,1,0)
【答案】D
【解析】 [∵平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，∴＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，
设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则取x＝－1，得＝(－1,1,0)，
∴平面α的法向量可以是(－1,1,0)．]
（3）．(多选题)已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点中，在平面α内的是( )
A．(2,3,3) B．(1,1,3)
C． D．(2,2,3)
【答案】AB
【解析】 [设平面α内一点P(x，y，z)，则＝(x－1，y＋1，z－2)．
∵n＝(6，－3,6)是平面的法向量，
∴n⊥，n·＝6(x－1)－3(y＋1)＋6(z－2)＝6x－3y＋6z－21．
∴由n·＝0得6x－3y＋6z－21＝0．把各选项代入上式可知A、B适合．]
【变式训练1】．给出下列命题：
①直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量b＝，则l与m垂直；
②直线l的方向向量a＝(0,1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β；
④平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1．
其中真命题的是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
【答案】①④ [对于①，∵a＝(1，－1,2)，b＝，
∴a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，∴a⊥b，∴直线l与m垂直，①正确；
对于②，a＝(0,1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，
∴a⊥n，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，
∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，③错误；
对于④，∵点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，∴＝(－1,1,1)，＝(－1,1,0)，
向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，∴即
则u＋t＝1，④正确．
综上，以上真命题的序号是①④．]
【变式训练2】．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF．
【解析】 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M．
所以＝，
＝(0，，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n⊥，n⊥，
所以⇒
取y＝1，得x＝1，z＝－，则n＝(1,1，－)．
因为＝，
所以n＝－，得n与共线．所以AM⊥平面BDF．
四、 课堂定时训练（45分钟）
1．(多选题)已知空间向量a，b，a⊥b，a＝(1,3,5)，则b的坐标可以是( )
A．(5,0，－1) B．
C．(5，－3，－1) D．(8，－1，－1)
【答案】ABD
【解析】 [a＝(1,3,5)，a⊥b，∴a·b＝0．
在A中，a·b＝(1,3,5)·(5,0，－1)＝1×5＋3×0＋5×(－1)＝0，A正确．
在B中，a·b＝(1,3,5)·＝1×(－2)＋3×3＋5×＝0，B正确．
在C中，a·b＝(1,3,5)·(5，－3，－1)＝1×5＋3×(－3)＋5×(－1)＝－9≠0，C错误．
在D中，a·b＝(1,3,5)·(8，－1，－1)＝1×8＋3×(－1)＋5×(－1)＝0，D正确．]
2．向量a＝(1,2，x)，b＝(－2，y,4)，若a∥b，则x－y＝( )
A．4 B．2
C．1 D．
【答案】B
【解析】[向量a＝(1,2，x)，b＝(－2，y,4)，若a∥b，则＝＝，
解得所以x－y＝－2－(－4)＝2．]
3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2,4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1)
D．(1,2，－2)
【答案】B
【解析】 [设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，
则A(1,0,0)，E，F．故＝，＝．
又即所以
当z＝－2时，n＝(－4,1，－2)．]
4．(一题两空)设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为____________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为____________．
【答案】α⊥β α∥β
【解析】[∵u，v分别为平面α，β的法向量且u＝(－2,2,5)，
当v＝(3，－2,2)时，u·v＝－6－4＋10＝0，∴u⊥v，即α⊥β；
当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2μ，∴u∥v，即α∥β．]
5．如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．
【答案】垂直
【解析】[以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，∴＝．
平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)，
∵＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面PBC．]
6．(一题两空)已知向量a＝(1,0，－1)，b＝(1,1,0)，则|a|＝________；向量a与b的夹角是________．
【答案】 60°
【解析】 [向量a＝(1,0，－1)，b＝(1,1,0)，则|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝＝，∴向量a与b的夹角是60°．]
7．设向量a＝(1,2，λ)，b＝(2,2，－1)，若cos〈a，b〉＝，则实数λ的值为________．
【答案】－或2
【解析】 [向量a＝(1,2，λ)，b＝(2,2，－1)，
∴a·b＝2＋4－λ＝6－λ，
|a|＝＝，
|b|＝＝3，若cos〈a，b〉＝，
则＝＝，
化简得7λ2＋108λ－244＝0，
解得λ＝－或λ＝2，
则实数λ的值为－或2．]
8.如图，正四棱柱的底面边长为4，记，，若，则此棱柱的体积为______．
【答案】
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，
设，又，则，，，，
，，，，即．
此棱柱的体积为．
9.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是________．
【答案】45°
【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，
建立如图所示空间直角坐标系，
则平面PAC的法向量为，D，，
P，M，＝，
所以＝＝，所以DM与平面PAC所成角为45°.
10.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;
(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.
【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sin θ=|cos<>|=,故cos θ=,即SC与平面ASD所成角的余弦值为.
(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cos α=,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为.
一、 知识结构思维导图
二、 学法指导与考点梳理
1．空间中的点与空间向量
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量．
【名师提醒】：空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定．
2．空间中的直线与空间向量
一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l．
(1)如果A、B是直线l上两个不同的点，则v＝，即为直线l的一个方向向量．
思考1：直线l的方向向量唯一吗？直线l的方向向量之间有怎样的关系？
【名师提醒】：直线l的方向向量不唯一，若v为直线的方向向量，则λv(λ≠0)也为直线l的方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行．
思考2：空间中的直线l的位置由v能确定吗？
【名师提醒】：空间中直线l的位置可由v和直线上的一个点唯一确定．
(2)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合．
3．空间中两条直线所成的角
(1)设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sin θ＝sin〈v1，v2〉，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|．
(2)〈v1，v2〉＝⇔l1⊥l2⇔v1·v2＝0．
4．异面直线与空间向量
设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量．
(1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行．
(2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面．
【名师提醒】：“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件．
(3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，不共面．若v1，v2，不共面，则l1与l2异面．
【名师提醒】：“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．
(4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．
5．平面的法向量
(1)如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．
思考1：平面α的法向量有多少个？它们之间什么关系？
【名师提醒】： 无数个 平行
思考2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？
【名师提醒】：垂直
(2)平面的法向量的性质
①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量．
②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行．
③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n·＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．
(3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α，或l⊂α．
(4)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合．
6．三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．
7．直线和平面所成的角
8．最小角定理
9．用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|．
思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
[提示] 不是．直线和平面的夹角为．
10．二面角的概念
(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作αlβ，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作AlB，二面角的范围为[0，π]．
(3)二面角的平面角：在二面角αlβ的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角αlβ的平面角．
提醒：二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角．
思考：如何找二面角的平面角？
[提示] (1)定义法
由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．
(2)垂面法
作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．
(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．
11．用空间向量求二面角的大小
如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉．
1．空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长．
思考1：在空间中怎样求两点之间的距离？
[提示] 利用向量法转化为求向量的模．
2．点到直线的距离
给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离．
3．点到平面的距离
(1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离．
提醒：点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度．
(2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝．
提醒：若点A是平面α内一点，则约定A到平面α的距离为0．
4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝．
(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝．
思考2：线面距、面面距与点面距有什么关系？
提示：
三、 重难点题型突破
重难点1 空间中的点、直线与空间向量
例1（1）．已知点A(2,3,4)，B(1,2,1)，＝3，且O为坐标原点，则C点的坐标为( )
A．(6,8,9) B．(6,9,12)
C．(7,11,13) D．(－7，－11，－13)
【答案】C
【解析】[设C(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，＝(2,3,4)，∴3＝(6,9,12)，
由＝3，得∴∴C(7,11,13)．]
（2）．已知空间向量a＝(－1,0,3)，b＝(3，－2，x)，若a⊥b，则实数x的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】 [向量a＝(－1,0,3)，b＝(3，－2，x)，
若a⊥b，则－1×3＋0×(－2)＋3x＝0，解得x＝1．故选C．]
（3）．已知点A(1,1，－4)，B(2，－4,2)，C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为________．
【答案】
【解析】[设C(x，y，z)，＝(x－1，y－1，z＋4)，＝(1，－5,6)，
由＝得∴∴C．]
【变式训练1】．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于________．
【答案】0
【解析】[由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0．]
【变式训练2】．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．
求证：MN∥平面A1BD．
【证明】 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，
于是＝，＝(1,0,1)．
得＝2，∴∥，∴DA1∥MN．
而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
重难点2 空间中的平面与空间向量
例2（1）．设μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，a＝(－3,4,2)是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．平行或直线在平面内 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
【答案】A
【解析】[∵μ＝(2,2，－1)是平面α的法向量，
a＝(－3,4,2)是直线l的方向向量，μ·a＝－6＋8－2＝0，
∴直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内．]
（2）．平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，则平面α的法向量可以是( )
A．(1,0,1) B．(1,0，－1)
C．(0,1,1) D．(－1,1,0)
【答案】D
【解析】 [∵平面α经过三点O(0,0,0)，A(2,2,0)，B(0,0,2)，∴＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，
设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则取x＝－1，得＝(－1,1,0)，
∴平面α的法向量可以是(－1,1,0)．]
（3）．(多选题)已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点中，在平面α内的是( )
A．(2,3,3) B．(1,1,3)
C． D．(2,2,3)
【答案】AB
【解析】 [设平面α内一点P(x，y，z)，则＝(x－1，y＋1，z－2)．
∵n＝(6，－3,6)是平面的法向量，
∴n⊥，n·＝6(x－1)－3(y＋1)＋6(z－2)＝6x－3y＋6z－21．
∴由n·＝0得6x－3y＋6z－21＝0．把各选项代入上式可知A、B适合．]
【变式训练1】．给出下列命题：
①直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量b＝，则l与m垂直；
②直线l的方向向量a＝(0,1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β；
④平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1．
其中真命题的是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
【答案】①④ [对于①，∵a＝(1，－1,2)，b＝，
∴a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，∴a⊥b，∴直线l与m垂直，①正确；
对于②，a＝(0,1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，
∴a⊥n，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，
∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，③错误；
对于④，∵点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，∴＝(－1,1,1)，＝(－1,1,0)，
向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，∴即
则u＋t＝1，④正确．
综上，以上真命题的序号是①④．]
【变式训练2】．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF．
【解析】 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M．
所以＝，
＝(0，，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n⊥，n⊥，
所以⇒
取y＝1，得x＝1，z＝－，则n＝(1,1，－)．
因为＝，
所以n＝－，得n与共线．所以AM⊥平面BDF．
四、 课堂定时训练（45分钟）
1．(多选题)已知空间向量a，b，a⊥b，a＝(1,3,5)，则b的坐标可以是( )
A．(5,0，－1) B．
C．(5，－3，－1) D．(8，－1，－1)
【答案】ABD
【解析】 [a＝(1,3,5)，a⊥b，∴a·b＝0．
在A中，a·b＝(1,3,5)·(5,0，－1)＝1×5＋3×0＋5×(－1)＝0，A正确．
在B中，a·b＝(1,3,5)·＝1×(－2)＋3×3＋5×＝0，B正确．
在C中，a·b＝(1,3,5)·(5，－3，－1)＝1×5＋3×(－3)＋5×(－1)＝－9≠0，C错误．
在D中，a·b＝(1,3,5)·(8，－1，－1)＝1×8＋3×(－1)＋5×(－1)＝0，D正确．]
2．向量a＝(1,2，x)，b＝(－2，y,4)，若a∥b，则x－y＝( )
A．4 B．2
C．1 D．
【答案】B
【解析】[向量a＝(1,2，x)，b＝(－2，y,4)，若a∥b，则＝＝，
解得所以x－y＝－2－(－4)＝2．]
3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
A．(1，－2,4)
B．(－4,1，－2)
C．(2，－2,1)
D．(1,2，－2)
【答案】B
【解析】 [设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，
则A(1,0,0)，E，F．故＝，＝．
又即所以
当z＝－2时，n＝(－4,1，－2)．]
4．(一题两空)设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为____________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为____________．
【答案】α⊥β α∥β
【解析】[∵u，v分别为平面α，β的法向量且u＝(－2,2,5)，
当v＝(3，－2,2)时，u·v＝－6－4＋10＝0，∴u⊥v，即α⊥β；
当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2μ，∴u∥v，即α∥β．]
5．如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．
【答案】垂直
【解析】[以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，∴＝．
平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)，
∵＝－n，∴∥n，∴EF⊥平面PBC．]
6．(一题两空)已知向量a＝(1,0，－1)，b＝(1,1,0)，则|a|＝________；向量a与b的夹角是________．
【答案】 60°
【解析】 [向量a＝(1,0，－1)，b＝(1,1,0)，则|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝＝，∴向量a与b的夹角是60°．]
7．设向量a＝(1,2，λ)，b＝(2,2，－1)，若cos〈a，b〉＝，则实数λ的值为________．
【答案】－或2
【解析】 [向量a＝(1,2，λ)，b＝(2,2，－1)，
∴a·b＝2＋4－λ＝6－λ，
|a|＝＝，
|b|＝＝3，若cos〈a，b〉＝，
则＝＝，
化简得7λ2＋108λ－244＝0，
解得λ＝－或λ＝2，
则实数λ的值为－或2．]
8.如图，正四棱柱的底面边长为4，记，，若，则此棱柱的体积为______．
【答案】
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，
设，又，则，，，，
，，，，即．
此棱柱的体积为．
9.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是________．
【答案】45°
【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，
建立如图所示空间直角坐标系，
则平面PAC的法向量为，D，，
P，M，＝，
所以＝＝，所以DM与平面PAC所成角为45°.
10.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;
(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.
【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sin θ=|cos<>|=,故cos θ=,即SC与平面ASD所成角的余弦值为.
(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cos α=,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为.
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